Users' Mathboxes Mathbox for Asger C. Ipsen < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  knoppcnlem3 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem knoppcnlem3 32469
Description: Lemma for knoppcn 32478. (Contributed by Asger C. Ipsen, 4-Apr-2021.) (Revised by Asger C. Ipsen, 5-Jul-2021.)
Hypotheses
Ref Expression
knoppcnlem3.t 𝑇 = (𝑥 ∈ ℝ ↦ (abs‘((⌊‘(𝑥 + (1 / 2))) − 𝑥)))
knoppcnlem3.f 𝐹 = (𝑦 ∈ ℝ ↦ (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((𝐶𝑛) · (𝑇‘(((2 · 𝑁)↑𝑛) · 𝑦)))))
knoppcnlem3.n (𝜑𝑁 ∈ ℕ)
knoppcnlem3.1 (𝜑𝐶 ∈ ℝ)
knoppcnlem3.2 (𝜑𝐴 ∈ ℝ)
knoppcnlem3.3 (𝜑𝑀 ∈ ℕ0)
Assertion
Ref Expression
knoppcnlem3 (𝜑 → ((𝐹𝐴)‘𝑀) ∈ ℝ)
Distinct variable groups:   𝐴,𝑛,𝑦   𝑥,𝐴   𝐶,𝑛,𝑦   𝑛,𝑀   𝑥,𝑀   𝑛,𝑁,𝑦   𝑥,𝑁   𝑇,𝑛,𝑦   𝜑,𝑛,𝑦
Allowed substitution hints:   𝜑(𝑥)   𝐶(𝑥)   𝑇(𝑥)   𝐹(𝑥,𝑦,𝑛)   𝑀(𝑦)

Proof of Theorem knoppcnlem3
StepHypRef Expression
1 knoppcnlem3.f . . 3 𝐹 = (𝑦 ∈ ℝ ↦ (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((𝐶𝑛) · (𝑇‘(((2 · 𝑁)↑𝑛) · 𝑦)))))
2 knoppcnlem3.2 . . 3 (𝜑𝐴 ∈ ℝ)
3 knoppcnlem3.3 . . 3 (𝜑𝑀 ∈ ℕ0)
41, 2, 3knoppcnlem1 32467 . 2 (𝜑 → ((𝐹𝐴)‘𝑀) = ((𝐶𝑀) · (𝑇‘(((2 · 𝑁)↑𝑀) · 𝐴))))
5 knoppcnlem3.t . . 3 𝑇 = (𝑥 ∈ ℝ ↦ (abs‘((⌊‘(𝑥 + (1 / 2))) − 𝑥)))
6 knoppcnlem3.n . . 3 (𝜑𝑁 ∈ ℕ)
7 knoppcnlem3.1 . . 3 (𝜑𝐶 ∈ ℝ)
85, 6, 7, 2, 3knoppcnlem2 32468 . 2 (𝜑 → ((𝐶𝑀) · (𝑇‘(((2 · 𝑁)↑𝑀) · 𝐴))) ∈ ℝ)
94, 8eqeltrd 2700 1 (𝜑 → ((𝐹𝐴)‘𝑀) ∈ ℝ)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4   = wceq 1482  wcel 1989  cmpt 4727  cfv 5886  (class class class)co 6647  cr 9932  1c1 9934   + caddc 9936   · cmul 9938  cmin 10263   / cdiv 10681  cn 11017  2c2 11067  0cn0 11289  cfl 12586  cexp 12855  abscabs 13968
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1721  ax-4 1736  ax-5 1838  ax-6 1887  ax-7 1934  ax-8 1991  ax-9 1998  ax-10 2018  ax-11 2033  ax-12 2046  ax-13 2245  ax-ext 2601  ax-rep 4769  ax-sep 4779  ax-nul 4787  ax-pow 4841  ax-pr 4904  ax-un 6946  ax-cnex 9989  ax-resscn 9990  ax-1cn 9991  ax-icn 9992  ax-addcl 9993  ax-addrcl 9994  ax-mulcl 9995  ax-mulrcl 9996  ax-mulcom 9997  ax-addass 9998  ax-mulass 9999  ax-distr 10000  ax-i2m1 10001  ax-1ne0 10002  ax-1rid 10003  ax-rnegex 10004  ax-rrecex 10005  ax-cnre 10006  ax-pre-lttri 10007  ax-pre-lttrn 10008  ax-pre-ltadd 10009  ax-pre-mulgt0 10010  ax-pre-sup 10011
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1485  df-ex 1704  df-nf 1709  df-sb 1880  df-eu 2473  df-mo 2474  df-clab 2608  df-cleq 2614  df-clel 2617  df-nfc 2752  df-ne 2794  df-nel 2897  df-ral 2916  df-rex 2917  df-reu 2918  df-rmo 2919  df-rab 2920  df-v 3200  df-sbc 3434  df-csb 3532  df-dif 3575  df-un 3577  df-in 3579  df-ss 3586  df-pss 3588  df-nul 3914  df-if 4085  df-pw 4158  df-sn 4176  df-pr 4178  df-tp 4180  df-op 4182  df-uni 4435  df-iun 4520  df-br 4652  df-opab 4711  df-mpt 4728  df-tr 4751  df-id 5022  df-eprel 5027  df-po 5033  df-so 5034  df-fr 5071  df-we 5073  df-xp 5118  df-rel 5119  df-cnv 5120  df-co 5121  df-dm 5122  df-rn 5123  df-res 5124  df-ima 5125  df-pred 5678  df-ord 5724  df-on 5725  df-lim 5726  df-suc 5727  df-iota 5849  df-fun 5888  df-fn 5889  df-f 5890  df-f1 5891  df-fo 5892  df-f1o 5893  df-fv 5894  df-riota 6608  df-ov 6650  df-oprab 6651  df-mpt2 6652  df-om 7063  df-2nd 7166  df-wrecs 7404  df-recs 7465  df-rdg 7503  df-er 7739  df-en 7953  df-dom 7954  df-sdom 7955  df-sup 8345  df-inf 8346  df-pnf 10073  df-mnf 10074  df-xr 10075  df-ltxr 10076  df-le 10077  df-sub 10265  df-neg 10266  df-div 10682  df-nn 11018  df-2 11076  df-3 11077  df-n0 11290  df-z 11375  df-uz 11685  df-rp 11830  df-fl 12588  df-seq 12797  df-exp 12856  df-cj 13833  df-re 13834  df-im 13835  df-sqrt 13969  df-abs 13970
This theorem is referenced by:  knoppcnlem5  32471  knoppcnlem8  32474  knoppcnlem9  32475  knoppcnlem11  32477  knoppndvlem5  32491  knoppndvlem6  32492  knoppndvlem10  32496  knoppndvlem11  32497  knoppndvlem15  32501  knoppf  32510
  Copyright terms: Public domain W3C validator