Users' Mathboxes Mathbox for Asger C. Ipsen < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  knoppcnlem6 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem knoppcnlem6 32151
Description: Lemma for knoppcn 32157. (Contributed by Asger C. Ipsen, 4-Apr-2021.) (Revised by Asger C. Ipsen, 5-Jul-2021.)
Hypotheses
Ref Expression
knoppcnlem6.t 𝑇 = (𝑥 ∈ ℝ ↦ (abs‘((⌊‘(𝑥 + (1 / 2))) − 𝑥)))
knoppcnlem6.f 𝐹 = (𝑦 ∈ ℝ ↦ (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((𝐶𝑛) · (𝑇‘(((2 · 𝑁)↑𝑛) · 𝑦)))))
knoppcnlem6.n (𝜑𝑁 ∈ ℕ)
knoppcnlem6.1 (𝜑𝐶 ∈ ℝ)
knoppcnlem6.2 (𝜑 → (abs‘𝐶) < 1)
Assertion
Ref Expression
knoppcnlem6 (𝜑 → seq0( ∘𝑓 + , (𝑚 ∈ ℕ0 ↦ (𝑧 ∈ ℝ ↦ ((𝐹𝑧)‘𝑚)))) ∈ dom (⇝𝑢‘ℝ))
Distinct variable groups:   𝐶,𝑚,𝑛,𝑦   𝑚,𝐹,𝑧   𝑛,𝑁,𝑦   𝑥,𝑁   𝑇,𝑛,𝑦   𝜑,𝑚,𝑛,𝑦,𝑧   𝑥,𝑚,𝑧
Allowed substitution hints:   𝜑(𝑥)   𝐶(𝑥,𝑧)   𝑇(𝑥,𝑧,𝑚)   𝐹(𝑥,𝑦,𝑛)   𝑁(𝑧,𝑚)

Proof of Theorem knoppcnlem6
Dummy variables 𝑘 𝑤 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 nn0uz 11669 . 2 0 = (ℤ‘0)
2 0zd 11336 . 2 (𝜑 → 0 ∈ ℤ)
3 reex 9974 . . 3 ℝ ∈ V
43a1i 11 . 2 (𝜑 → ℝ ∈ V)
5 knoppcnlem6.t . . 3 𝑇 = (𝑥 ∈ ℝ ↦ (abs‘((⌊‘(𝑥 + (1 / 2))) − 𝑥)))
6 knoppcnlem6.f . . 3 𝐹 = (𝑦 ∈ ℝ ↦ (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((𝐶𝑛) · (𝑇‘(((2 · 𝑁)↑𝑛) · 𝑦)))))
7 knoppcnlem6.n . . 3 (𝜑𝑁 ∈ ℕ)
8 knoppcnlem6.1 . . 3 (𝜑𝐶 ∈ ℝ)
95, 6, 7, 8knoppcnlem5 32150 . 2 (𝜑 → (𝑚 ∈ ℕ0 ↦ (𝑧 ∈ ℝ ↦ ((𝐹𝑧)‘𝑚))):ℕ0⟶(ℂ ↑𝑚 ℝ))
10 nn0ex 11245 . . . 4 0 ∈ V
1110mptex 6443 . . 3 (𝑚 ∈ ℕ0 ↦ ((abs‘𝐶)↑𝑚)) ∈ V
1211a1i 11 . 2 (𝜑 → (𝑚 ∈ ℕ0 ↦ ((abs‘𝐶)↑𝑚)) ∈ V)
13 eqid 2621 . . . . 5 (𝑚 ∈ ℕ0 ↦ ((abs‘𝐶)↑𝑚)) = (𝑚 ∈ ℕ0 ↦ ((abs‘𝐶)↑𝑚))
1413a1i 11 . . . 4 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ0) → (𝑚 ∈ ℕ0 ↦ ((abs‘𝐶)↑𝑚)) = (𝑚 ∈ ℕ0 ↦ ((abs‘𝐶)↑𝑚)))
15 simpr 477 . . . . 5 (((𝜑𝑘 ∈ ℕ0) ∧ 𝑚 = 𝑘) → 𝑚 = 𝑘)
1615oveq2d 6623 . . . 4 (((𝜑𝑘 ∈ ℕ0) ∧ 𝑚 = 𝑘) → ((abs‘𝐶)↑𝑚) = ((abs‘𝐶)↑𝑘))
17 simpr 477 . . . 4 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ0) → 𝑘 ∈ ℕ0)
18 ovex 6635 . . . . 5 ((abs‘𝐶)↑𝑘) ∈ V
1918a1i 11 . . . 4 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ0) → ((abs‘𝐶)↑𝑘) ∈ V)
2014, 16, 17, 19fvmptd 6247 . . 3 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ0) → ((𝑚 ∈ ℕ0 ↦ ((abs‘𝐶)↑𝑚))‘𝑘) = ((abs‘𝐶)↑𝑘))
218recnd 10015 . . . . . 6 (𝜑𝐶 ∈ ℂ)
2221abscld 14112 . . . . 5 (𝜑 → (abs‘𝐶) ∈ ℝ)
2322adantr 481 . . . 4 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ0) → (abs‘𝐶) ∈ ℝ)
2423, 17reexpcld 12968 . . 3 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ0) → ((abs‘𝐶)↑𝑘) ∈ ℝ)
2520, 24eqeltrd 2698 . 2 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ0) → ((𝑚 ∈ ℕ0 ↦ ((abs‘𝐶)↑𝑚))‘𝑘) ∈ ℝ)
26 eqid 2621 . . . . . . 7 (𝑚 ∈ ℕ0 ↦ (𝑧 ∈ ℝ ↦ ((𝐹𝑧)‘𝑚))) = (𝑚 ∈ ℕ0 ↦ (𝑧 ∈ ℝ ↦ ((𝐹𝑧)‘𝑚)))
2726a1i 11 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ (𝑘 ∈ ℕ0𝑤 ∈ ℝ)) → (𝑚 ∈ ℕ0 ↦ (𝑧 ∈ ℝ ↦ ((𝐹𝑧)‘𝑚))) = (𝑚 ∈ ℕ0 ↦ (𝑧 ∈ ℝ ↦ ((𝐹𝑧)‘𝑚))))
28 simpr 477 . . . . . . . 8 (((𝜑 ∧ (𝑘 ∈ ℕ0𝑤 ∈ ℝ)) ∧ 𝑚 = 𝑘) → 𝑚 = 𝑘)
2928fveq2d 6154 . . . . . . 7 (((𝜑 ∧ (𝑘 ∈ ℕ0𝑤 ∈ ℝ)) ∧ 𝑚 = 𝑘) → ((𝐹𝑧)‘𝑚) = ((𝐹𝑧)‘𝑘))
3029mpteq2dv 4707 . . . . . 6 (((𝜑 ∧ (𝑘 ∈ ℕ0𝑤 ∈ ℝ)) ∧ 𝑚 = 𝑘) → (𝑧 ∈ ℝ ↦ ((𝐹𝑧)‘𝑚)) = (𝑧 ∈ ℝ ↦ ((𝐹𝑧)‘𝑘)))
3117adantrr 752 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ (𝑘 ∈ ℕ0𝑤 ∈ ℝ)) → 𝑘 ∈ ℕ0)
323mptex 6443 . . . . . . 7 (𝑧 ∈ ℝ ↦ ((𝐹𝑧)‘𝑘)) ∈ V
3332a1i 11 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ (𝑘 ∈ ℕ0𝑤 ∈ ℝ)) → (𝑧 ∈ ℝ ↦ ((𝐹𝑧)‘𝑘)) ∈ V)
3427, 30, 31, 33fvmptd 6247 . . . . 5 ((𝜑 ∧ (𝑘 ∈ ℕ0𝑤 ∈ ℝ)) → ((𝑚 ∈ ℕ0 ↦ (𝑧 ∈ ℝ ↦ ((𝐹𝑧)‘𝑚)))‘𝑘) = (𝑧 ∈ ℝ ↦ ((𝐹𝑧)‘𝑘)))
35 simpr 477 . . . . . . 7 (((𝜑 ∧ (𝑘 ∈ ℕ0𝑤 ∈ ℝ)) ∧ 𝑧 = 𝑤) → 𝑧 = 𝑤)
3635fveq2d 6154 . . . . . 6 (((𝜑 ∧ (𝑘 ∈ ℕ0𝑤 ∈ ℝ)) ∧ 𝑧 = 𝑤) → (𝐹𝑧) = (𝐹𝑤))
3736fveq1d 6152 . . . . 5 (((𝜑 ∧ (𝑘 ∈ ℕ0𝑤 ∈ ℝ)) ∧ 𝑧 = 𝑤) → ((𝐹𝑧)‘𝑘) = ((𝐹𝑤)‘𝑘))
38 simprr 795 . . . . 5 ((𝜑 ∧ (𝑘 ∈ ℕ0𝑤 ∈ ℝ)) → 𝑤 ∈ ℝ)
39 fvex 6160 . . . . . 6 ((𝐹𝑤)‘𝑘) ∈ V
4039a1i 11 . . . . 5 ((𝜑 ∧ (𝑘 ∈ ℕ0𝑤 ∈ ℝ)) → ((𝐹𝑤)‘𝑘) ∈ V)
4134, 37, 38, 40fvmptd 6247 . . . 4 ((𝜑 ∧ (𝑘 ∈ ℕ0𝑤 ∈ ℝ)) → (((𝑚 ∈ ℕ0 ↦ (𝑧 ∈ ℝ ↦ ((𝐹𝑧)‘𝑚)))‘𝑘)‘𝑤) = ((𝐹𝑤)‘𝑘))
4241fveq2d 6154 . . 3 ((𝜑 ∧ (𝑘 ∈ ℕ0𝑤 ∈ ℝ)) → (abs‘(((𝑚 ∈ ℕ0 ↦ (𝑧 ∈ ℝ ↦ ((𝐹𝑧)‘𝑚)))‘𝑘)‘𝑤)) = (abs‘((𝐹𝑤)‘𝑘)))
437adantr 481 . . . 4 ((𝜑 ∧ (𝑘 ∈ ℕ0𝑤 ∈ ℝ)) → 𝑁 ∈ ℕ)
448adantr 481 . . . 4 ((𝜑 ∧ (𝑘 ∈ ℕ0𝑤 ∈ ℝ)) → 𝐶 ∈ ℝ)
455, 6, 43, 44, 38, 31knoppcnlem4 32149 . . 3 ((𝜑 ∧ (𝑘 ∈ ℕ0𝑤 ∈ ℝ)) → (abs‘((𝐹𝑤)‘𝑘)) ≤ ((𝑚 ∈ ℕ0 ↦ ((abs‘𝐶)↑𝑚))‘𝑘))
4642, 45eqbrtrd 4637 . 2 ((𝜑 ∧ (𝑘 ∈ ℕ0𝑤 ∈ ℝ)) → (abs‘(((𝑚 ∈ ℕ0 ↦ (𝑧 ∈ ℝ ↦ ((𝐹𝑧)‘𝑚)))‘𝑘)‘𝑤)) ≤ ((𝑚 ∈ ℕ0 ↦ ((abs‘𝐶)↑𝑚))‘𝑘))
4722recnd 10015 . . . 4 (𝜑 → (abs‘𝐶) ∈ ℂ)
48 absidm 14000 . . . . . 6 (𝐶 ∈ ℂ → (abs‘(abs‘𝐶)) = (abs‘𝐶))
4921, 48syl 17 . . . . 5 (𝜑 → (abs‘(abs‘𝐶)) = (abs‘𝐶))
50 knoppcnlem6.2 . . . . 5 (𝜑 → (abs‘𝐶) < 1)
5149, 50eqbrtrd 4637 . . . 4 (𝜑 → (abs‘(abs‘𝐶)) < 1)
5247, 51, 20geolim 14529 . . 3 (𝜑 → seq0( + , (𝑚 ∈ ℕ0 ↦ ((abs‘𝐶)↑𝑚))) ⇝ (1 / (1 − (abs‘𝐶))))
53 seqex 12746 . . . 4 seq0( + , (𝑚 ∈ ℕ0 ↦ ((abs‘𝐶)↑𝑚))) ∈ V
54 ovex 6635 . . . 4 (1 / (1 − (abs‘𝐶))) ∈ V
5553, 54breldm 5291 . . 3 (seq0( + , (𝑚 ∈ ℕ0 ↦ ((abs‘𝐶)↑𝑚))) ⇝ (1 / (1 − (abs‘𝐶))) → seq0( + , (𝑚 ∈ ℕ0 ↦ ((abs‘𝐶)↑𝑚))) ∈ dom ⇝ )
5652, 55syl 17 . 2 (𝜑 → seq0( + , (𝑚 ∈ ℕ0 ↦ ((abs‘𝐶)↑𝑚))) ∈ dom ⇝ )
571, 2, 4, 9, 12, 25, 46, 56mtest 24069 1 (𝜑 → seq0( ∘𝑓 + , (𝑚 ∈ ℕ0 ↦ (𝑧 ∈ ℝ ↦ ((𝐹𝑧)‘𝑚)))) ∈ dom (⇝𝑢‘ℝ))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 384   = wceq 1480  wcel 1987  Vcvv 3186   class class class wbr 4615  cmpt 4675  dom cdm 5076  cfv 5849  (class class class)co 6607  𝑓 cof 6851  cc 9881  cr 9882  0cc0 9883  1c1 9884   + caddc 9886   · cmul 9888   < clt 10021  cle 10022  cmin 10213   / cdiv 10631  cn 10967  2c2 11017  0cn0 11239  cfl 12534  seqcseq 12744  cexp 12803  abscabs 13911  cli 14152  𝑢culm 24041
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1719  ax-4 1734  ax-5 1836  ax-6 1885  ax-7 1932  ax-8 1989  ax-9 1996  ax-10 2016  ax-11 2031  ax-12 2044  ax-13 2245  ax-ext 2601  ax-rep 4733  ax-sep 4743  ax-nul 4751  ax-pow 4805  ax-pr 4869  ax-un 6905  ax-inf2 8485  ax-cnex 9939  ax-resscn 9940  ax-1cn 9941  ax-icn 9942  ax-addcl 9943  ax-addrcl 9944  ax-mulcl 9945  ax-mulrcl 9946  ax-mulcom 9947  ax-addass 9948  ax-mulass 9949  ax-distr 9950  ax-i2m1 9951  ax-1ne0 9952  ax-1rid 9953  ax-rnegex 9954  ax-rrecex 9955  ax-cnre 9956  ax-pre-lttri 9957  ax-pre-lttrn 9958  ax-pre-ltadd 9959  ax-pre-mulgt0 9960  ax-pre-sup 9961  ax-addf 9962  ax-mulf 9963
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1037  df-3an 1038  df-tru 1483  df-fal 1486  df-ex 1702  df-nf 1707  df-sb 1878  df-eu 2473  df-mo 2474  df-clab 2608  df-cleq 2614  df-clel 2617  df-nfc 2750  df-ne 2791  df-nel 2894  df-ral 2912  df-rex 2913  df-reu 2914  df-rmo 2915  df-rab 2916  df-v 3188  df-sbc 3419  df-csb 3516  df-dif 3559  df-un 3561  df-in 3563  df-ss 3570  df-pss 3572  df-nul 3894  df-if 4061  df-pw 4134  df-sn 4151  df-pr 4153  df-tp 4155  df-op 4157  df-uni 4405  df-int 4443  df-iun 4489  df-br 4616  df-opab 4676  df-mpt 4677  df-tr 4715  df-eprel 4987  df-id 4991  df-po 4997  df-so 4998  df-fr 5035  df-se 5036  df-we 5037  df-xp 5082  df-rel 5083  df-cnv 5084  df-co 5085  df-dm 5086  df-rn 5087  df-res 5088  df-ima 5089  df-pred 5641  df-ord 5687  df-on 5688  df-lim 5689  df-suc 5690  df-iota 5812  df-fun 5851  df-fn 5852  df-f 5853  df-f1 5854  df-fo 5855  df-f1o 5856  df-fv 5857  df-isom 5858  df-riota 6568  df-ov 6610  df-oprab 6611  df-mpt2 6612  df-of 6853  df-om 7016  df-1st 7116  df-2nd 7117  df-wrecs 7355  df-recs 7416  df-rdg 7454  df-1o 7508  df-oadd 7512  df-er 7690  df-map 7807  df-pm 7808  df-en 7903  df-dom 7904  df-sdom 7905  df-fin 7906  df-sup 8295  df-inf 8296  df-oi 8362  df-card 8712  df-pnf 10023  df-mnf 10024  df-xr 10025  df-ltxr 10026  df-le 10027  df-sub 10215  df-neg 10216  df-div 10632  df-nn 10968  df-2 11026  df-3 11027  df-n0 11240  df-z 11325  df-uz 11635  df-rp 11780  df-ico 12126  df-fz 12272  df-fzo 12410  df-fl 12536  df-seq 12745  df-exp 12804  df-hash 13061  df-cj 13776  df-re 13777  df-im 13778  df-sqrt 13912  df-abs 13913  df-limsup 14139  df-clim 14156  df-rlim 14157  df-sum 14354  df-ulm 24042
This theorem is referenced by:  knoppcnlem9  32154
  Copyright terms: Public domain W3C validator