Mathbox for Asger C. Ipsen < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  knoppcnlem7 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem knoppcnlem7 32795
 Description: Lemma for knoppcn 32800. (Contributed by Asger C. Ipsen, 4-Apr-2021.) (Revised by Asger C. Ipsen, 5-Jul-2021.)
Hypotheses
Ref Expression
knoppcnlem7.t 𝑇 = (𝑥 ∈ ℝ ↦ (abs‘((⌊‘(𝑥 + (1 / 2))) − 𝑥)))
knoppcnlem7.f 𝐹 = (𝑦 ∈ ℝ ↦ (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((𝐶𝑛) · (𝑇‘(((2 · 𝑁)↑𝑛) · 𝑦)))))
knoppcnlem7.n (𝜑𝑁 ∈ ℕ)
knoppcnlem7.1 (𝜑𝐶 ∈ ℝ)
knoppcnlem7.2 (𝜑𝑀 ∈ ℕ0)
Assertion
Ref Expression
knoppcnlem7 (𝜑 → (seq0( ∘𝑓 + , (𝑚 ∈ ℕ0 ↦ (𝑧 ∈ ℝ ↦ ((𝐹𝑧)‘𝑚))))‘𝑀) = (𝑤 ∈ ℝ ↦ (seq0( + , (𝐹𝑤))‘𝑀)))
Distinct variable groups:   𝑚,𝐹,𝑤,𝑧   𝑚,𝑀,𝑤   𝜑,𝑚,𝑤
Allowed substitution hints:   𝜑(𝑥,𝑦,𝑧,𝑛)   𝐶(𝑥,𝑦,𝑧,𝑤,𝑚,𝑛)   𝑇(𝑥,𝑦,𝑧,𝑤,𝑚,𝑛)   𝐹(𝑥,𝑦,𝑛)   𝑀(𝑥,𝑦,𝑧,𝑛)   𝑁(𝑥,𝑦,𝑧,𝑤,𝑚,𝑛)

Proof of Theorem knoppcnlem7
Dummy variable 𝑘 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 reex 10219 . . 3 ℝ ∈ V
21a1i 11 . 2 (𝜑 → ℝ ∈ V)
3 knoppcnlem7.2 . . 3 (𝜑𝑀 ∈ ℕ0)
4 elnn0uz 11918 . . 3 (𝑀 ∈ ℕ0𝑀 ∈ (ℤ‘0))
53, 4sylib 208 . 2 (𝜑𝑀 ∈ (ℤ‘0))
6 eqid 2760 . . . 4 (𝑚 ∈ ℕ0 ↦ (𝑧 ∈ ℝ ↦ ((𝐹𝑧)‘𝑚))) = (𝑚 ∈ ℕ0 ↦ (𝑧 ∈ ℝ ↦ ((𝐹𝑧)‘𝑚)))
76a1i 11 . . 3 ((𝜑𝑘 ∈ (0...𝑀)) → (𝑚 ∈ ℕ0 ↦ (𝑧 ∈ ℝ ↦ ((𝐹𝑧)‘𝑚))) = (𝑚 ∈ ℕ0 ↦ (𝑧 ∈ ℝ ↦ ((𝐹𝑧)‘𝑚))))
8 fveq2 6352 . . . . . . 7 (𝑧 = 𝑤 → (𝐹𝑧) = (𝐹𝑤))
98fveq1d 6354 . . . . . 6 (𝑧 = 𝑤 → ((𝐹𝑧)‘𝑚) = ((𝐹𝑤)‘𝑚))
109cbvmptv 4902 . . . . 5 (𝑧 ∈ ℝ ↦ ((𝐹𝑧)‘𝑚)) = (𝑤 ∈ ℝ ↦ ((𝐹𝑤)‘𝑚))
1110a1i 11 . . . 4 (((𝜑𝑘 ∈ (0...𝑀)) ∧ 𝑚 = 𝑘) → (𝑧 ∈ ℝ ↦ ((𝐹𝑧)‘𝑚)) = (𝑤 ∈ ℝ ↦ ((𝐹𝑤)‘𝑚)))
12 fveq2 6352 . . . . . 6 (𝑚 = 𝑘 → ((𝐹𝑤)‘𝑚) = ((𝐹𝑤)‘𝑘))
1312mpteq2dv 4897 . . . . 5 (𝑚 = 𝑘 → (𝑤 ∈ ℝ ↦ ((𝐹𝑤)‘𝑚)) = (𝑤 ∈ ℝ ↦ ((𝐹𝑤)‘𝑘)))
1413adantl 473 . . . 4 (((𝜑𝑘 ∈ (0...𝑀)) ∧ 𝑚 = 𝑘) → (𝑤 ∈ ℝ ↦ ((𝐹𝑤)‘𝑚)) = (𝑤 ∈ ℝ ↦ ((𝐹𝑤)‘𝑘)))
1511, 14eqtrd 2794 . . 3 (((𝜑𝑘 ∈ (0...𝑀)) ∧ 𝑚 = 𝑘) → (𝑧 ∈ ℝ ↦ ((𝐹𝑧)‘𝑚)) = (𝑤 ∈ ℝ ↦ ((𝐹𝑤)‘𝑘)))
16 elfznn0 12626 . . . 4 (𝑘 ∈ (0...𝑀) → 𝑘 ∈ ℕ0)
1716adantl 473 . . 3 ((𝜑𝑘 ∈ (0...𝑀)) → 𝑘 ∈ ℕ0)
181mptex 6650 . . . 4 (𝑤 ∈ ℝ ↦ ((𝐹𝑤)‘𝑘)) ∈ V
1918a1i 11 . . 3 ((𝜑𝑘 ∈ (0...𝑀)) → (𝑤 ∈ ℝ ↦ ((𝐹𝑤)‘𝑘)) ∈ V)
207, 15, 17, 19fvmptd 6450 . 2 ((𝜑𝑘 ∈ (0...𝑀)) → ((𝑚 ∈ ℕ0 ↦ (𝑧 ∈ ℝ ↦ ((𝐹𝑧)‘𝑚)))‘𝑘) = (𝑤 ∈ ℝ ↦ ((𝐹𝑤)‘𝑘)))
212, 5, 20seqof 13052 1 (𝜑 → (seq0( ∘𝑓 + , (𝑚 ∈ ℕ0 ↦ (𝑧 ∈ ℝ ↦ ((𝐹𝑧)‘𝑚))))‘𝑀) = (𝑤 ∈ ℝ ↦ (seq0( + , (𝐹𝑤))‘𝑀)))
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 383   = wceq 1632   ∈ wcel 2139  Vcvv 3340   ↦ cmpt 4881  ‘cfv 6049  (class class class)co 6813   ∘𝑓 cof 7060  ℝcr 10127  0cc0 10128  1c1 10129   + caddc 10131   · cmul 10133   − cmin 10458   / cdiv 10876  ℕcn 11212  2c2 11262  ℕ0cn0 11484  ℤ≥cuz 11879  ...cfz 12519  ⌊cfl 12785  seqcseq 12995  ↑cexp 13054  abscabs 14173 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1871  ax-4 1886  ax-5 1988  ax-6 2054  ax-7 2090  ax-8 2141  ax-9 2148  ax-10 2168  ax-11 2183  ax-12 2196  ax-13 2391  ax-ext 2740  ax-rep 4923  ax-sep 4933  ax-nul 4941  ax-pow 4992  ax-pr 5055  ax-un 7114  ax-cnex 10184  ax-resscn 10185  ax-1cn 10186  ax-icn 10187  ax-addcl 10188  ax-addrcl 10189  ax-mulcl 10190  ax-mulrcl 10191  ax-mulcom 10192  ax-addass 10193  ax-mulass 10194  ax-distr 10195  ax-i2m1 10196  ax-1ne0 10197  ax-1rid 10198  ax-rnegex 10199  ax-rrecex 10200  ax-cnre 10201  ax-pre-lttri 10202  ax-pre-lttrn 10203  ax-pre-ltadd 10204  ax-pre-mulgt0 10205 This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3or 1073  df-3an 1074  df-tru 1635  df-ex 1854  df-nf 1859  df-sb 2047  df-eu 2611  df-mo 2612  df-clab 2747  df-cleq 2753  df-clel 2756  df-nfc 2891  df-ne 2933  df-nel 3036  df-ral 3055  df-rex 3056  df-reu 3057  df-rab 3059  df-v 3342  df-sbc 3577  df-csb 3675  df-dif 3718  df-un 3720  df-in 3722  df-ss 3729  df-pss 3731  df-nul 4059  df-if 4231  df-pw 4304  df-sn 4322  df-pr 4324  df-tp 4326  df-op 4328  df-uni 4589  df-iun 4674  df-br 4805  df-opab 4865  df-mpt 4882  df-tr 4905  df-id 5174  df-eprel 5179  df-po 5187  df-so 5188  df-fr 5225  df-we 5227  df-xp 5272  df-rel 5273  df-cnv 5274  df-co 5275  df-dm 5276  df-rn 5277  df-res 5278  df-ima 5279  df-pred 5841  df-ord 5887  df-on 5888  df-lim 5889  df-suc 5890  df-iota 6012  df-fun 6051  df-fn 6052  df-f 6053  df-f1 6054  df-fo 6055  df-f1o 6056  df-fv 6057  df-riota 6774  df-ov 6816  df-oprab 6817  df-mpt2 6818  df-of 7062  df-om 7231  df-1st 7333  df-2nd 7334  df-wrecs 7576  df-recs 7637  df-rdg 7675  df-er 7911  df-en 8122  df-dom 8123  df-sdom 8124  df-pnf 10268  df-mnf 10269  df-xr 10270  df-ltxr 10271  df-le 10272  df-sub 10460  df-neg 10461  df-nn 11213  df-n0 11485  df-z 11570  df-uz 11880  df-fz 12520  df-seq 12996 This theorem is referenced by:  knoppcnlem8  32796  knoppcnlem9  32797  knoppcnlem11  32799  knoppndvlem4  32812
 Copyright terms: Public domain W3C validator