Users' Mathboxes Mathbox for Asger C. Ipsen < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  knoppcnlem7 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem knoppcnlem7 33735
Description: Lemma for knoppcn 33740. (Contributed by Asger C. Ipsen, 4-Apr-2021.) (Revised by Asger C. Ipsen, 5-Jul-2021.)
Hypotheses
Ref Expression
knoppcnlem7.t 𝑇 = (𝑥 ∈ ℝ ↦ (abs‘((⌊‘(𝑥 + (1 / 2))) − 𝑥)))
knoppcnlem7.f 𝐹 = (𝑦 ∈ ℝ ↦ (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((𝐶𝑛) · (𝑇‘(((2 · 𝑁)↑𝑛) · 𝑦)))))
knoppcnlem7.n (𝜑𝑁 ∈ ℕ)
knoppcnlem7.1 (𝜑𝐶 ∈ ℝ)
knoppcnlem7.2 (𝜑𝑀 ∈ ℕ0)
Assertion
Ref Expression
knoppcnlem7 (𝜑 → (seq0( ∘f + , (𝑚 ∈ ℕ0 ↦ (𝑧 ∈ ℝ ↦ ((𝐹𝑧)‘𝑚))))‘𝑀) = (𝑤 ∈ ℝ ↦ (seq0( + , (𝐹𝑤))‘𝑀)))
Distinct variable groups:   𝑚,𝐹,𝑤,𝑧   𝑚,𝑀,𝑤   𝜑,𝑚,𝑤
Allowed substitution hints:   𝜑(𝑥,𝑦,𝑧,𝑛)   𝐶(𝑥,𝑦,𝑧,𝑤,𝑚,𝑛)   𝑇(𝑥,𝑦,𝑧,𝑤,𝑚,𝑛)   𝐹(𝑥,𝑦,𝑛)   𝑀(𝑥,𝑦,𝑧,𝑛)   𝑁(𝑥,𝑦,𝑧,𝑤,𝑚,𝑛)

Proof of Theorem knoppcnlem7
Dummy variable 𝑘 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 reex 10616 . . 3 ℝ ∈ V
21a1i 11 . 2 (𝜑 → ℝ ∈ V)
3 knoppcnlem7.2 . . 3 (𝜑𝑀 ∈ ℕ0)
4 elnn0uz 12271 . . 3 (𝑀 ∈ ℕ0𝑀 ∈ (ℤ‘0))
53, 4sylib 219 . 2 (𝜑𝑀 ∈ (ℤ‘0))
6 eqid 2818 . . . 4 (𝑚 ∈ ℕ0 ↦ (𝑧 ∈ ℝ ↦ ((𝐹𝑧)‘𝑚))) = (𝑚 ∈ ℕ0 ↦ (𝑧 ∈ ℝ ↦ ((𝐹𝑧)‘𝑚)))
76a1i 11 . . 3 ((𝜑𝑘 ∈ (0...𝑀)) → (𝑚 ∈ ℕ0 ↦ (𝑧 ∈ ℝ ↦ ((𝐹𝑧)‘𝑚))) = (𝑚 ∈ ℕ0 ↦ (𝑧 ∈ ℝ ↦ ((𝐹𝑧)‘𝑚))))
8 fveq2 6663 . . . . . . 7 (𝑧 = 𝑤 → (𝐹𝑧) = (𝐹𝑤))
98fveq1d 6665 . . . . . 6 (𝑧 = 𝑤 → ((𝐹𝑧)‘𝑚) = ((𝐹𝑤)‘𝑚))
109cbvmptv 5160 . . . . 5 (𝑧 ∈ ℝ ↦ ((𝐹𝑧)‘𝑚)) = (𝑤 ∈ ℝ ↦ ((𝐹𝑤)‘𝑚))
1110a1i 11 . . . 4 (((𝜑𝑘 ∈ (0...𝑀)) ∧ 𝑚 = 𝑘) → (𝑧 ∈ ℝ ↦ ((𝐹𝑧)‘𝑚)) = (𝑤 ∈ ℝ ↦ ((𝐹𝑤)‘𝑚)))
12 fveq2 6663 . . . . . 6 (𝑚 = 𝑘 → ((𝐹𝑤)‘𝑚) = ((𝐹𝑤)‘𝑘))
1312mpteq2dv 5153 . . . . 5 (𝑚 = 𝑘 → (𝑤 ∈ ℝ ↦ ((𝐹𝑤)‘𝑚)) = (𝑤 ∈ ℝ ↦ ((𝐹𝑤)‘𝑘)))
1413adantl 482 . . . 4 (((𝜑𝑘 ∈ (0...𝑀)) ∧ 𝑚 = 𝑘) → (𝑤 ∈ ℝ ↦ ((𝐹𝑤)‘𝑚)) = (𝑤 ∈ ℝ ↦ ((𝐹𝑤)‘𝑘)))
1511, 14eqtrd 2853 . . 3 (((𝜑𝑘 ∈ (0...𝑀)) ∧ 𝑚 = 𝑘) → (𝑧 ∈ ℝ ↦ ((𝐹𝑧)‘𝑚)) = (𝑤 ∈ ℝ ↦ ((𝐹𝑤)‘𝑘)))
16 elfznn0 12988 . . . 4 (𝑘 ∈ (0...𝑀) → 𝑘 ∈ ℕ0)
1716adantl 482 . . 3 ((𝜑𝑘 ∈ (0...𝑀)) → 𝑘 ∈ ℕ0)
181mptex 6977 . . . 4 (𝑤 ∈ ℝ ↦ ((𝐹𝑤)‘𝑘)) ∈ V
1918a1i 11 . . 3 ((𝜑𝑘 ∈ (0...𝑀)) → (𝑤 ∈ ℝ ↦ ((𝐹𝑤)‘𝑘)) ∈ V)
207, 15, 17, 19fvmptd 6767 . 2 ((𝜑𝑘 ∈ (0...𝑀)) → ((𝑚 ∈ ℕ0 ↦ (𝑧 ∈ ℝ ↦ ((𝐹𝑧)‘𝑚)))‘𝑘) = (𝑤 ∈ ℝ ↦ ((𝐹𝑤)‘𝑘)))
212, 5, 20seqof 13415 1 (𝜑 → (seq0( ∘f + , (𝑚 ∈ ℕ0 ↦ (𝑧 ∈ ℝ ↦ ((𝐹𝑧)‘𝑚))))‘𝑀) = (𝑤 ∈ ℝ ↦ (seq0( + , (𝐹𝑤))‘𝑀)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 396   = wceq 1528  wcel 2105  Vcvv 3492  cmpt 5137  cfv 6348  (class class class)co 7145  f cof 7396  cr 10524  0cc0 10525  1c1 10526   + caddc 10528   · cmul 10530  cmin 10858   / cdiv 11285  cn 11626  2c2 11680  0cn0 11885  cuz 12231  ...cfz 12880  cfl 13148  seqcseq 13357  cexp 13417  abscabs 14581
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1787  ax-4 1801  ax-5 1902  ax-6 1961  ax-7 2006  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2136  ax-11 2151  ax-12 2167  ax-ext 2790  ax-rep 5181  ax-sep 5194  ax-nul 5201  ax-pow 5257  ax-pr 5320  ax-un 7450  ax-cnex 10581  ax-resscn 10582  ax-1cn 10583  ax-icn 10584  ax-addcl 10585  ax-addrcl 10586  ax-mulcl 10587  ax-mulrcl 10588  ax-mulcom 10589  ax-addass 10590  ax-mulass 10591  ax-distr 10592  ax-i2m1 10593  ax-1ne0 10594  ax-1rid 10595  ax-rnegex 10596  ax-rrecex 10597  ax-cnre 10598  ax-pre-lttri 10599  ax-pre-lttrn 10600  ax-pre-ltadd 10601  ax-pre-mulgt0 10602
This theorem depends on definitions:  df-bi 208  df-an 397  df-or 842  df-3or 1080  df-3an 1081  df-tru 1531  df-ex 1772  df-nf 1776  df-sb 2061  df-mo 2615  df-eu 2647  df-clab 2797  df-cleq 2811  df-clel 2890  df-nfc 2960  df-ne 3014  df-nel 3121  df-ral 3140  df-rex 3141  df-reu 3142  df-rab 3144  df-v 3494  df-sbc 3770  df-csb 3881  df-dif 3936  df-un 3938  df-in 3940  df-ss 3949  df-pss 3951  df-nul 4289  df-if 4464  df-pw 4537  df-sn 4558  df-pr 4560  df-tp 4562  df-op 4564  df-uni 4831  df-iun 4912  df-br 5058  df-opab 5120  df-mpt 5138  df-tr 5164  df-id 5453  df-eprel 5458  df-po 5467  df-so 5468  df-fr 5507  df-we 5509  df-xp 5554  df-rel 5555  df-cnv 5556  df-co 5557  df-dm 5558  df-rn 5559  df-res 5560  df-ima 5561  df-pred 6141  df-ord 6187  df-on 6188  df-lim 6189  df-suc 6190  df-iota 6307  df-fun 6350  df-fn 6351  df-f 6352  df-f1 6353  df-fo 6354  df-f1o 6355  df-fv 6356  df-riota 7103  df-ov 7148  df-oprab 7149  df-mpo 7150  df-of 7398  df-om 7570  df-1st 7678  df-2nd 7679  df-wrecs 7936  df-recs 7997  df-rdg 8035  df-er 8278  df-en 8498  df-dom 8499  df-sdom 8500  df-pnf 10665  df-mnf 10666  df-xr 10667  df-ltxr 10668  df-le 10669  df-sub 10860  df-neg 10861  df-nn 11627  df-n0 11886  df-z 11970  df-uz 12232  df-fz 12881  df-seq 13358
This theorem is referenced by:  knoppcnlem8  33736  knoppcnlem9  33737  knoppcnlem11  33739  knoppndvlem4  33751
  Copyright terms: Public domain W3C validator