Users' Mathboxes Mathbox for Asger C. Ipsen < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  knoppcnlem5 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem knoppcnlem5 32612
Description: Lemma for knoppcn 32619. (Contributed by Asger C. Ipsen, 4-Apr-2021.) (Revised by Asger C. Ipsen, 5-Jul-2021.)
Hypotheses
Ref Expression
knoppcnlem5.t 𝑇 = (𝑥 ∈ ℝ ↦ (abs‘((⌊‘(𝑥 + (1 / 2))) − 𝑥)))
knoppcnlem5.f 𝐹 = (𝑦 ∈ ℝ ↦ (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((𝐶𝑛) · (𝑇‘(((2 · 𝑁)↑𝑛) · 𝑦)))))
knoppcnlem5.n (𝜑𝑁 ∈ ℕ)
knoppcnlem5.1 (𝜑𝐶 ∈ ℝ)
Assertion
Ref Expression
knoppcnlem5 (𝜑 → (𝑚 ∈ ℕ0 ↦ (𝑧 ∈ ℝ ↦ ((𝐹𝑧)‘𝑚))):ℕ0⟶(ℂ ↑𝑚 ℝ))
Distinct variable groups:   𝐶,𝑛,𝑦   𝑛,𝑁,𝑦   𝑥,𝑁   𝑇,𝑛,𝑦   𝜑,𝑚,𝑛,𝑦,𝑧   𝑥,𝑚,𝑧
Allowed substitution hints:   𝜑(𝑥)   𝐶(𝑥,𝑧,𝑚)   𝑇(𝑥,𝑧,𝑚)   𝐹(𝑥,𝑦,𝑧,𝑚,𝑛)   𝑁(𝑧,𝑚)

Proof of Theorem knoppcnlem5
StepHypRef Expression
1 knoppcnlem5.t . . . . . 6 𝑇 = (𝑥 ∈ ℝ ↦ (abs‘((⌊‘(𝑥 + (1 / 2))) − 𝑥)))
2 knoppcnlem5.f . . . . . 6 𝐹 = (𝑦 ∈ ℝ ↦ (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((𝐶𝑛) · (𝑇‘(((2 · 𝑁)↑𝑛) · 𝑦)))))
3 knoppcnlem5.n . . . . . . 7 (𝜑𝑁 ∈ ℕ)
43ad2antrr 762 . . . . . 6 (((𝜑𝑚 ∈ ℕ0) ∧ 𝑧 ∈ ℝ) → 𝑁 ∈ ℕ)
5 knoppcnlem5.1 . . . . . . 7 (𝜑𝐶 ∈ ℝ)
65ad2antrr 762 . . . . . 6 (((𝜑𝑚 ∈ ℕ0) ∧ 𝑧 ∈ ℝ) → 𝐶 ∈ ℝ)
7 simpr 476 . . . . . 6 (((𝜑𝑚 ∈ ℕ0) ∧ 𝑧 ∈ ℝ) → 𝑧 ∈ ℝ)
8 simplr 807 . . . . . 6 (((𝜑𝑚 ∈ ℕ0) ∧ 𝑧 ∈ ℝ) → 𝑚 ∈ ℕ0)
91, 2, 4, 6, 7, 8knoppcnlem3 32610 . . . . 5 (((𝜑𝑚 ∈ ℕ0) ∧ 𝑧 ∈ ℝ) → ((𝐹𝑧)‘𝑚) ∈ ℝ)
109recnd 10106 . . . 4 (((𝜑𝑚 ∈ ℕ0) ∧ 𝑧 ∈ ℝ) → ((𝐹𝑧)‘𝑚) ∈ ℂ)
11 eqid 2651 . . . 4 (𝑧 ∈ ℝ ↦ ((𝐹𝑧)‘𝑚)) = (𝑧 ∈ ℝ ↦ ((𝐹𝑧)‘𝑚))
1210, 11fmptd 6425 . . 3 ((𝜑𝑚 ∈ ℕ0) → (𝑧 ∈ ℝ ↦ ((𝐹𝑧)‘𝑚)):ℝ⟶ℂ)
13 cnex 10055 . . . . 5 ℂ ∈ V
14 reex 10065 . . . . 5 ℝ ∈ V
1513, 14pm3.2i 470 . . . 4 (ℂ ∈ V ∧ ℝ ∈ V)
16 elmapg 7912 . . . 4 ((ℂ ∈ V ∧ ℝ ∈ V) → ((𝑧 ∈ ℝ ↦ ((𝐹𝑧)‘𝑚)) ∈ (ℂ ↑𝑚 ℝ) ↔ (𝑧 ∈ ℝ ↦ ((𝐹𝑧)‘𝑚)):ℝ⟶ℂ))
1715, 16ax-mp 5 . . 3 ((𝑧 ∈ ℝ ↦ ((𝐹𝑧)‘𝑚)) ∈ (ℂ ↑𝑚 ℝ) ↔ (𝑧 ∈ ℝ ↦ ((𝐹𝑧)‘𝑚)):ℝ⟶ℂ)
1812, 17sylibr 224 . 2 ((𝜑𝑚 ∈ ℕ0) → (𝑧 ∈ ℝ ↦ ((𝐹𝑧)‘𝑚)) ∈ (ℂ ↑𝑚 ℝ))
19 eqid 2651 . 2 (𝑚 ∈ ℕ0 ↦ (𝑧 ∈ ℝ ↦ ((𝐹𝑧)‘𝑚))) = (𝑚 ∈ ℕ0 ↦ (𝑧 ∈ ℝ ↦ ((𝐹𝑧)‘𝑚)))
2018, 19fmptd 6425 1 (𝜑 → (𝑚 ∈ ℕ0 ↦ (𝑧 ∈ ℝ ↦ ((𝐹𝑧)‘𝑚))):ℕ0⟶(ℂ ↑𝑚 ℝ))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 196  wa 383   = wceq 1523  wcel 2030  Vcvv 3231  cmpt 4762  wf 5922  cfv 5926  (class class class)co 6690  𝑚 cmap 7899  cc 9972  cr 9973  1c1 9975   + caddc 9977   · cmul 9979  cmin 10304   / cdiv 10722  cn 11058  2c2 11108  0cn0 11330  cfl 12631  cexp 12900  abscabs 14018
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1762  ax-4 1777  ax-5 1879  ax-6 1945  ax-7 1981  ax-8 2032  ax-9 2039  ax-10 2059  ax-11 2074  ax-12 2087  ax-13 2282  ax-ext 2631  ax-rep 4804  ax-sep 4814  ax-nul 4822  ax-pow 4873  ax-pr 4936  ax-un 6991  ax-cnex 10030  ax-resscn 10031  ax-1cn 10032  ax-icn 10033  ax-addcl 10034  ax-addrcl 10035  ax-mulcl 10036  ax-mulrcl 10037  ax-mulcom 10038  ax-addass 10039  ax-mulass 10040  ax-distr 10041  ax-i2m1 10042  ax-1ne0 10043  ax-1rid 10044  ax-rnegex 10045  ax-rrecex 10046  ax-cnre 10047  ax-pre-lttri 10048  ax-pre-lttrn 10049  ax-pre-ltadd 10050  ax-pre-mulgt0 10051  ax-pre-sup 10052
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3or 1055  df-3an 1056  df-tru 1526  df-ex 1745  df-nf 1750  df-sb 1938  df-eu 2502  df-mo 2503  df-clab 2638  df-cleq 2644  df-clel 2647  df-nfc 2782  df-ne 2824  df-nel 2927  df-ral 2946  df-rex 2947  df-reu 2948  df-rmo 2949  df-rab 2950  df-v 3233  df-sbc 3469  df-csb 3567  df-dif 3610  df-un 3612  df-in 3614  df-ss 3621  df-pss 3623  df-nul 3949  df-if 4120  df-pw 4193  df-sn 4211  df-pr 4213  df-tp 4215  df-op 4217  df-uni 4469  df-iun 4554  df-br 4686  df-opab 4746  df-mpt 4763  df-tr 4786  df-id 5053  df-eprel 5058  df-po 5064  df-so 5065  df-fr 5102  df-we 5104  df-xp 5149  df-rel 5150  df-cnv 5151  df-co 5152  df-dm 5153  df-rn 5154  df-res 5155  df-ima 5156  df-pred 5718  df-ord 5764  df-on 5765  df-lim 5766  df-suc 5767  df-iota 5889  df-fun 5928  df-fn 5929  df-f 5930  df-f1 5931  df-fo 5932  df-f1o 5933  df-fv 5934  df-riota 6651  df-ov 6693  df-oprab 6694  df-mpt2 6695  df-om 7108  df-2nd 7211  df-wrecs 7452  df-recs 7513  df-rdg 7551  df-er 7787  df-map 7901  df-en 7998  df-dom 7999  df-sdom 8000  df-sup 8389  df-inf 8390  df-pnf 10114  df-mnf 10115  df-xr 10116  df-ltxr 10117  df-le 10118  df-sub 10306  df-neg 10307  df-div 10723  df-nn 11059  df-2 11117  df-3 11118  df-n0 11331  df-z 11416  df-uz 11726  df-rp 11871  df-fl 12633  df-seq 12842  df-exp 12901  df-cj 13883  df-re 13884  df-im 13885  df-sqrt 14019  df-abs 14020
This theorem is referenced by:  knoppcnlem6  32613
  Copyright terms: Public domain W3C validator