Users' Mathboxes Mathbox for Asger C. Ipsen < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  knoppcnlem5 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem knoppcnlem5 31460
Description: Lemma for knoppcn 31467. (Contributed by Asger C. Ipsen, 4-Apr-2021.) (Revised by Asger C. Ipsen, 5-Jul-2021.)
Hypotheses
Ref Expression
knoppcnlem5.t 𝑇 = (𝑥 ∈ ℝ ↦ (abs‘((⌊‘(𝑥 + (1 / 2))) − 𝑥)))
knoppcnlem5.f 𝐹 = (𝑦 ∈ ℝ ↦ (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((𝐶𝑛) · (𝑇‘(((2 · 𝑁)↑𝑛) · 𝑦)))))
knoppcnlem5.n (𝜑𝑁 ∈ ℕ)
knoppcnlem5.1 (𝜑𝐶 ∈ ℝ)
Assertion
Ref Expression
knoppcnlem5 (𝜑 → (𝑚 ∈ ℕ0 ↦ (𝑧 ∈ ℝ ↦ ((𝐹𝑧)‘𝑚))):ℕ0⟶(ℂ ↑𝑚 ℝ))
Distinct variable groups:   𝐶,𝑛,𝑦   𝑛,𝑁,𝑦   𝑥,𝑁   𝑇,𝑛,𝑦   𝜑,𝑚,𝑛,𝑦,𝑧   𝑥,𝑚,𝑧
Allowed substitution hints:   𝜑(𝑥)   𝐶(𝑥,𝑧,𝑚)   𝑇(𝑥,𝑧,𝑚)   𝐹(𝑥,𝑦,𝑧,𝑚,𝑛)   𝑁(𝑧,𝑚)

Proof of Theorem knoppcnlem5
StepHypRef Expression
1 knoppcnlem5.t . . . . . 6 𝑇 = (𝑥 ∈ ℝ ↦ (abs‘((⌊‘(𝑥 + (1 / 2))) − 𝑥)))
2 knoppcnlem5.f . . . . . 6 𝐹 = (𝑦 ∈ ℝ ↦ (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((𝐶𝑛) · (𝑇‘(((2 · 𝑁)↑𝑛) · 𝑦)))))
3 knoppcnlem5.n . . . . . . 7 (𝜑𝑁 ∈ ℕ)
43ad2antrr 757 . . . . . 6 (((𝜑𝑚 ∈ ℕ0) ∧ 𝑧 ∈ ℝ) → 𝑁 ∈ ℕ)
5 knoppcnlem5.1 . . . . . . 7 (𝜑𝐶 ∈ ℝ)
65ad2antrr 757 . . . . . 6 (((𝜑𝑚 ∈ ℕ0) ∧ 𝑧 ∈ ℝ) → 𝐶 ∈ ℝ)
7 simpr 475 . . . . . 6 (((𝜑𝑚 ∈ ℕ0) ∧ 𝑧 ∈ ℝ) → 𝑧 ∈ ℝ)
8 simplr 787 . . . . . 6 (((𝜑𝑚 ∈ ℕ0) ∧ 𝑧 ∈ ℝ) → 𝑚 ∈ ℕ0)
91, 2, 4, 6, 7, 8knoppcnlem3 31458 . . . . 5 (((𝜑𝑚 ∈ ℕ0) ∧ 𝑧 ∈ ℝ) → ((𝐹𝑧)‘𝑚) ∈ ℝ)
109recnd 9921 . . . 4 (((𝜑𝑚 ∈ ℕ0) ∧ 𝑧 ∈ ℝ) → ((𝐹𝑧)‘𝑚) ∈ ℂ)
11 eqid 2606 . . . 4 (𝑧 ∈ ℝ ↦ ((𝐹𝑧)‘𝑚)) = (𝑧 ∈ ℝ ↦ ((𝐹𝑧)‘𝑚))
1210, 11fmptd 6274 . . 3 ((𝜑𝑚 ∈ ℕ0) → (𝑧 ∈ ℝ ↦ ((𝐹𝑧)‘𝑚)):ℝ⟶ℂ)
13 cnex 9870 . . . . 5 ℂ ∈ V
14 reex 9880 . . . . 5 ℝ ∈ V
1513, 14pm3.2i 469 . . . 4 (ℂ ∈ V ∧ ℝ ∈ V)
16 elmapg 7731 . . . 4 ((ℂ ∈ V ∧ ℝ ∈ V) → ((𝑧 ∈ ℝ ↦ ((𝐹𝑧)‘𝑚)) ∈ (ℂ ↑𝑚 ℝ) ↔ (𝑧 ∈ ℝ ↦ ((𝐹𝑧)‘𝑚)):ℝ⟶ℂ))
1715, 16ax-mp 5 . . 3 ((𝑧 ∈ ℝ ↦ ((𝐹𝑧)‘𝑚)) ∈ (ℂ ↑𝑚 ℝ) ↔ (𝑧 ∈ ℝ ↦ ((𝐹𝑧)‘𝑚)):ℝ⟶ℂ)
1812, 17sylibr 222 . 2 ((𝜑𝑚 ∈ ℕ0) → (𝑧 ∈ ℝ ↦ ((𝐹𝑧)‘𝑚)) ∈ (ℂ ↑𝑚 ℝ))
19 eqid 2606 . 2 (𝑚 ∈ ℕ0 ↦ (𝑧 ∈ ℝ ↦ ((𝐹𝑧)‘𝑚))) = (𝑚 ∈ ℕ0 ↦ (𝑧 ∈ ℝ ↦ ((𝐹𝑧)‘𝑚)))
2018, 19fmptd 6274 1 (𝜑 → (𝑚 ∈ ℕ0 ↦ (𝑧 ∈ ℝ ↦ ((𝐹𝑧)‘𝑚))):ℕ0⟶(ℂ ↑𝑚 ℝ))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 194  wa 382   = wceq 1474  wcel 1976  Vcvv 3169  cmpt 4634  wf 5783  cfv 5787  (class class class)co 6524  𝑚 cmap 7718  cc 9787  cr 9788  1c1 9790   + caddc 9792   · cmul 9794  cmin 10114   / cdiv 10530  cn 10864  2c2 10914  0cn0 11136  cfl 12405  cexp 12674  abscabs 13765
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1712  ax-4 1727  ax-5 1826  ax-6 1874  ax-7 1921  ax-8 1978  ax-9 1985  ax-10 2005  ax-11 2020  ax-12 2032  ax-13 2229  ax-ext 2586  ax-rep 4690  ax-sep 4700  ax-nul 4709  ax-pow 4761  ax-pr 4825  ax-un 6821  ax-cnex 9845  ax-resscn 9846  ax-1cn 9847  ax-icn 9848  ax-addcl 9849  ax-addrcl 9850  ax-mulcl 9851  ax-mulrcl 9852  ax-mulcom 9853  ax-addass 9854  ax-mulass 9855  ax-distr 9856  ax-i2m1 9857  ax-1ne0 9858  ax-1rid 9859  ax-rnegex 9860  ax-rrecex 9861  ax-cnre 9862  ax-pre-lttri 9863  ax-pre-lttrn 9864  ax-pre-ltadd 9865  ax-pre-mulgt0 9866  ax-pre-sup 9867
This theorem depends on definitions:  df-bi 195  df-or 383  df-an 384  df-3or 1031  df-3an 1032  df-tru 1477  df-ex 1695  df-nf 1700  df-sb 1867  df-eu 2458  df-mo 2459  df-clab 2593  df-cleq 2599  df-clel 2602  df-nfc 2736  df-ne 2778  df-nel 2779  df-ral 2897  df-rex 2898  df-reu 2899  df-rmo 2900  df-rab 2901  df-v 3171  df-sbc 3399  df-csb 3496  df-dif 3539  df-un 3541  df-in 3543  df-ss 3550  df-pss 3552  df-nul 3871  df-if 4033  df-pw 4106  df-sn 4122  df-pr 4124  df-tp 4126  df-op 4128  df-uni 4364  df-iun 4448  df-br 4575  df-opab 4635  df-mpt 4636  df-tr 4672  df-eprel 4936  df-id 4940  df-po 4946  df-so 4947  df-fr 4984  df-we 4986  df-xp 5031  df-rel 5032  df-cnv 5033  df-co 5034  df-dm 5035  df-rn 5036  df-res 5037  df-ima 5038  df-pred 5580  df-ord 5626  df-on 5627  df-lim 5628  df-suc 5629  df-iota 5751  df-fun 5789  df-fn 5790  df-f 5791  df-f1 5792  df-fo 5793  df-f1o 5794  df-fv 5795  df-riota 6486  df-ov 6527  df-oprab 6528  df-mpt2 6529  df-om 6932  df-2nd 7034  df-wrecs 7268  df-recs 7329  df-rdg 7367  df-er 7603  df-map 7720  df-en 7816  df-dom 7817  df-sdom 7818  df-sup 8205  df-inf 8206  df-pnf 9929  df-mnf 9930  df-xr 9931  df-ltxr 9932  df-le 9933  df-sub 10116  df-neg 10117  df-div 10531  df-nn 10865  df-2 10923  df-3 10924  df-n0 11137  df-z 11208  df-uz 11517  df-rp 11662  df-fl 12407  df-seq 12616  df-exp 12675  df-cj 13630  df-re 13631  df-im 13632  df-sqrt 13766  df-abs 13767
This theorem is referenced by:  knoppcnlem6  31461
  Copyright terms: Public domain W3C validator