Mathbox for Asger C. Ipsen < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  knoppf Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem knoppf 32189
 Description: Knopp's function is a function. (Contributed by Asger C. Ipsen, 25-Aug-2021.)
Hypotheses
Ref Expression
knoppf.t 𝑇 = (𝑥 ∈ ℝ ↦ (abs‘((⌊‘(𝑥 + (1 / 2))) − 𝑥)))
knoppf.f 𝐹 = (𝑦 ∈ ℝ ↦ (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((𝐶𝑛) · (𝑇‘(((2 · 𝑁)↑𝑛) · 𝑦)))))
knoppf.w 𝑊 = (𝑤 ∈ ℝ ↦ Σ𝑖 ∈ ℕ0 ((𝐹𝑤)‘𝑖))
knoppf.c (𝜑𝐶 ∈ (-1(,)1))
knoppf.n (𝜑𝑁 ∈ ℕ)
Assertion
Ref Expression
knoppf (𝜑𝑊:ℝ⟶ℝ)
Distinct variable groups:   𝐶,𝑛,𝑦   𝑖,𝐹,𝑤   𝑛,𝑁,𝑦   𝑥,𝑁   𝑇,𝑛,𝑦   𝜑,𝑖,𝑛,𝑤,𝑦   𝑥,𝑖,𝑤
Allowed substitution hints:   𝜑(𝑥)   𝐶(𝑥,𝑤,𝑖)   𝑇(𝑥,𝑤,𝑖)   𝐹(𝑥,𝑦,𝑛)   𝑁(𝑤,𝑖)   𝑊(𝑥,𝑦,𝑤,𝑖,𝑛)

Proof of Theorem knoppf
Dummy variable 𝑧 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 nn0uz 11669 . . 3 0 = (ℤ‘0)
2 0zd 11336 . . 3 ((𝜑𝑤 ∈ ℝ) → 0 ∈ ℤ)
3 eqidd 2622 . . 3 (((𝜑𝑤 ∈ ℝ) ∧ 𝑖 ∈ ℕ0) → ((𝐹𝑤)‘𝑖) = ((𝐹𝑤)‘𝑖))
4 knoppf.t . . . 4 𝑇 = (𝑥 ∈ ℝ ↦ (abs‘((⌊‘(𝑥 + (1 / 2))) − 𝑥)))
5 knoppf.f . . . 4 𝐹 = (𝑦 ∈ ℝ ↦ (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((𝐶𝑛) · (𝑇‘(((2 · 𝑁)↑𝑛) · 𝑦)))))
6 knoppf.n . . . . . 6 (𝜑𝑁 ∈ ℕ)
76adantr 481 . . . . 5 ((𝜑𝑤 ∈ ℝ) → 𝑁 ∈ ℕ)
87adantr 481 . . . 4 (((𝜑𝑤 ∈ ℝ) ∧ 𝑖 ∈ ℕ0) → 𝑁 ∈ ℕ)
9 knoppf.c . . . . . . . 8 (𝜑𝐶 ∈ (-1(,)1))
109knoppndvlem3 32168 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝐶 ∈ ℝ ∧ (abs‘𝐶) < 1))
1110simpld 475 . . . . . 6 (𝜑𝐶 ∈ ℝ)
1211adantr 481 . . . . 5 ((𝜑𝑤 ∈ ℝ) → 𝐶 ∈ ℝ)
1312adantr 481 . . . 4 (((𝜑𝑤 ∈ ℝ) ∧ 𝑖 ∈ ℕ0) → 𝐶 ∈ ℝ)
14 simpr 477 . . . . 5 ((𝜑𝑤 ∈ ℝ) → 𝑤 ∈ ℝ)
1514adantr 481 . . . 4 (((𝜑𝑤 ∈ ℝ) ∧ 𝑖 ∈ ℕ0) → 𝑤 ∈ ℝ)
16 simpr 477 . . . 4 (((𝜑𝑤 ∈ ℝ) ∧ 𝑖 ∈ ℕ0) → 𝑖 ∈ ℕ0)
174, 5, 8, 13, 15, 16knoppcnlem3 32148 . . 3 (((𝜑𝑤 ∈ ℝ) ∧ 𝑖 ∈ ℕ0) → ((𝐹𝑤)‘𝑖) ∈ ℝ)
18 knoppf.w . . . . . 6 𝑊 = (𝑤 ∈ ℝ ↦ Σ𝑖 ∈ ℕ0 ((𝐹𝑤)‘𝑖))
19 fveq2 6150 . . . . . . . . 9 (𝑤 = 𝑧 → (𝐹𝑤) = (𝐹𝑧))
2019fveq1d 6152 . . . . . . . 8 (𝑤 = 𝑧 → ((𝐹𝑤)‘𝑖) = ((𝐹𝑧)‘𝑖))
2120sumeq2sdv 14371 . . . . . . 7 (𝑤 = 𝑧 → Σ𝑖 ∈ ℕ0 ((𝐹𝑤)‘𝑖) = Σ𝑖 ∈ ℕ0 ((𝐹𝑧)‘𝑖))
2221cbvmptv 4712 . . . . . 6 (𝑤 ∈ ℝ ↦ Σ𝑖 ∈ ℕ0 ((𝐹𝑤)‘𝑖)) = (𝑧 ∈ ℝ ↦ Σ𝑖 ∈ ℕ0 ((𝐹𝑧)‘𝑖))
2318, 22eqtri 2643 . . . . 5 𝑊 = (𝑧 ∈ ℝ ↦ Σ𝑖 ∈ ℕ0 ((𝐹𝑧)‘𝑖))
249adantr 481 . . . . 5 ((𝜑𝑤 ∈ ℝ) → 𝐶 ∈ (-1(,)1))
254, 5, 23, 14, 24, 7knoppndvlem4 32169 . . . 4 ((𝜑𝑤 ∈ ℝ) → seq0( + , (𝐹𝑤)) ⇝ (𝑊𝑤))
26 seqex 12746 . . . . 5 seq0( + , (𝐹𝑤)) ∈ V
27 fvex 6160 . . . . 5 (𝑊𝑤) ∈ V
2826, 27breldm 5291 . . . 4 (seq0( + , (𝐹𝑤)) ⇝ (𝑊𝑤) → seq0( + , (𝐹𝑤)) ∈ dom ⇝ )
2925, 28syl 17 . . 3 ((𝜑𝑤 ∈ ℝ) → seq0( + , (𝐹𝑤)) ∈ dom ⇝ )
301, 2, 3, 17, 29isumrecl 14427 . 2 ((𝜑𝑤 ∈ ℝ) → Σ𝑖 ∈ ℕ0 ((𝐹𝑤)‘𝑖) ∈ ℝ)
3130, 18fmptd 6343 1 (𝜑𝑊:ℝ⟶ℝ)
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 384   = wceq 1480   ∈ wcel 1987   class class class wbr 4615   ↦ cmpt 4675  dom cdm 5076  ⟶wf 5845  ‘cfv 5849  (class class class)co 6607  ℝcr 9882  0cc0 9883  1c1 9884   + caddc 9886   · cmul 9888   < clt 10021   − cmin 10213  -cneg 10214   / cdiv 10631  ℕcn 10967  2c2 11017  ℕ0cn0 11239  (,)cioo 12120  ⌊cfl 12534  seqcseq 12744  ↑cexp 12803  abscabs 13911   ⇝ cli 14152  Σcsu 14353 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1719  ax-4 1734  ax-5 1836  ax-6 1885  ax-7 1932  ax-8 1989  ax-9 1996  ax-10 2016  ax-11 2031  ax-12 2044  ax-13 2245  ax-ext 2601  ax-rep 4733  ax-sep 4743  ax-nul 4751  ax-pow 4805  ax-pr 4869  ax-un 6905  ax-inf2 8485  ax-cnex 9939  ax-resscn 9940  ax-1cn 9941  ax-icn 9942  ax-addcl 9943  ax-addrcl 9944  ax-mulcl 9945  ax-mulrcl 9946  ax-mulcom 9947  ax-addass 9948  ax-mulass 9949  ax-distr 9950  ax-i2m1 9951  ax-1ne0 9952  ax-1rid 9953  ax-rnegex 9954  ax-rrecex 9955  ax-cnre 9956  ax-pre-lttri 9957  ax-pre-lttrn 9958  ax-pre-ltadd 9959  ax-pre-mulgt0 9960  ax-pre-sup 9961  ax-addf 9962  ax-mulf 9963 This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1037  df-3an 1038  df-tru 1483  df-fal 1486  df-ex 1702  df-nf 1707  df-sb 1878  df-eu 2473  df-mo 2474  df-clab 2608  df-cleq 2614  df-clel 2617  df-nfc 2750  df-ne 2791  df-nel 2894  df-ral 2912  df-rex 2913  df-reu 2914  df-rmo 2915  df-rab 2916  df-v 3188  df-sbc 3419  df-csb 3516  df-dif 3559  df-un 3561  df-in 3563  df-ss 3570  df-pss 3572  df-nul 3894  df-if 4061  df-pw 4134  df-sn 4151  df-pr 4153  df-tp 4155  df-op 4157  df-uni 4405  df-int 4443  df-iun 4489  df-br 4616  df-opab 4676  df-mpt 4677  df-tr 4715  df-eprel 4987  df-id 4991  df-po 4997  df-so 4998  df-fr 5035  df-se 5036  df-we 5037  df-xp 5082  df-rel 5083  df-cnv 5084  df-co 5085  df-dm 5086  df-rn 5087  df-res 5088  df-ima 5089  df-pred 5641  df-ord 5687  df-on 5688  df-lim 5689  df-suc 5690  df-iota 5812  df-fun 5851  df-fn 5852  df-f 5853  df-f1 5854  df-fo 5855  df-f1o 5856  df-fv 5857  df-isom 5858  df-riota 6568  df-ov 6610  df-oprab 6611  df-mpt2 6612  df-of 6853  df-om 7016  df-1st 7116  df-2nd 7117  df-wrecs 7355  df-recs 7416  df-rdg 7454  df-1o 7508  df-oadd 7512  df-er 7690  df-map 7807  df-pm 7808  df-en 7903  df-dom 7904  df-sdom 7905  df-fin 7906  df-sup 8295  df-inf 8296  df-oi 8362  df-card 8712  df-pnf 10023  df-mnf 10024  df-xr 10025  df-ltxr 10026  df-le 10027  df-sub 10215  df-neg 10216  df-div 10632  df-nn 10968  df-2 11026  df-3 11027  df-n0 11240  df-z 11325  df-uz 11635  df-rp 11780  df-ioo 12124  df-ico 12126  df-fz 12272  df-fzo 12410  df-fl 12536  df-seq 12745  df-exp 12804  df-hash 13061  df-cj 13776  df-re 13777  df-im 13778  df-sqrt 13912  df-abs 13913  df-limsup 14139  df-clim 14156  df-rlim 14157  df-sum 14354  df-ulm 24042 This theorem is referenced by:  knoppcn2  32190
 Copyright terms: Public domain W3C validator