Users' Mathboxes Mathbox for Asger C. Ipsen < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  knoppndvlem15 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem knoppndvlem15 32159
Description: Lemma for knoppndv 32167. (Contributed by Asger C. Ipsen, 6-Jul-2021.)
Hypotheses
Ref Expression
knoppndvlem15.t 𝑇 = (𝑥 ∈ ℝ ↦ (abs‘((⌊‘(𝑥 + (1 / 2))) − 𝑥)))
knoppndvlem15.f 𝐹 = (𝑦 ∈ ℝ ↦ (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((𝐶𝑛) · (𝑇‘(((2 · 𝑁)↑𝑛) · 𝑦)))))
knoppndvlem15.w 𝑊 = (𝑤 ∈ ℝ ↦ Σ𝑖 ∈ ℕ0 ((𝐹𝑤)‘𝑖))
knoppndvlem15.a 𝐴 = ((((2 · 𝑁)↑-𝐽) / 2) · 𝑀)
knoppndvlem15.b 𝐵 = ((((2 · 𝑁)↑-𝐽) / 2) · (𝑀 + 1))
knoppndvlem15.c (𝜑𝐶 ∈ (-1(,)1))
knoppndvlem15.j (𝜑𝐽 ∈ ℕ0)
knoppndvlem15.m (𝜑𝑀 ∈ ℤ)
knoppndvlem15.n (𝜑𝑁 ∈ ℕ)
knoppndvlem15.1 (𝜑 → 1 < (𝑁 · (abs‘𝐶)))
Assertion
Ref Expression
knoppndvlem15 (𝜑 → ((((abs‘𝐶)↑𝐽) / 2) · (1 − (1 / (((2 · 𝑁) · (abs‘𝐶)) − 1)))) ≤ (abs‘((𝑊𝐵) − (𝑊𝐴))))
Distinct variable groups:   𝐴,𝑖,𝑛,𝑤,𝑦   𝑥,𝐴,𝑖,𝑤   𝐵,𝑖,𝑛,𝑤,𝑦   𝑥,𝐵   𝐶,𝑖,𝑛,𝑦   𝑖,𝐹,𝑤   𝑖,𝐽,𝑛,𝑦   𝑥,𝐽   𝑛,𝑀,𝑦   𝑥,𝑀   𝑖,𝑁,𝑛,𝑦   𝑥,𝑁   𝑇,𝑛,𝑦   𝜑,𝑖,𝑛,𝑤,𝑦
Allowed substitution hints:   𝜑(𝑥)   𝐶(𝑥,𝑤)   𝑇(𝑥,𝑤,𝑖)   𝐹(𝑥,𝑦,𝑛)   𝐽(𝑤)   𝑀(𝑤,𝑖)   𝑁(𝑤)   𝑊(𝑥,𝑦,𝑤,𝑖,𝑛)

Proof of Theorem knoppndvlem15
StepHypRef Expression
1 knoppndvlem15.c . . . . . . . . . . 11 (𝜑𝐶 ∈ (-1(,)1))
21knoppndvlem3 32147 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (𝐶 ∈ ℝ ∧ (abs‘𝐶) < 1))
32simpld 475 . . . . . . . . 9 (𝜑𝐶 ∈ ℝ)
43recnd 10012 . . . . . . . 8 (𝜑𝐶 ∈ ℂ)
54abscld 14109 . . . . . . 7 (𝜑 → (abs‘𝐶) ∈ ℝ)
6 knoppndvlem15.j . . . . . . 7 (𝜑𝐽 ∈ ℕ0)
75, 6reexpcld 12965 . . . . . 6 (𝜑 → ((abs‘𝐶)↑𝐽) ∈ ℝ)
8 2re 11034 . . . . . . 7 2 ∈ ℝ
98a1i 11 . . . . . 6 (𝜑 → 2 ∈ ℝ)
10 2ne0 11057 . . . . . . 7 2 ≠ 0
1110a1i 11 . . . . . 6 (𝜑 → 2 ≠ 0)
127, 9, 11redivcld 10797 . . . . 5 (𝜑 → (((abs‘𝐶)↑𝐽) / 2) ∈ ℝ)
13 1red 9999 . . . . . 6 (𝜑 → 1 ∈ ℝ)
14 knoppndvlem15.n . . . . . . . . . . 11 (𝜑𝑁 ∈ ℕ)
1514nnred 10979 . . . . . . . . . 10 (𝜑𝑁 ∈ ℝ)
169, 15remulcld 10014 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (2 · 𝑁) ∈ ℝ)
1716, 5remulcld 10014 . . . . . . . 8 (𝜑 → ((2 · 𝑁) · (abs‘𝐶)) ∈ ℝ)
1817, 13resubcld 10402 . . . . . . 7 (𝜑 → (((2 · 𝑁) · (abs‘𝐶)) − 1) ∈ ℝ)
19 0red 9985 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → 0 ∈ ℝ)
20 0lt1 10494 . . . . . . . . . . 11 0 < 1
2120a1i 11 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → 0 < 1)
22 knoppndvlem15.1 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → 1 < (𝑁 · (abs‘𝐶)))
231, 14, 22knoppndvlem12 32156 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (((2 · 𝑁) · (abs‘𝐶)) ≠ 1 ∧ 1 < (((2 · 𝑁) · (abs‘𝐶)) − 1)))
2423simprd 479 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → 1 < (((2 · 𝑁) · (abs‘𝐶)) − 1))
2519, 13, 18, 21, 24lttrd 10142 . . . . . . . . 9 (𝜑 → 0 < (((2 · 𝑁) · (abs‘𝐶)) − 1))
2618, 25jca 554 . . . . . . . 8 (𝜑 → ((((2 · 𝑁) · (abs‘𝐶)) − 1) ∈ ℝ ∧ 0 < (((2 · 𝑁) · (abs‘𝐶)) − 1)))
27 gt0ne0 10437 . . . . . . . 8 (((((2 · 𝑁) · (abs‘𝐶)) − 1) ∈ ℝ ∧ 0 < (((2 · 𝑁) · (abs‘𝐶)) − 1)) → (((2 · 𝑁) · (abs‘𝐶)) − 1) ≠ 0)
2826, 27syl 17 . . . . . . 7 (𝜑 → (((2 · 𝑁) · (abs‘𝐶)) − 1) ≠ 0)
2913, 18, 28redivcld 10797 . . . . . 6 (𝜑 → (1 / (((2 · 𝑁) · (abs‘𝐶)) − 1)) ∈ ℝ)
3013, 29resubcld 10402 . . . . 5 (𝜑 → (1 − (1 / (((2 · 𝑁) · (abs‘𝐶)) − 1))) ∈ ℝ)
3112, 30remulcld 10014 . . . 4 (𝜑 → ((((abs‘𝐶)↑𝐽) / 2) · (1 − (1 / (((2 · 𝑁) · (abs‘𝐶)) − 1)))) ∈ ℝ)
32 knoppndvlem15.t . . . . . . . . 9 𝑇 = (𝑥 ∈ ℝ ↦ (abs‘((⌊‘(𝑥 + (1 / 2))) − 𝑥)))
33 knoppndvlem15.f . . . . . . . . 9 𝐹 = (𝑦 ∈ ℝ ↦ (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((𝐶𝑛) · (𝑇‘(((2 · 𝑁)↑𝑛) · 𝑦)))))
34 knoppndvlem15.a . . . . . . . . . . 11 𝐴 = ((((2 · 𝑁)↑-𝐽) / 2) · 𝑀)
3534a1i 11 . . . . . . . . . 10 (𝜑𝐴 = ((((2 · 𝑁)↑-𝐽) / 2) · 𝑀))
366nn0zd 11424 . . . . . . . . . . 11 (𝜑𝐽 ∈ ℤ)
37 knoppndvlem15.m . . . . . . . . . . 11 (𝜑𝑀 ∈ ℤ)
3814, 36, 37knoppndvlem1 32145 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → ((((2 · 𝑁)↑-𝐽) / 2) · 𝑀) ∈ ℝ)
3935, 38eqeltrd 2698 . . . . . . . . 9 (𝜑𝐴 ∈ ℝ)
4032, 33, 14, 3, 39, 6knoppcnlem3 32127 . . . . . . . 8 (𝜑 → ((𝐹𝐴)‘𝐽) ∈ ℝ)
4140recnd 10012 . . . . . . 7 (𝜑 → ((𝐹𝐴)‘𝐽) ∈ ℂ)
42 knoppndvlem15.b . . . . . . . . . . 11 𝐵 = ((((2 · 𝑁)↑-𝐽) / 2) · (𝑀 + 1))
4342a1i 11 . . . . . . . . . 10 (𝜑𝐵 = ((((2 · 𝑁)↑-𝐽) / 2) · (𝑀 + 1)))
4437peano2zd 11429 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (𝑀 + 1) ∈ ℤ)
4514, 36, 44knoppndvlem1 32145 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → ((((2 · 𝑁)↑-𝐽) / 2) · (𝑀 + 1)) ∈ ℝ)
4643, 45eqeltrd 2698 . . . . . . . . 9 (𝜑𝐵 ∈ ℝ)
4732, 33, 14, 3, 46, 6knoppcnlem3 32127 . . . . . . . 8 (𝜑 → ((𝐹𝐵)‘𝐽) ∈ ℝ)
4847recnd 10012 . . . . . . 7 (𝜑 → ((𝐹𝐵)‘𝐽) ∈ ℂ)
4941, 48subcld 10336 . . . . . 6 (𝜑 → (((𝐹𝐴)‘𝐽) − ((𝐹𝐵)‘𝐽)) ∈ ℂ)
5049abscld 14109 . . . . 5 (𝜑 → (abs‘(((𝐹𝐴)‘𝐽) − ((𝐹𝐵)‘𝐽))) ∈ ℝ)
5132, 33, 46, 3, 14knoppndvlem5 32149 . . . . . . . 8 (𝜑 → Σ𝑖 ∈ (0...(𝐽 − 1))((𝐹𝐵)‘𝑖) ∈ ℝ)
5251recnd 10012 . . . . . . 7 (𝜑 → Σ𝑖 ∈ (0...(𝐽 − 1))((𝐹𝐵)‘𝑖) ∈ ℂ)
5332, 33, 39, 3, 14knoppndvlem5 32149 . . . . . . . 8 (𝜑 → Σ𝑖 ∈ (0...(𝐽 − 1))((𝐹𝐴)‘𝑖) ∈ ℝ)
5453recnd 10012 . . . . . . 7 (𝜑 → Σ𝑖 ∈ (0...(𝐽 − 1))((𝐹𝐴)‘𝑖) ∈ ℂ)
5552, 54subcld 10336 . . . . . 6 (𝜑 → (Σ𝑖 ∈ (0...(𝐽 − 1))((𝐹𝐵)‘𝑖) − Σ𝑖 ∈ (0...(𝐽 − 1))((𝐹𝐴)‘𝑖)) ∈ ℂ)
5655abscld 14109 . . . . 5 (𝜑 → (abs‘(Σ𝑖 ∈ (0...(𝐽 − 1))((𝐹𝐵)‘𝑖) − Σ𝑖 ∈ (0...(𝐽 − 1))((𝐹𝐴)‘𝑖))) ∈ ℝ)
5750, 56resubcld 10402 . . . 4 (𝜑 → ((abs‘(((𝐹𝐴)‘𝐽) − ((𝐹𝐵)‘𝐽))) − (abs‘(Σ𝑖 ∈ (0...(𝐽 − 1))((𝐹𝐵)‘𝑖) − Σ𝑖 ∈ (0...(𝐽 − 1))((𝐹𝐴)‘𝑖)))) ∈ ℝ)
5849, 55subcld 10336 . . . . 5 (𝜑 → ((((𝐹𝐴)‘𝐽) − ((𝐹𝐵)‘𝐽)) − (Σ𝑖 ∈ (0...(𝐽 − 1))((𝐹𝐵)‘𝑖) − Σ𝑖 ∈ (0...(𝐽 − 1))((𝐹𝐴)‘𝑖))) ∈ ℂ)
5958abscld 14109 . . . 4 (𝜑 → (abs‘((((𝐹𝐴)‘𝐽) − ((𝐹𝐵)‘𝐽)) − (Σ𝑖 ∈ (0...(𝐽 − 1))((𝐹𝐵)‘𝑖) − Σ𝑖 ∈ (0...(𝐽 − 1))((𝐹𝐴)‘𝑖)))) ∈ ℝ)
6012, 29jca 554 . . . . . . . 8 (𝜑 → ((((abs‘𝐶)↑𝐽) / 2) ∈ ℝ ∧ (1 / (((2 · 𝑁) · (abs‘𝐶)) − 1)) ∈ ℝ))
61 remulcl 9965 . . . . . . . 8 (((((abs‘𝐶)↑𝐽) / 2) ∈ ℝ ∧ (1 / (((2 · 𝑁) · (abs‘𝐶)) − 1)) ∈ ℝ) → ((((abs‘𝐶)↑𝐽) / 2) · (1 / (((2 · 𝑁) · (abs‘𝐶)) − 1))) ∈ ℝ)
6260, 61syl 17 . . . . . . 7 (𝜑 → ((((abs‘𝐶)↑𝐽) / 2) · (1 / (((2 · 𝑁) · (abs‘𝐶)) − 1))) ∈ ℝ)
6312, 62jca 554 . . . . . 6 (𝜑 → ((((abs‘𝐶)↑𝐽) / 2) ∈ ℝ ∧ ((((abs‘𝐶)↑𝐽) / 2) · (1 / (((2 · 𝑁) · (abs‘𝐶)) − 1))) ∈ ℝ))
64 resubcl 10289 . . . . . 6 (((((abs‘𝐶)↑𝐽) / 2) ∈ ℝ ∧ ((((abs‘𝐶)↑𝐽) / 2) · (1 / (((2 · 𝑁) · (abs‘𝐶)) − 1))) ∈ ℝ) → ((((abs‘𝐶)↑𝐽) / 2) − ((((abs‘𝐶)↑𝐽) / 2) · (1 / (((2 · 𝑁) · (abs‘𝐶)) − 1)))) ∈ ℝ)
6563, 64syl 17 . . . . 5 (𝜑 → ((((abs‘𝐶)↑𝐽) / 2) − ((((abs‘𝐶)↑𝐽) / 2) · (1 / (((2 · 𝑁) · (abs‘𝐶)) − 1)))) ∈ ℝ)
6612recnd 10012 . . . . . . 7 (𝜑 → (((abs‘𝐶)↑𝐽) / 2) ∈ ℂ)
67 1cnd 10000 . . . . . . 7 (𝜑 → 1 ∈ ℂ)
6829recnd 10012 . . . . . . 7 (𝜑 → (1 / (((2 · 𝑁) · (abs‘𝐶)) − 1)) ∈ ℂ)
6966, 67, 68subdid 10430 . . . . . 6 (𝜑 → ((((abs‘𝐶)↑𝐽) / 2) · (1 − (1 / (((2 · 𝑁) · (abs‘𝐶)) − 1)))) = (((((abs‘𝐶)↑𝐽) / 2) · 1) − ((((abs‘𝐶)↑𝐽) / 2) · (1 / (((2 · 𝑁) · (abs‘𝐶)) − 1)))))
7066mulid1d 10001 . . . . . . . 8 (𝜑 → ((((abs‘𝐶)↑𝐽) / 2) · 1) = (((abs‘𝐶)↑𝐽) / 2))
7170oveq1d 6619 . . . . . . 7 (𝜑 → (((((abs‘𝐶)↑𝐽) / 2) · 1) − ((((abs‘𝐶)↑𝐽) / 2) · (1 / (((2 · 𝑁) · (abs‘𝐶)) − 1)))) = ((((abs‘𝐶)↑𝐽) / 2) − ((((abs‘𝐶)↑𝐽) / 2) · (1 / (((2 · 𝑁) · (abs‘𝐶)) − 1)))))
7265leidd 10538 . . . . . . 7 (𝜑 → ((((abs‘𝐶)↑𝐽) / 2) − ((((abs‘𝐶)↑𝐽) / 2) · (1 / (((2 · 𝑁) · (abs‘𝐶)) − 1)))) ≤ ((((abs‘𝐶)↑𝐽) / 2) − ((((abs‘𝐶)↑𝐽) / 2) · (1 / (((2 · 𝑁) · (abs‘𝐶)) − 1)))))
7371, 72eqbrtrd 4635 . . . . . 6 (𝜑 → (((((abs‘𝐶)↑𝐽) / 2) · 1) − ((((abs‘𝐶)↑𝐽) / 2) · (1 / (((2 · 𝑁) · (abs‘𝐶)) − 1)))) ≤ ((((abs‘𝐶)↑𝐽) / 2) − ((((abs‘𝐶)↑𝐽) / 2) · (1 / (((2 · 𝑁) · (abs‘𝐶)) − 1)))))
7469, 73eqbrtrd 4635 . . . . 5 (𝜑 → ((((abs‘𝐶)↑𝐽) / 2) · (1 − (1 / (((2 · 𝑁) · (abs‘𝐶)) − 1)))) ≤ ((((abs‘𝐶)↑𝐽) / 2) − ((((abs‘𝐶)↑𝐽) / 2) · (1 / (((2 · 𝑁) · (abs‘𝐶)) − 1)))))
7512, 29remulcld 10014 . . . . . 6 (𝜑 → ((((abs‘𝐶)↑𝐽) / 2) · (1 / (((2 · 𝑁) · (abs‘𝐶)) − 1))) ∈ ℝ)
7612leidd 10538 . . . . . . 7 (𝜑 → (((abs‘𝐶)↑𝐽) / 2) ≤ (((abs‘𝐶)↑𝐽) / 2))
7741, 48abssubd 14126 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (abs‘(((𝐹𝐴)‘𝐽) − ((𝐹𝐵)‘𝐽))) = (abs‘(((𝐹𝐵)‘𝐽) − ((𝐹𝐴)‘𝐽))))
7832, 33, 34, 42, 1, 6, 37, 14knoppndvlem10 32154 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (abs‘(((𝐹𝐵)‘𝐽) − ((𝐹𝐴)‘𝐽))) = (((abs‘𝐶)↑𝐽) / 2))
7977, 78eqtrd 2655 . . . . . . . 8 (𝜑 → (abs‘(((𝐹𝐴)‘𝐽) − ((𝐹𝐵)‘𝐽))) = (((abs‘𝐶)↑𝐽) / 2))
8079eqcomd 2627 . . . . . . 7 (𝜑 → (((abs‘𝐶)↑𝐽) / 2) = (abs‘(((𝐹𝐴)‘𝐽) − ((𝐹𝐵)‘𝐽))))
8176, 80breqtrd 4639 . . . . . 6 (𝜑 → (((abs‘𝐶)↑𝐽) / 2) ≤ (abs‘(((𝐹𝐴)‘𝐽) − ((𝐹𝐵)‘𝐽))))
8232, 33, 34, 42, 1, 6, 37, 14, 22knoppndvlem14 32158 . . . . . 6 (𝜑 → (abs‘(Σ𝑖 ∈ (0...(𝐽 − 1))((𝐹𝐵)‘𝑖) − Σ𝑖 ∈ (0...(𝐽 − 1))((𝐹𝐴)‘𝑖))) ≤ ((((abs‘𝐶)↑𝐽) / 2) · (1 / (((2 · 𝑁) · (abs‘𝐶)) − 1))))
8312, 56, 50, 75, 81, 82le2subd 10591 . . . . 5 (𝜑 → ((((abs‘𝐶)↑𝐽) / 2) − ((((abs‘𝐶)↑𝐽) / 2) · (1 / (((2 · 𝑁) · (abs‘𝐶)) − 1)))) ≤ ((abs‘(((𝐹𝐴)‘𝐽) − ((𝐹𝐵)‘𝐽))) − (abs‘(Σ𝑖 ∈ (0...(𝐽 − 1))((𝐹𝐵)‘𝑖) − Σ𝑖 ∈ (0...(𝐽 − 1))((𝐹𝐴)‘𝑖)))))
8431, 65, 57, 74, 83letrd 10138 . . . 4 (𝜑 → ((((abs‘𝐶)↑𝐽) / 2) · (1 − (1 / (((2 · 𝑁) · (abs‘𝐶)) − 1)))) ≤ ((abs‘(((𝐹𝐴)‘𝐽) − ((𝐹𝐵)‘𝐽))) − (abs‘(Σ𝑖 ∈ (0...(𝐽 − 1))((𝐹𝐵)‘𝑖) − Σ𝑖 ∈ (0...(𝐽 − 1))((𝐹𝐴)‘𝑖)))))
8549, 55abs2difd 14130 . . . 4 (𝜑 → ((abs‘(((𝐹𝐴)‘𝐽) − ((𝐹𝐵)‘𝐽))) − (abs‘(Σ𝑖 ∈ (0...(𝐽 − 1))((𝐹𝐵)‘𝑖) − Σ𝑖 ∈ (0...(𝐽 − 1))((𝐹𝐴)‘𝑖)))) ≤ (abs‘((((𝐹𝐴)‘𝐽) − ((𝐹𝐵)‘𝐽)) − (Σ𝑖 ∈ (0...(𝐽 − 1))((𝐹𝐵)‘𝑖) − Σ𝑖 ∈ (0...(𝐽 − 1))((𝐹𝐴)‘𝑖)))))
8631, 57, 59, 84, 85letrd 10138 . . 3 (𝜑 → ((((abs‘𝐶)↑𝐽) / 2) · (1 − (1 / (((2 · 𝑁) · (abs‘𝐶)) − 1)))) ≤ (abs‘((((𝐹𝐴)‘𝐽) − ((𝐹𝐵)‘𝐽)) − (Σ𝑖 ∈ (0...(𝐽 − 1))((𝐹𝐵)‘𝑖) − Σ𝑖 ∈ (0...(𝐽 − 1))((𝐹𝐴)‘𝑖)))))
8749, 55abssubd 14126 . . 3 (𝜑 → (abs‘((((𝐹𝐴)‘𝐽) − ((𝐹𝐵)‘𝐽)) − (Σ𝑖 ∈ (0...(𝐽 − 1))((𝐹𝐵)‘𝑖) − Σ𝑖 ∈ (0...(𝐽 − 1))((𝐹𝐴)‘𝑖)))) = (abs‘((Σ𝑖 ∈ (0...(𝐽 − 1))((𝐹𝐵)‘𝑖) − Σ𝑖 ∈ (0...(𝐽 − 1))((𝐹𝐴)‘𝑖)) − (((𝐹𝐴)‘𝐽) − ((𝐹𝐵)‘𝐽)))))
8886, 87breqtrd 4639 . 2 (𝜑 → ((((abs‘𝐶)↑𝐽) / 2) · (1 − (1 / (((2 · 𝑁) · (abs‘𝐶)) − 1)))) ≤ (abs‘((Σ𝑖 ∈ (0...(𝐽 − 1))((𝐹𝐵)‘𝑖) − Σ𝑖 ∈ (0...(𝐽 − 1))((𝐹𝐴)‘𝑖)) − (((𝐹𝐴)‘𝐽) − ((𝐹𝐵)‘𝐽)))))
89 knoppndvlem15.w . . . . . . . 8 𝑊 = (𝑤 ∈ ℝ ↦ Σ𝑖 ∈ ℕ0 ((𝐹𝑤)‘𝑖))
9032, 33, 89, 42, 1, 6, 44, 14knoppndvlem6 32150 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝑊𝐵) = Σ𝑖 ∈ (0...𝐽)((𝐹𝐵)‘𝑖))
91 elnn0uz 11669 . . . . . . . . 9 (𝐽 ∈ ℕ0𝐽 ∈ (ℤ‘0))
926, 91sylib 208 . . . . . . . 8 (𝜑𝐽 ∈ (ℤ‘0))
9314adantr 481 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑖 ∈ (0...𝐽)) → 𝑁 ∈ ℕ)
943adantr 481 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑖 ∈ (0...𝐽)) → 𝐶 ∈ ℝ)
9546adantr 481 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑖 ∈ (0...𝐽)) → 𝐵 ∈ ℝ)
96 elfznn0 12374 . . . . . . . . . . 11 (𝑖 ∈ (0...𝐽) → 𝑖 ∈ ℕ0)
9796adantl 482 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑖 ∈ (0...𝐽)) → 𝑖 ∈ ℕ0)
9832, 33, 93, 94, 95, 97knoppcnlem3 32127 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑖 ∈ (0...𝐽)) → ((𝐹𝐵)‘𝑖) ∈ ℝ)
9998recnd 10012 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑖 ∈ (0...𝐽)) → ((𝐹𝐵)‘𝑖) ∈ ℂ)
100 fveq2 6148 . . . . . . . 8 (𝑖 = 𝐽 → ((𝐹𝐵)‘𝑖) = ((𝐹𝐵)‘𝐽))
10192, 99, 100fsumm1 14410 . . . . . . 7 (𝜑 → Σ𝑖 ∈ (0...𝐽)((𝐹𝐵)‘𝑖) = (Σ𝑖 ∈ (0...(𝐽 − 1))((𝐹𝐵)‘𝑖) + ((𝐹𝐵)‘𝐽)))
10290, 101eqtrd 2655 . . . . . 6 (𝜑 → (𝑊𝐵) = (Σ𝑖 ∈ (0...(𝐽 − 1))((𝐹𝐵)‘𝑖) + ((𝐹𝐵)‘𝐽)))
10332, 33, 89, 34, 1, 6, 37, 14knoppndvlem6 32150 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝑊𝐴) = Σ𝑖 ∈ (0...𝐽)((𝐹𝐴)‘𝑖))
10439adantr 481 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑖 ∈ (0...𝐽)) → 𝐴 ∈ ℝ)
10532, 33, 93, 94, 104, 97knoppcnlem3 32127 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑖 ∈ (0...𝐽)) → ((𝐹𝐴)‘𝑖) ∈ ℝ)
106105recnd 10012 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑖 ∈ (0...𝐽)) → ((𝐹𝐴)‘𝑖) ∈ ℂ)
107 fveq2 6148 . . . . . . . 8 (𝑖 = 𝐽 → ((𝐹𝐴)‘𝑖) = ((𝐹𝐴)‘𝐽))
10892, 106, 107fsumm1 14410 . . . . . . 7 (𝜑 → Σ𝑖 ∈ (0...𝐽)((𝐹𝐴)‘𝑖) = (Σ𝑖 ∈ (0...(𝐽 − 1))((𝐹𝐴)‘𝑖) + ((𝐹𝐴)‘𝐽)))
109103, 108eqtrd 2655 . . . . . 6 (𝜑 → (𝑊𝐴) = (Σ𝑖 ∈ (0...(𝐽 − 1))((𝐹𝐴)‘𝑖) + ((𝐹𝐴)‘𝐽)))
110102, 109oveq12d 6622 . . . . 5 (𝜑 → ((𝑊𝐵) − (𝑊𝐴)) = ((Σ𝑖 ∈ (0...(𝐽 − 1))((𝐹𝐵)‘𝑖) + ((𝐹𝐵)‘𝐽)) − (Σ𝑖 ∈ (0...(𝐽 − 1))((𝐹𝐴)‘𝑖) + ((𝐹𝐴)‘𝐽))))
11152, 54, 41, 48subadd4d 10384 . . . . . 6 (𝜑 → ((Σ𝑖 ∈ (0...(𝐽 − 1))((𝐹𝐵)‘𝑖) − Σ𝑖 ∈ (0...(𝐽 − 1))((𝐹𝐴)‘𝑖)) − (((𝐹𝐴)‘𝐽) − ((𝐹𝐵)‘𝐽))) = ((Σ𝑖 ∈ (0...(𝐽 − 1))((𝐹𝐵)‘𝑖) + ((𝐹𝐵)‘𝐽)) − (Σ𝑖 ∈ (0...(𝐽 − 1))((𝐹𝐴)‘𝑖) + ((𝐹𝐴)‘𝐽))))
112111eqcomd 2627 . . . . 5 (𝜑 → ((Σ𝑖 ∈ (0...(𝐽 − 1))((𝐹𝐵)‘𝑖) + ((𝐹𝐵)‘𝐽)) − (Σ𝑖 ∈ (0...(𝐽 − 1))((𝐹𝐴)‘𝑖) + ((𝐹𝐴)‘𝐽))) = ((Σ𝑖 ∈ (0...(𝐽 − 1))((𝐹𝐵)‘𝑖) − Σ𝑖 ∈ (0...(𝐽 − 1))((𝐹𝐴)‘𝑖)) − (((𝐹𝐴)‘𝐽) − ((𝐹𝐵)‘𝐽))))
113110, 112eqtrd 2655 . . . 4 (𝜑 → ((𝑊𝐵) − (𝑊𝐴)) = ((Σ𝑖 ∈ (0...(𝐽 − 1))((𝐹𝐵)‘𝑖) − Σ𝑖 ∈ (0...(𝐽 − 1))((𝐹𝐴)‘𝑖)) − (((𝐹𝐴)‘𝐽) − ((𝐹𝐵)‘𝐽))))
114113fveq2d 6152 . . 3 (𝜑 → (abs‘((𝑊𝐵) − (𝑊𝐴))) = (abs‘((Σ𝑖 ∈ (0...(𝐽 − 1))((𝐹𝐵)‘𝑖) − Σ𝑖 ∈ (0...(𝐽 − 1))((𝐹𝐴)‘𝑖)) − (((𝐹𝐴)‘𝐽) − ((𝐹𝐵)‘𝐽)))))
115114eqcomd 2627 . 2 (𝜑 → (abs‘((Σ𝑖 ∈ (0...(𝐽 − 1))((𝐹𝐵)‘𝑖) − Σ𝑖 ∈ (0...(𝐽 − 1))((𝐹𝐴)‘𝑖)) − (((𝐹𝐴)‘𝐽) − ((𝐹𝐵)‘𝐽)))) = (abs‘((𝑊𝐵) − (𝑊𝐴))))
11688, 115breqtrd 4639 1 (𝜑 → ((((abs‘𝐶)↑𝐽) / 2) · (1 − (1 / (((2 · 𝑁) · (abs‘𝐶)) − 1)))) ≤ (abs‘((𝑊𝐵) − (𝑊𝐴))))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 384   = wceq 1480  wcel 1987  wne 2790   class class class wbr 4613  cmpt 4673  cfv 5847  (class class class)co 6604  cr 9879  0cc0 9880  1c1 9881   + caddc 9883   · cmul 9885   < clt 10018  cle 10019  cmin 10210  -cneg 10211   / cdiv 10628  cn 10964  2c2 11014  0cn0 11236  cz 11321  cuz 11631  (,)cioo 12117  ...cfz 12268  cfl 12531  cexp 12800  abscabs 13908  Σcsu 14350
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1719  ax-4 1734  ax-5 1836  ax-6 1885  ax-7 1932  ax-8 1989  ax-9 1996  ax-10 2016  ax-11 2031  ax-12 2044  ax-13 2245  ax-ext 2601  ax-rep 4731  ax-sep 4741  ax-nul 4749  ax-pow 4803  ax-pr 4867  ax-un 6902  ax-inf2 8482  ax-cnex 9936  ax-resscn 9937  ax-1cn 9938  ax-icn 9939  ax-addcl 9940  ax-addrcl 9941  ax-mulcl 9942  ax-mulrcl 9943  ax-mulcom 9944  ax-addass 9945  ax-mulass 9946  ax-distr 9947  ax-i2m1 9948  ax-1ne0 9949  ax-1rid 9950  ax-rnegex 9951  ax-rrecex 9952  ax-cnre 9953  ax-pre-lttri 9954  ax-pre-lttrn 9955  ax-pre-ltadd 9956  ax-pre-mulgt0 9957  ax-pre-sup 9958  ax-addf 9959  ax-mulf 9960
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1037  df-3an 1038  df-tru 1483  df-fal 1486  df-ex 1702  df-nf 1707  df-sb 1878  df-eu 2473  df-mo 2474  df-clab 2608  df-cleq 2614  df-clel 2617  df-nfc 2750  df-ne 2791  df-nel 2894  df-ral 2912  df-rex 2913  df-reu 2914  df-rmo 2915  df-rab 2916  df-v 3188  df-sbc 3418  df-csb 3515  df-dif 3558  df-un 3560  df-in 3562  df-ss 3569  df-pss 3571  df-nul 3892  df-if 4059  df-pw 4132  df-sn 4149  df-pr 4151  df-tp 4153  df-op 4155  df-uni 4403  df-int 4441  df-iun 4487  df-br 4614  df-opab 4674  df-mpt 4675  df-tr 4713  df-eprel 4985  df-id 4989  df-po 4995  df-so 4996  df-fr 5033  df-se 5034  df-we 5035  df-xp 5080  df-rel 5081  df-cnv 5082  df-co 5083  df-dm 5084  df-rn 5085  df-res 5086  df-ima 5087  df-pred 5639  df-ord 5685  df-on 5686  df-lim 5687  df-suc 5688  df-iota 5810  df-fun 5849  df-fn 5850  df-f 5851  df-f1 5852  df-fo 5853  df-f1o 5854  df-fv 5855  df-isom 5856  df-riota 6565  df-ov 6607  df-oprab 6608  df-mpt2 6609  df-of 6850  df-om 7013  df-1st 7113  df-2nd 7114  df-wrecs 7352  df-recs 7413  df-rdg 7451  df-1o 7505  df-oadd 7509  df-er 7687  df-map 7804  df-pm 7805  df-en 7900  df-dom 7901  df-sdom 7902  df-fin 7903  df-sup 8292  df-inf 8293  df-oi 8359  df-card 8709  df-pnf 10020  df-mnf 10021  df-xr 10022  df-ltxr 10023  df-le 10024  df-sub 10212  df-neg 10213  df-div 10629  df-nn 10965  df-2 11023  df-3 11024  df-n0 11237  df-z 11322  df-uz 11632  df-rp 11777  df-ioo 12121  df-ico 12123  df-fz 12269  df-fzo 12407  df-fl 12533  df-seq 12742  df-exp 12801  df-hash 13058  df-cj 13773  df-re 13774  df-im 13775  df-sqrt 13909  df-abs 13910  df-limsup 14136  df-clim 14153  df-rlim 14154  df-sum 14351  df-dvds 14908  df-ulm 24035
This theorem is referenced by:  knoppndvlem17  32161
  Copyright terms: Public domain W3C validator