Theorem knoppcnlem9 33844

Description: Lemma for knoppcn 33847. (Contributed by Asger C. Ipsen, 4-Apr-2021.) (Revised by Asger C. Ipsen, 5-Jul-2021.)

Hypotheses

Ref	Expression
knoppcnlem9.t	⊢ 𝑇 = (𝑥 ∈ ℝ ↦ (abs‘((⌊‘(𝑥 + (1 / 2))) − 𝑥)))
knoppcnlem9.f	⊢ 𝐹 = (𝑦 ∈ ℝ ↦ (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((𝐶↑𝑛) · (𝑇‘(((2 · 𝑁)↑𝑛) · 𝑦)))))
knoppcnlem9.w	⊢ 𝑊 = (𝑤 ∈ ℝ ↦ Σ𝑖 ∈ ℕ0 ((𝐹‘𝑤)‘𝑖))
knoppcnlem9.n	⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℕ)
knoppcnlem9.1	⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℝ)
knoppcnlem9.2	⊢ (𝜑 → (abs‘𝐶) < 1)

Assertion

Ref	Expression
knoppcnlem9	⊢ (𝜑 → seq0( ∘f + , (𝑚 ∈ ℕ0 ↦ (𝑧 ∈ ℝ ↦ ((𝐹‘𝑧)‘𝑚))))(⇝𝑢‘ℝ)𝑊)

Distinct variable groups:   𝐶,𝑚,𝑛,𝑦   𝑖,𝐹,𝑚,𝑤,𝑧   𝑛,𝑁,𝑦   𝑥,𝑁   𝑇,𝑛,𝑦   𝜑,𝑖,𝑚,𝑤,𝑧,𝑛,𝑦   𝑥,𝑖,𝑚,𝑤,𝑧

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑥)   𝐶(𝑥,𝑧,𝑤,𝑖)   𝑇(𝑥,𝑧,𝑤,𝑖,𝑚)   𝐹(𝑥,𝑦,𝑛)   𝑁(𝑧,𝑤,𝑖,𝑚)   𝑊(𝑥,𝑦,𝑧,𝑤,𝑖,𝑚,𝑛)

Proof of Theorem knoppcnlem9

Dummy variables 𝑓 𝑘 𝑣 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		knoppcnlem9.t	. . . 4 ⊢ 𝑇 = (𝑥 ∈ ℝ ↦ (abs‘((⌊‘(𝑥 + (1 / 2))) − 𝑥)))
2		knoppcnlem9.f	. . . 4 ⊢ 𝐹 = (𝑦 ∈ ℝ ↦ (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((𝐶↑𝑛) · (𝑇‘(((2 · 𝑁)↑𝑛) · 𝑦)))))
3		knoppcnlem9.n	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℕ)
4		knoppcnlem9.1	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℝ)
5		knoppcnlem9.2	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (abs‘𝐶) < 1)
6	1, 2, 3, 4, 5	knoppcnlem6 33841	. . 3 ⊢ (𝜑 → seq0( ∘f + , (𝑚 ∈ ℕ0 ↦ (𝑧 ∈ ℝ ↦ ((𝐹‘𝑧)‘𝑚)))) ∈ dom (⇝𝑢‘ℝ))
7		seqex 13374	. . . 4 ⊢ seq0( ∘f + , (𝑚 ∈ ℕ0 ↦ (𝑧 ∈ ℝ ↦ ((𝐹‘𝑧)‘𝑚)))) ∈ V
8	7	eldm 5772	. . 3 ⊢ (seq0( ∘f + , (𝑚 ∈ ℕ0 ↦ (𝑧 ∈ ℝ ↦ ((𝐹‘𝑧)‘𝑚)))) ∈ dom (⇝𝑢‘ℝ) ↔ ∃𝑓seq0( ∘f + , (𝑚 ∈ ℕ0 ↦ (𝑧 ∈ ℝ ↦ ((𝐹‘𝑧)‘𝑚))))(⇝𝑢‘ℝ)𝑓)
9	6, 8	sylib 220	. 2 ⊢ (𝜑 → ∃𝑓seq0( ∘f + , (𝑚 ∈ ℕ0 ↦ (𝑧 ∈ ℝ ↦ ((𝐹‘𝑧)‘𝑚))))(⇝𝑢‘ℝ)𝑓)
10		simpr 487	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ seq0( ∘f + , (𝑚 ∈ ℕ0 ↦ (𝑧 ∈ ℝ ↦ ((𝐹‘𝑧)‘𝑚))))(⇝𝑢‘ℝ)𝑓) → seq0( ∘f + , (𝑚 ∈ ℕ0 ↦ (𝑧 ∈ ℝ ↦ ((𝐹‘𝑧)‘𝑚))))(⇝𝑢‘ℝ)𝑓)
11		ulmcl 24972	. . . . . . . 8 ⊢ (seq0( ∘f + , (𝑚 ∈ ℕ0 ↦ (𝑧 ∈ ℝ ↦ ((𝐹‘𝑧)‘𝑚))))(⇝𝑢‘ℝ)𝑓 → 𝑓:ℝ⟶ℂ)
12	11	feqmptd 6736	. . . . . . 7 ⊢ (seq0( ∘f + , (𝑚 ∈ ℕ0 ↦ (𝑧 ∈ ℝ ↦ ((𝐹‘𝑧)‘𝑚))))(⇝𝑢‘ℝ)𝑓 → 𝑓 = (𝑤 ∈ ℝ ↦ (𝑓‘𝑤)))
13	12	adantl 484	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ seq0( ∘f + , (𝑚 ∈ ℕ0 ↦ (𝑧 ∈ ℝ ↦ ((𝐹‘𝑧)‘𝑚))))(⇝𝑢‘ℝ)𝑓) → 𝑓 = (𝑤 ∈ ℝ ↦ (𝑓‘𝑤)))
14		nn0uz 12283	. . . . . . . . 9 ⊢ ℕ0 = (ℤ≥‘0)
15		0zd 11996	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ seq0( ∘f + , (𝑚 ∈ ℕ0 ↦ (𝑧 ∈ ℝ ↦ ((𝐹‘𝑧)‘𝑚))))(⇝𝑢‘ℝ)𝑓) ∧ 𝑤 ∈ ℝ) → 0 ∈ ℤ)
16		eqidd 2825	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝜑 ∧ seq0( ∘f + , (𝑚 ∈ ℕ0 ↦ (𝑧 ∈ ℝ ↦ ((𝐹‘𝑧)‘𝑚))))(⇝𝑢‘ℝ)𝑓) ∧ 𝑤 ∈ ℝ) ∧ 𝑖 ∈ ℕ0) → ((𝐹‘𝑤)‘𝑖) = ((𝐹‘𝑤)‘𝑖))
17	3	ad2antrr 724	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑤 ∈ ℝ) ∧ 𝑖 ∈ ℕ0) → 𝑁 ∈ ℕ)
18	4	ad2antrr 724	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑤 ∈ ℝ) ∧ 𝑖 ∈ ℕ0) → 𝐶 ∈ ℝ)
19		simplr 767	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑤 ∈ ℝ) ∧ 𝑖 ∈ ℕ0) → 𝑤 ∈ ℝ)
20		simpr 487	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑤 ∈ ℝ) ∧ 𝑖 ∈ ℕ0) → 𝑖 ∈ ℕ0)
21	1, 2, 17, 18, 19, 20	knoppcnlem3 33838	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑤 ∈ ℝ) ∧ 𝑖 ∈ ℕ0) → ((𝐹‘𝑤)‘𝑖) ∈ ℝ)
22	21	adantllr 717	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝜑 ∧ seq0( ∘f + , (𝑚 ∈ ℕ0 ↦ (𝑧 ∈ ℝ ↦ ((𝐹‘𝑧)‘𝑚))))(⇝𝑢‘ℝ)𝑓) ∧ 𝑤 ∈ ℝ) ∧ 𝑖 ∈ ℕ0) → ((𝐹‘𝑤)‘𝑖) ∈ ℝ)
23	22	recnd 10672	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝜑 ∧ seq0( ∘f + , (𝑚 ∈ ℕ0 ↦ (𝑧 ∈ ℝ ↦ ((𝐹‘𝑧)‘𝑚))))(⇝𝑢‘ℝ)𝑓) ∧ 𝑤 ∈ ℝ) ∧ 𝑖 ∈ ℕ0) → ((𝐹‘𝑤)‘𝑖) ∈ ℂ)
24	1, 2, 3, 4	knoppcnlem8 33843	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → seq0( ∘f + , (𝑚 ∈ ℕ0 ↦ (𝑧 ∈ ℝ ↦ ((𝐹‘𝑧)‘𝑚)))):ℕ0⟶(ℂ ↑m ℝ))
25	24	ad2antrr 724	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ seq0( ∘f + , (𝑚 ∈ ℕ0 ↦ (𝑧 ∈ ℝ ↦ ((𝐹‘𝑧)‘𝑚))))(⇝𝑢‘ℝ)𝑓) ∧ 𝑤 ∈ ℝ) → seq0( ∘f + , (𝑚 ∈ ℕ0 ↦ (𝑧 ∈ ℝ ↦ ((𝐹‘𝑧)‘𝑚)))):ℕ0⟶(ℂ ↑m ℝ))
26		simpr 487	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ seq0( ∘f + , (𝑚 ∈ ℕ0 ↦ (𝑧 ∈ ℝ ↦ ((𝐹‘𝑧)‘𝑚))))(⇝𝑢‘ℝ)𝑓) ∧ 𝑤 ∈ ℝ) → 𝑤 ∈ ℝ)
27		seqex 13374	. . . . . . . . . . 11 ⊢ seq0( + , (𝐹‘𝑤)) ∈ V
28	27	a1i 11	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ seq0( ∘f + , (𝑚 ∈ ℕ0 ↦ (𝑧 ∈ ℝ ↦ ((𝐹‘𝑧)‘𝑚))))(⇝𝑢‘ℝ)𝑓) ∧ 𝑤 ∈ ℝ) → seq0( + , (𝐹‘𝑤)) ∈ V)
29	3	ad2antrr 724	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑤 ∈ ℝ) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → 𝑁 ∈ ℕ)
30	4	ad2antrr 724	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑤 ∈ ℝ) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → 𝐶 ∈ ℝ)
31		simpr 487	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑤 ∈ ℝ) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → 𝑘 ∈ ℕ0)
32	1, 2, 29, 30, 31	knoppcnlem7 33842	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑤 ∈ ℝ) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (seq0( ∘f + , (𝑚 ∈ ℕ0 ↦ (𝑧 ∈ ℝ ↦ ((𝐹‘𝑧)‘𝑚))))‘𝑘) = (𝑣 ∈ ℝ ↦ (seq0( + , (𝐹‘𝑣))‘𝑘)))
33	32	adantllr 717	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝜑 ∧ seq0( ∘f + , (𝑚 ∈ ℕ0 ↦ (𝑧 ∈ ℝ ↦ ((𝐹‘𝑧)‘𝑚))))(⇝𝑢‘ℝ)𝑓) ∧ 𝑤 ∈ ℝ) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (seq0( ∘f + , (𝑚 ∈ ℕ0 ↦ (𝑧 ∈ ℝ ↦ ((𝐹‘𝑧)‘𝑚))))‘𝑘) = (𝑣 ∈ ℝ ↦ (seq0( + , (𝐹‘𝑣))‘𝑘)))
34	33	fveq1d 6675	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝜑 ∧ seq0( ∘f + , (𝑚 ∈ ℕ0 ↦ (𝑧 ∈ ℝ ↦ ((𝐹‘𝑧)‘𝑚))))(⇝𝑢‘ℝ)𝑓) ∧ 𝑤 ∈ ℝ) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → ((seq0( ∘f + , (𝑚 ∈ ℕ0 ↦ (𝑧 ∈ ℝ ↦ ((𝐹‘𝑧)‘𝑚))))‘𝑘)‘𝑤) = ((𝑣 ∈ ℝ ↦ (seq0( + , (𝐹‘𝑣))‘𝑘))‘𝑤))
35		eqid 2824	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑣 ∈ ℝ ↦ (seq0( + , (𝐹‘𝑣))‘𝑘)) = (𝑣 ∈ ℝ ↦ (seq0( + , (𝐹‘𝑣))‘𝑘))
36		fveq2 6673	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑣 = 𝑤 → (𝐹‘𝑣) = (𝐹‘𝑤))
37	36	seqeq3d 13380	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑣 = 𝑤 → seq0( + , (𝐹‘𝑣)) = seq0( + , (𝐹‘𝑤)))
38	37	fveq1d 6675	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑣 = 𝑤 → (seq0( + , (𝐹‘𝑣))‘𝑘) = (seq0( + , (𝐹‘𝑤))‘𝑘))
39	26	adantr 483	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝜑 ∧ seq0( ∘f + , (𝑚 ∈ ℕ0 ↦ (𝑧 ∈ ℝ ↦ ((𝐹‘𝑧)‘𝑚))))(⇝𝑢‘ℝ)𝑓) ∧ 𝑤 ∈ ℝ) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → 𝑤 ∈ ℝ)
40		fvexd 6688	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝜑 ∧ seq0( ∘f + , (𝑚 ∈ ℕ0 ↦ (𝑧 ∈ ℝ ↦ ((𝐹‘𝑧)‘𝑚))))(⇝𝑢‘ℝ)𝑓) ∧ 𝑤 ∈ ℝ) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (seq0( + , (𝐹‘𝑤))‘𝑘) ∈ V)
41	35, 38, 39, 40	fvmptd3 6794	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝜑 ∧ seq0( ∘f + , (𝑚 ∈ ℕ0 ↦ (𝑧 ∈ ℝ ↦ ((𝐹‘𝑧)‘𝑚))))(⇝𝑢‘ℝ)𝑓) ∧ 𝑤 ∈ ℝ) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → ((𝑣 ∈ ℝ ↦ (seq0( + , (𝐹‘𝑣))‘𝑘))‘𝑤) = (seq0( + , (𝐹‘𝑤))‘𝑘))
42	34, 41	eqtrd 2859	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝜑 ∧ seq0( ∘f + , (𝑚 ∈ ℕ0 ↦ (𝑧 ∈ ℝ ↦ ((𝐹‘𝑧)‘𝑚))))(⇝𝑢‘ℝ)𝑓) ∧ 𝑤 ∈ ℝ) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → ((seq0( ∘f + , (𝑚 ∈ ℕ0 ↦ (𝑧 ∈ ℝ ↦ ((𝐹‘𝑧)‘𝑚))))‘𝑘)‘𝑤) = (seq0( + , (𝐹‘𝑤))‘𝑘))
43		simplr 767	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ seq0( ∘f + , (𝑚 ∈ ℕ0 ↦ (𝑧 ∈ ℝ ↦ ((𝐹‘𝑧)‘𝑚))))(⇝𝑢‘ℝ)𝑓) ∧ 𝑤 ∈ ℝ) → seq0( ∘f + , (𝑚 ∈ ℕ0 ↦ (𝑧 ∈ ℝ ↦ ((𝐹‘𝑧)‘𝑚))))(⇝𝑢‘ℝ)𝑓)
44	14, 15, 25, 26, 28, 42, 43	ulmclm 24978	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ seq0( ∘f + , (𝑚 ∈ ℕ0 ↦ (𝑧 ∈ ℝ ↦ ((𝐹‘𝑧)‘𝑚))))(⇝𝑢‘ℝ)𝑓) ∧ 𝑤 ∈ ℝ) → seq0( + , (𝐹‘𝑤)) ⇝ (𝑓‘𝑤))
45	14, 15, 16, 23, 44	isumclim 15115	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ seq0( ∘f + , (𝑚 ∈ ℕ0 ↦ (𝑧 ∈ ℝ ↦ ((𝐹‘𝑧)‘𝑚))))(⇝𝑢‘ℝ)𝑓) ∧ 𝑤 ∈ ℝ) → Σ𝑖 ∈ ℕ0 ((𝐹‘𝑤)‘𝑖) = (𝑓‘𝑤))
46	45	eqcomd 2830	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ seq0( ∘f + , (𝑚 ∈ ℕ0 ↦ (𝑧 ∈ ℝ ↦ ((𝐹‘𝑧)‘𝑚))))(⇝𝑢‘ℝ)𝑓) ∧ 𝑤 ∈ ℝ) → (𝑓‘𝑤) = Σ𝑖 ∈ ℕ0 ((𝐹‘𝑤)‘𝑖))
47	46	mpteq2dva 5164	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ seq0( ∘f + , (𝑚 ∈ ℕ0 ↦ (𝑧 ∈ ℝ ↦ ((𝐹‘𝑧)‘𝑚))))(⇝𝑢‘ℝ)𝑓) → (𝑤 ∈ ℝ ↦ (𝑓‘𝑤)) = (𝑤 ∈ ℝ ↦ Σ𝑖 ∈ ℕ0 ((𝐹‘𝑤)‘𝑖)))
48		knoppcnlem9.w	. . . . . . . 8 ⊢ 𝑊 = (𝑤 ∈ ℝ ↦ Σ𝑖 ∈ ℕ0 ((𝐹‘𝑤)‘𝑖))
49	48	a1i 11	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ seq0( ∘f + , (𝑚 ∈ ℕ0 ↦ (𝑧 ∈ ℝ ↦ ((𝐹‘𝑧)‘𝑚))))(⇝𝑢‘ℝ)𝑓) → 𝑊 = (𝑤 ∈ ℝ ↦ Σ𝑖 ∈ ℕ0 ((𝐹‘𝑤)‘𝑖)))
50	49	eqcomd 2830	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ seq0( ∘f + , (𝑚 ∈ ℕ0 ↦ (𝑧 ∈ ℝ ↦ ((𝐹‘𝑧)‘𝑚))))(⇝𝑢‘ℝ)𝑓) → (𝑤 ∈ ℝ ↦ Σ𝑖 ∈ ℕ0 ((𝐹‘𝑤)‘𝑖)) = 𝑊)
51	13, 47, 50	3eqtrd 2863	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ seq0( ∘f + , (𝑚 ∈ ℕ0 ↦ (𝑧 ∈ ℝ ↦ ((𝐹‘𝑧)‘𝑚))))(⇝𝑢‘ℝ)𝑓) → 𝑓 = 𝑊)
52	10, 51	breqtrd 5095	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ seq0( ∘f + , (𝑚 ∈ ℕ0 ↦ (𝑧 ∈ ℝ ↦ ((𝐹‘𝑧)‘𝑚))))(⇝𝑢‘ℝ)𝑓) → seq0( ∘f + , (𝑚 ∈ ℕ0 ↦ (𝑧 ∈ ℝ ↦ ((𝐹‘𝑧)‘𝑚))))(⇝𝑢‘ℝ)𝑊)
53	52	ex 415	. . 3 ⊢ (𝜑 → (seq0( ∘f + , (𝑚 ∈ ℕ0 ↦ (𝑧 ∈ ℝ ↦ ((𝐹‘𝑧)‘𝑚))))(⇝𝑢‘ℝ)𝑓 → seq0( ∘f + , (𝑚 ∈ ℕ0 ↦ (𝑧 ∈ ℝ ↦ ((𝐹‘𝑧)‘𝑚))))(⇝𝑢‘ℝ)𝑊))
54	53	exlimdv 1933	. 2 ⊢ (𝜑 → (∃𝑓seq0( ∘f + , (𝑚 ∈ ℕ0 ↦ (𝑧 ∈ ℝ ↦ ((𝐹‘𝑧)‘𝑚))))(⇝𝑢‘ℝ)𝑓 → seq0( ∘f + , (𝑚 ∈ ℕ0 ↦ (𝑧 ∈ ℝ ↦ ((𝐹‘𝑧)‘𝑚))))(⇝𝑢‘ℝ)𝑊))
55	9, 54	mpd 15	1 ⊢ (𝜑 → seq0( ∘f + , (𝑚 ∈ ℕ0 ↦ (𝑧 ∈ ℝ ↦ ((𝐹‘𝑧)‘𝑚))))(⇝𝑢‘ℝ)𝑊)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 398   = wceq 1536  ∃wex 1779   ∈ wcel 2113  Vcvv 3497   class class class wbr 5069   ↦ cmpt 5149  dom cdm 5558  ⟶wf 6354  ‘cfv 6358  (class class class)co 7159   ∘_f cof 7410   ↑_m cmap 8409  ℂcc 10538  ℝcr 10539  0cc0 10540  1c1 10541   + caddc 10543   · cmul 10545   < clt 10678   − cmin 10873   / cdiv 11300  ℕcn 11641  2c2 11695  ℕ₀cn0 11900  ⌊cfl 13163  seqcseq 13372  ↑cexp 13432  abscabs 14596  Σcsu 15045  ⇝_𝑢culm 24967

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1969  ax-7 2014  ax-8 2115  ax-9 2123  ax-10 2144  ax-11 2160  ax-12 2176  ax-ext 2796  ax-rep 5193  ax-sep 5206  ax-nul 5213  ax-pow 5269  ax-pr 5333  ax-un 7464  ax-inf2 9107  ax-cnex 10596  ax-resscn 10597  ax-1cn 10598  ax-icn 10599  ax-addcl 10600  ax-addrcl 10601  ax-mulcl 10602  ax-mulrcl 10603  ax-mulcom 10604  ax-addass 10605  ax-mulass 10606  ax-distr 10607  ax-i2m1 10608  ax-1ne0 10609  ax-1rid 10610  ax-rnegex 10611  ax-rrecex 10612  ax-cnre 10613  ax-pre-lttri 10614  ax-pre-lttrn 10615  ax-pre-ltadd 10616  ax-pre-mulgt0 10617  ax-pre-sup 10618  ax-addf 10619  ax-mulf 10620

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 399  df-or 844  df-3or 1084  df-3an 1085  df-tru 1539  df-fal 1549  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2069  df-mo 2621  df-eu 2653  df-clab 2803  df-cleq 2817  df-clel 2896  df-nfc 2966  df-ne 3020  df-nel 3127  df-ral 3146  df-rex 3147  df-reu 3148  df-rmo 3149  df-rab 3150  df-v 3499  df-sbc 3776  df-csb 3887  df-dif 3942  df-un 3944  df-in 3946  df-ss 3955  df-pss 3957  df-nul 4295  df-if 4471  df-pw 4544  df-sn 4571  df-pr 4573  df-tp 4575  df-op 4577  df-uni 4842  df-int 4880  df-iun 4924  df-br 5070  df-opab 5132  df-mpt 5150  df-tr 5176  df-id 5463  df-eprel 5468  df-po 5477  df-so 5478  df-fr 5517  df-se 5518  df-we 5519  df-xp 5564  df-rel 5565  df-cnv 5566  df-co 5567  df-dm 5568  df-rn 5569  df-res 5570  df-ima 5571  df-pred 6151  df-ord 6197  df-on 6198  df-lim 6199  df-suc 6200  df-iota 6317  df-fun 6360  df-fn 6361  df-f 6362  df-f1 6363  df-fo 6364  df-f1o 6365  df-fv 6366  df-isom 6367  df-riota 7117  df-ov 7162  df-oprab 7163  df-mpo 7164  df-of 7412  df-om 7584  df-1st 7692  df-2nd 7693  df-wrecs 7950  df-recs 8011  df-rdg 8049  df-1o 8105  df-oadd 8109  df-er 8292  df-map 8411  df-pm 8412  df-en 8513  df-dom 8514  df-sdom 8515  df-fin 8516  df-sup 8909  df-inf 8910  df-oi 8977  df-card 9371  df-pnf 10680  df-mnf 10681  df-xr 10682  df-ltxr 10683  df-le 10684  df-sub 10875  df-neg 10876  df-div 11301  df-nn 11642  df-2 11703  df-3 11704  df-n0 11901  df-z 11985  df-uz 12247  df-rp 12393  df-ico 12747  df-fz 12896  df-fzo 13037  df-fl 13165  df-seq 13373  df-exp 13433  df-hash 13694  df-cj 14461  df-re 14462  df-im 14463  df-sqrt 14597  df-abs 14598  df-limsup 14831  df-clim 14848  df-rlim 14849  df-sum 15046  df-ulm 24968

This theorem is referenced by:  knoppcn  33847  knoppndvlem4  33858