Mathbox for Asger C. Ipsen < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  knoppndv Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem knoppndv 32164
 Description: The continuous nowhere differentiable function 𝑊 ( Knopp, K. (1918). Math. Z. 2, 1-26 ) is, in fact, nowhere differentiable. (Contributed by Asger C. Ipsen, 19-Aug-2021.)
Hypotheses
Ref Expression
knoppndv.t 𝑇 = (𝑥 ∈ ℝ ↦ (abs‘((⌊‘(𝑥 + (1 / 2))) − 𝑥)))
knoppndv.f 𝐹 = (𝑦 ∈ ℝ ↦ (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((𝐶𝑛) · (𝑇‘(((2 · 𝑁)↑𝑛) · 𝑦)))))
knoppndv.w 𝑊 = (𝑤 ∈ ℝ ↦ Σ𝑖 ∈ ℕ0 ((𝐹𝑤)‘𝑖))
knoppndv.c (𝜑𝐶 ∈ (-1(,)1))
knoppndv.n (𝜑𝑁 ∈ ℕ)
knoppndv.1 (𝜑 → 1 < (𝑁 · (abs‘𝐶)))
Assertion
Ref Expression
knoppndv (𝜑 → dom (ℝ D 𝑊) = ∅)
Distinct variable groups:   𝐶,𝑖,𝑛,𝑤,𝑦   𝑖,𝐹,𝑤   𝑖,𝑁,𝑛,𝑤,𝑦   𝑥,𝑁,𝑖,𝑤   𝑇,𝑛,𝑦   𝜑,𝑖,𝑛,𝑤,𝑦
Allowed substitution hints:   𝜑(𝑥)   𝐶(𝑥)   𝑇(𝑥,𝑤,𝑖)   𝐹(𝑥,𝑦,𝑛)   𝑊(𝑥,𝑦,𝑤,𝑖,𝑛)

Proof of Theorem knoppndv
Dummy variables 𝑎 𝑏 𝑑 𝑒 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 simpl 473 . . . . . 6 ((𝜑 ∈ dom (ℝ D 𝑊)) → 𝜑)
2 ax-resscn 9937 . . . . . . . . . 10 ℝ ⊆ ℂ
32a1i 11 . . . . . . . . 9 (𝜑 → ℝ ⊆ ℂ)
4 knoppndv.t . . . . . . . . . . 11 𝑇 = (𝑥 ∈ ℝ ↦ (abs‘((⌊‘(𝑥 + (1 / 2))) − 𝑥)))
5 knoppndv.f . . . . . . . . . . 11 𝐹 = (𝑦 ∈ ℝ ↦ (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((𝐶𝑛) · (𝑇‘(((2 · 𝑁)↑𝑛) · 𝑦)))))
6 knoppndv.w . . . . . . . . . . 11 𝑊 = (𝑤 ∈ ℝ ↦ Σ𝑖 ∈ ℕ0 ((𝐹𝑤)‘𝑖))
7 knoppndv.n . . . . . . . . . . 11 (𝜑𝑁 ∈ ℕ)
8 knoppndv.c . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑𝐶 ∈ (-1(,)1))
98knoppndvlem3 32144 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → (𝐶 ∈ ℝ ∧ (abs‘𝐶) < 1))
109simpld 475 . . . . . . . . . . 11 (𝜑𝐶 ∈ ℝ)
119simprd 479 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (abs‘𝐶) < 1)
124, 5, 6, 7, 10, 11knoppcn 32133 . . . . . . . . . 10 (𝜑𝑊 ∈ (ℝ–cn→ℂ))
13 cncff 22604 . . . . . . . . . 10 (𝑊 ∈ (ℝ–cn→ℂ) → 𝑊:ℝ⟶ℂ)
1412, 13syl 17 . . . . . . . . 9 (𝜑𝑊:ℝ⟶ℂ)
15 ssid 3603 . . . . . . . . . 10 ℝ ⊆ ℝ
1615a1i 11 . . . . . . . . 9 (𝜑 → ℝ ⊆ ℝ)
173, 14, 16dvbss 23571 . . . . . . . 8 (𝜑 → dom (ℝ D 𝑊) ⊆ ℝ)
1817adantr 481 . . . . . . 7 ((𝜑 ∈ dom (ℝ D 𝑊)) → dom (ℝ D 𝑊) ⊆ ℝ)
19 simpr 477 . . . . . . 7 ((𝜑 ∈ dom (ℝ D 𝑊)) → ∈ dom (ℝ D 𝑊))
2018, 19sseldd 3584 . . . . . 6 ((𝜑 ∈ dom (ℝ D 𝑊)) → ∈ ℝ)
211, 20jca 554 . . . . 5 ((𝜑 ∈ dom (ℝ D 𝑊)) → (𝜑 ∈ ℝ))
2215a1i 11 . . . . . 6 ((𝜑 ∈ ℝ) → ℝ ⊆ ℝ)
2314adantr 481 . . . . . 6 ((𝜑 ∈ ℝ) → 𝑊:ℝ⟶ℂ)
248ad2antrr 761 . . . . . . . 8 (((𝜑 ∈ ℝ) ∧ (𝑒 ∈ ℝ+𝑑 ∈ ℝ+)) → 𝐶 ∈ (-1(,)1))
25 simprr 795 . . . . . . . 8 (((𝜑 ∈ ℝ) ∧ (𝑒 ∈ ℝ+𝑑 ∈ ℝ+)) → 𝑑 ∈ ℝ+)
26 simprl 793 . . . . . . . 8 (((𝜑 ∈ ℝ) ∧ (𝑒 ∈ ℝ+𝑑 ∈ ℝ+)) → 𝑒 ∈ ℝ+)
27 simplr 791 . . . . . . . 8 (((𝜑 ∈ ℝ) ∧ (𝑒 ∈ ℝ+𝑑 ∈ ℝ+)) → ∈ ℝ)
287ad2antrr 761 . . . . . . . 8 (((𝜑 ∈ ℝ) ∧ (𝑒 ∈ ℝ+𝑑 ∈ ℝ+)) → 𝑁 ∈ ℕ)
29 knoppndv.1 . . . . . . . . 9 (𝜑 → 1 < (𝑁 · (abs‘𝐶)))
3029ad2antrr 761 . . . . . . . 8 (((𝜑 ∈ ℝ) ∧ (𝑒 ∈ ℝ+𝑑 ∈ ℝ+)) → 1 < (𝑁 · (abs‘𝐶)))
314, 5, 6, 24, 25, 26, 27, 28, 30knoppndvlem22 32163 . . . . . . 7 (((𝜑 ∈ ℝ) ∧ (𝑒 ∈ ℝ+𝑑 ∈ ℝ+)) → ∃𝑎 ∈ ℝ ∃𝑏 ∈ ℝ ((𝑎𝑏) ∧ ((𝑏𝑎) < 𝑑𝑎𝑏) ∧ 𝑒 ≤ ((abs‘((𝑊𝑏) − (𝑊𝑎))) / (𝑏𝑎))))
3231ralrimivva 2965 . . . . . 6 ((𝜑 ∈ ℝ) → ∀𝑒 ∈ ℝ+𝑑 ∈ ℝ+𝑎 ∈ ℝ ∃𝑏 ∈ ℝ ((𝑎𝑏) ∧ ((𝑏𝑎) < 𝑑𝑎𝑏) ∧ 𝑒 ≤ ((abs‘((𝑊𝑏) − (𝑊𝑎))) / (𝑏𝑎))))
3322, 23, 32unbdqndv2 32141 . . . . 5 ((𝜑 ∈ ℝ) → ¬ ∈ dom (ℝ D 𝑊))
3421, 33syl 17 . . . 4 ((𝜑 ∈ dom (ℝ D 𝑊)) → ¬ ∈ dom (ℝ D 𝑊))
3534pm2.01da 458 . . 3 (𝜑 → ¬ ∈ dom (ℝ D 𝑊))
3635alrimiv 1852 . 2 (𝜑 → ∀ ¬ ∈ dom (ℝ D 𝑊))
37 eq0 3905 . 2 (dom (ℝ D 𝑊) = ∅ ↔ ∀ ¬ ∈ dom (ℝ D 𝑊))
3836, 37sylibr 224 1 (𝜑 → dom (ℝ D 𝑊) = ∅)
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 384   ∧ w3a 1036  ∀wal 1478   = wceq 1480   ∈ wcel 1987   ≠ wne 2790  ∃wrex 2908   ⊆ wss 3555  ∅c0 3891   class class class wbr 4613   ↦ cmpt 4673  dom cdm 5074  ⟶wf 5843  ‘cfv 5847  (class class class)co 6604  ℂcc 9878  ℝcr 9879  1c1 9881   + caddc 9883   · cmul 9885   < clt 10018   ≤ cle 10019   − cmin 10210  -cneg 10211   / cdiv 10628  ℕcn 10964  2c2 11014  ℕ0cn0 11236  ℝ+crp 11776  (,)cioo 12117  ⌊cfl 12531  ↑cexp 12800  abscabs 13908  Σcsu 14350  –cn→ccncf 22587   D cdv 23533 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1719  ax-4 1734  ax-5 1836  ax-6 1885  ax-7 1932  ax-8 1989  ax-9 1996  ax-10 2016  ax-11 2031  ax-12 2044  ax-13 2245  ax-ext 2601  ax-rep 4731  ax-sep 4741  ax-nul 4749  ax-pow 4803  ax-pr 4867  ax-un 6902  ax-inf2 8482  ax-cnex 9936  ax-resscn 9937  ax-1cn 9938  ax-icn 9939  ax-addcl 9940  ax-addrcl 9941  ax-mulcl 9942  ax-mulrcl 9943  ax-mulcom 9944  ax-addass 9945  ax-mulass 9946  ax-distr 9947  ax-i2m1 9948  ax-1ne0 9949  ax-1rid 9950  ax-rnegex 9951  ax-rrecex 9952  ax-cnre 9953  ax-pre-lttri 9954  ax-pre-lttrn 9955  ax-pre-ltadd 9956  ax-pre-mulgt0 9957  ax-pre-sup 9958  ax-addf 9959  ax-mulf 9960 This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1037  df-3an 1038  df-tru 1483  df-fal 1486  df-ex 1702  df-nf 1707  df-sb 1878  df-eu 2473  df-mo 2474  df-clab 2608  df-cleq 2614  df-clel 2617  df-nfc 2750  df-ne 2791  df-nel 2894  df-ral 2912  df-rex 2913  df-reu 2914  df-rmo 2915  df-rab 2916  df-v 3188  df-sbc 3418  df-csb 3515  df-dif 3558  df-un 3560  df-in 3562  df-ss 3569  df-pss 3571  df-nul 3892  df-if 4059  df-pw 4132  df-sn 4149  df-pr 4151  df-tp 4153  df-op 4155  df-uni 4403  df-int 4441  df-iun 4487  df-iin 4488  df-br 4614  df-opab 4674  df-mpt 4675  df-tr 4713  df-eprel 4985  df-id 4989  df-po 4995  df-so 4996  df-fr 5033  df-se 5034  df-we 5035  df-xp 5080  df-rel 5081  df-cnv 5082  df-co 5083  df-dm 5084  df-rn 5085  df-res 5086  df-ima 5087  df-pred 5639  df-ord 5685  df-on 5686  df-lim 5687  df-suc 5688  df-iota 5810  df-fun 5849  df-fn 5850  df-f 5851  df-f1 5852  df-fo 5853  df-f1o 5854  df-fv 5855  df-isom 5856  df-riota 6565  df-ov 6607  df-oprab 6608  df-mpt2 6609  df-of 6850  df-om 7013  df-1st 7113  df-2nd 7114  df-supp 7241  df-wrecs 7352  df-recs 7413  df-rdg 7451  df-1o 7505  df-2o 7506  df-oadd 7509  df-er 7687  df-map 7804  df-pm 7805  df-ixp 7853  df-en 7900  df-dom 7901  df-sdom 7902  df-fin 7903  df-fsupp 8220  df-fi 8261  df-sup 8292  df-inf 8293  df-oi 8359  df-card 8709  df-cda 8934  df-pnf 10020  df-mnf 10021  df-xr 10022  df-ltxr 10023  df-le 10024  df-sub 10212  df-neg 10213  df-div 10629  df-nn 10965  df-2 11023  df-3 11024  df-4 11025  df-5 11026  df-6 11027  df-7 11028  df-8 11029  df-9 11030  df-n0 11237  df-z 11322  df-dec 11438  df-uz 11632  df-q 11733  df-rp 11777  df-xneg 11890  df-xadd 11891  df-xmul 11892  df-ioo 12121  df-ico 12123  df-icc 12124  df-fz 12269  df-fzo 12407  df-fl 12533  df-seq 12742  df-exp 12801  df-hash 13058  df-cj 13773  df-re 13774  df-im 13775  df-sqrt 13909  df-abs 13910  df-limsup 14136  df-clim 14153  df-rlim 14154  df-sum 14351  df-dvds 14908  df-struct 15783  df-ndx 15784  df-slot 15785  df-base 15786  df-sets 15787  df-ress 15788  df-plusg 15875  df-mulr 15876  df-starv 15877  df-sca 15878  df-vsca 15879  df-ip 15880  df-tset 15881  df-ple 15882  df-ds 15885  df-unif 15886  df-hom 15887  df-cco 15888  df-rest 16004  df-topn 16005  df-0g 16023  df-gsum 16024  df-topgen 16025  df-pt 16026  df-prds 16029  df-xrs 16083  df-qtop 16088  df-imas 16089  df-xps 16091  df-mre 16167  df-mrc 16168  df-acs 16170  df-mgm 17163  df-sgrp 17205  df-mnd 17216  df-submnd 17257  df-mulg 17462  df-cntz 17671  df-cmn 18116  df-psmet 19657  df-xmet 19658  df-met 19659  df-bl 19660  df-mopn 19661  df-cnfld 19666  df-top 20621  df-bases 20622  df-topon 20623  df-topsp 20624  df-ntr 20734  df-cn 20941  df-cnp 20942  df-tx 21275  df-hmeo 21468  df-xms 22035  df-ms 22036  df-tms 22037  df-cncf 22589  df-limc 23536  df-dv 23537  df-ulm 24035 This theorem is referenced by:  cnndvlem1  32167
 Copyright terms: Public domain W3C validator