Users' Mathboxes Mathbox for Asger C. Ipsen < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  knoppndvlem12 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem knoppndvlem12 32177
Description: Lemma for knoppndv 32188. (Contributed by Asger C. Ipsen, 29-Jun-2021.) (Revised by Asger C. Ipsen, 5-Jul-2021.)
Hypotheses
Ref Expression
knoppndvlem12.c (𝜑𝐶 ∈ (-1(,)1))
knoppndvlem12.n (𝜑𝑁 ∈ ℕ)
knoppndvlem12.1 (𝜑 → 1 < (𝑁 · (abs‘𝐶)))
Assertion
Ref Expression
knoppndvlem12 (𝜑 → (((2 · 𝑁) · (abs‘𝐶)) ≠ 1 ∧ 1 < (((2 · 𝑁) · (abs‘𝐶)) − 1)))

Proof of Theorem knoppndvlem12
StepHypRef Expression
1 1red 10002 . . . 4 (𝜑 → 1 ∈ ℝ)
2 2re 11037 . . . . . 6 2 ∈ ℝ
32a1i 11 . . . . 5 (𝜑 → 2 ∈ ℝ)
4 knoppndvlem12.n . . . . . . . 8 (𝜑𝑁 ∈ ℕ)
5 nnre 10974 . . . . . . . 8 (𝑁 ∈ ℕ → 𝑁 ∈ ℝ)
64, 5syl 17 . . . . . . 7 (𝜑𝑁 ∈ ℝ)
73, 6remulcld 10017 . . . . . 6 (𝜑 → (2 · 𝑁) ∈ ℝ)
8 knoppndvlem12.c . . . . . . . . . 10 (𝜑𝐶 ∈ (-1(,)1))
98knoppndvlem3 32168 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (𝐶 ∈ ℝ ∧ (abs‘𝐶) < 1))
109simpld 475 . . . . . . . 8 (𝜑𝐶 ∈ ℝ)
1110recnd 10015 . . . . . . 7 (𝜑𝐶 ∈ ℂ)
1211abscld 14112 . . . . . 6 (𝜑 → (abs‘𝐶) ∈ ℝ)
137, 12remulcld 10017 . . . . 5 (𝜑 → ((2 · 𝑁) · (abs‘𝐶)) ∈ ℝ)
14 1lt2 11141 . . . . . 6 1 < 2
1514a1i 11 . . . . 5 (𝜑 → 1 < 2)
16 2t1e2 11123 . . . . . . . . 9 (2 · 1) = 2
1716eqcomi 2630 . . . . . . . 8 2 = (2 · 1)
1817a1i 11 . . . . . . 7 (𝜑 → 2 = (2 · 1))
196, 12remulcld 10017 . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝑁 · (abs‘𝐶)) ∈ ℝ)
20 2rp 11784 . . . . . . . . 9 2 ∈ ℝ+
2120a1i 11 . . . . . . . 8 (𝜑 → 2 ∈ ℝ+)
22 knoppndvlem12.1 . . . . . . . 8 (𝜑 → 1 < (𝑁 · (abs‘𝐶)))
231, 19, 21, 22ltmul2dd 11875 . . . . . . 7 (𝜑 → (2 · 1) < (2 · (𝑁 · (abs‘𝐶))))
2418, 23eqbrtrd 4637 . . . . . 6 (𝜑 → 2 < (2 · (𝑁 · (abs‘𝐶))))
253recnd 10015 . . . . . . . 8 (𝜑 → 2 ∈ ℂ)
266recnd 10015 . . . . . . . 8 (𝜑𝑁 ∈ ℂ)
2712recnd 10015 . . . . . . . 8 (𝜑 → (abs‘𝐶) ∈ ℂ)
2825, 26, 27mulassd 10010 . . . . . . 7 (𝜑 → ((2 · 𝑁) · (abs‘𝐶)) = (2 · (𝑁 · (abs‘𝐶))))
2928eqcomd 2627 . . . . . 6 (𝜑 → (2 · (𝑁 · (abs‘𝐶))) = ((2 · 𝑁) · (abs‘𝐶)))
3024, 29breqtrd 4641 . . . . 5 (𝜑 → 2 < ((2 · 𝑁) · (abs‘𝐶)))
311, 3, 13, 15, 30lttrd 10145 . . . 4 (𝜑 → 1 < ((2 · 𝑁) · (abs‘𝐶)))
321, 31jca 554 . . 3 (𝜑 → (1 ∈ ℝ ∧ 1 < ((2 · 𝑁) · (abs‘𝐶))))
33 ltne 10081 . . 3 ((1 ∈ ℝ ∧ 1 < ((2 · 𝑁) · (abs‘𝐶))) → ((2 · 𝑁) · (abs‘𝐶)) ≠ 1)
3432, 33syl 17 . 2 (𝜑 → ((2 · 𝑁) · (abs‘𝐶)) ≠ 1)
35 1p1e2 11081 . . . . 5 (1 + 1) = 2
3635a1i 11 . . . 4 (𝜑 → (1 + 1) = 2)
3736, 30eqbrtrd 4637 . . 3 (𝜑 → (1 + 1) < ((2 · 𝑁) · (abs‘𝐶)))
381, 1, 13ltaddsubd 10574 . . 3 (𝜑 → ((1 + 1) < ((2 · 𝑁) · (abs‘𝐶)) ↔ 1 < (((2 · 𝑁) · (abs‘𝐶)) − 1)))
3937, 38mpbid 222 . 2 (𝜑 → 1 < (((2 · 𝑁) · (abs‘𝐶)) − 1))
4034, 39jca 554 1 (𝜑 → (((2 · 𝑁) · (abs‘𝐶)) ≠ 1 ∧ 1 < (((2 · 𝑁) · (abs‘𝐶)) − 1)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 384   = wceq 1480  wcel 1987  wne 2790   class class class wbr 4615  cfv 5849  (class class class)co 6607  cr 9882  1c1 9884   + caddc 9886   · cmul 9888   < clt 10021  cmin 10213  -cneg 10214  cn 10967  2c2 11017  +crp 11779  (,)cioo 12120  abscabs 13911
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1719  ax-4 1734  ax-5 1836  ax-6 1885  ax-7 1932  ax-8 1989  ax-9 1996  ax-10 2016  ax-11 2031  ax-12 2044  ax-13 2245  ax-ext 2601  ax-sep 4743  ax-nul 4751  ax-pow 4805  ax-pr 4869  ax-un 6905  ax-cnex 9939  ax-resscn 9940  ax-1cn 9941  ax-icn 9942  ax-addcl 9943  ax-addrcl 9944  ax-mulcl 9945  ax-mulrcl 9946  ax-mulcom 9947  ax-addass 9948  ax-mulass 9949  ax-distr 9950  ax-i2m1 9951  ax-1ne0 9952  ax-1rid 9953  ax-rnegex 9954  ax-rrecex 9955  ax-cnre 9956  ax-pre-lttri 9957  ax-pre-lttrn 9958  ax-pre-ltadd 9959  ax-pre-mulgt0 9960  ax-pre-sup 9961
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1037  df-3an 1038  df-tru 1483  df-ex 1702  df-nf 1707  df-sb 1878  df-eu 2473  df-mo 2474  df-clab 2608  df-cleq 2614  df-clel 2617  df-nfc 2750  df-ne 2791  df-nel 2894  df-ral 2912  df-rex 2913  df-reu 2914  df-rmo 2915  df-rab 2916  df-v 3188  df-sbc 3419  df-csb 3516  df-dif 3559  df-un 3561  df-in 3563  df-ss 3570  df-pss 3572  df-nul 3894  df-if 4061  df-pw 4134  df-sn 4151  df-pr 4153  df-tp 4155  df-op 4157  df-uni 4405  df-iun 4489  df-br 4616  df-opab 4676  df-mpt 4677  df-tr 4715  df-eprel 4987  df-id 4991  df-po 4997  df-so 4998  df-fr 5035  df-we 5037  df-xp 5082  df-rel 5083  df-cnv 5084  df-co 5085  df-dm 5086  df-rn 5087  df-res 5088  df-ima 5089  df-pred 5641  df-ord 5687  df-on 5688  df-lim 5689  df-suc 5690  df-iota 5812  df-fun 5851  df-fn 5852  df-f 5853  df-f1 5854  df-fo 5855  df-f1o 5856  df-fv 5857  df-riota 6568  df-ov 6610  df-oprab 6611  df-mpt2 6612  df-om 7016  df-1st 7116  df-2nd 7117  df-wrecs 7355  df-recs 7416  df-rdg 7454  df-er 7690  df-en 7903  df-dom 7904  df-sdom 7905  df-sup 8295  df-pnf 10023  df-mnf 10024  df-xr 10025  df-ltxr 10026  df-le 10027  df-sub 10215  df-neg 10216  df-div 10632  df-nn 10968  df-2 11026  df-3 11027  df-n0 11240  df-z 11325  df-uz 11635  df-rp 11780  df-ioo 12124  df-seq 12745  df-exp 12804  df-cj 13776  df-re 13777  df-im 13778  df-sqrt 13912  df-abs 13913
This theorem is referenced by:  knoppndvlem14  32179  knoppndvlem15  32180  knoppndvlem17  32182  knoppndvlem20  32185
  Copyright terms: Public domain W3C validator