Users' Mathboxes Mathbox for Asger C. Ipsen < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  knoppndvlem18 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem knoppndvlem18 32183
Description: Lemma for knoppndv 32188. (Contributed by Asger C. Ipsen, 14-Aug-2021.)
Hypotheses
Ref Expression
knoppndvlem18.c (𝜑𝐶 ∈ (-1(,)1))
knoppndvlem18.n (𝜑𝑁 ∈ ℕ)
knoppndvlem18.d (𝜑𝐷 ∈ ℝ+)
knoppndvlem18.e (𝜑𝐸 ∈ ℝ+)
knoppndvlem18.g (𝜑𝐺 ∈ ℝ+)
knoppndvlem18.1 (𝜑 → 1 < (𝑁 · (abs‘𝐶)))
Assertion
Ref Expression
knoppndvlem18 (𝜑 → ∃𝑗 ∈ ℕ0 ((((2 · 𝑁)↑-𝑗) / 2) < 𝐷𝐸 ≤ ((((2 · 𝑁) · (abs‘𝐶))↑𝑗) · 𝐺)))
Distinct variable groups:   𝐶,𝑗   𝐷,𝑗   𝑗,𝐸   𝑗,𝐺   𝑗,𝑁   𝜑,𝑗

Proof of Theorem knoppndvlem18
StepHypRef Expression
1 2re 11037 . . . . . . . . . . . 12 2 ∈ ℝ
21a1i 11 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → 2 ∈ ℝ)
3 knoppndvlem18.n . . . . . . . . . . . 12 (𝜑𝑁 ∈ ℕ)
43nnred 10982 . . . . . . . . . . 11 (𝜑𝑁 ∈ ℝ)
52, 4remulcld 10017 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (2 · 𝑁) ∈ ℝ)
65adantr 481 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑗 ∈ ℕ) → (2 · 𝑁) ∈ ℝ)
76recnd 10015 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑗 ∈ ℕ) → (2 · 𝑁) ∈ ℂ)
8 2pos 11059 . . . . . . . . . . . 12 0 < 2
98a1i 11 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → 0 < 2)
103nngt0d 11011 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → 0 < 𝑁)
112, 4, 9, 10mulgt0d 10139 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → 0 < (2 · 𝑁))
1211gt0ne0d 10539 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (2 · 𝑁) ≠ 0)
1312adantr 481 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑗 ∈ ℕ) → (2 · 𝑁) ≠ 0)
14 nnz 11346 . . . . . . . . 9 (𝑗 ∈ ℕ → 𝑗 ∈ ℤ)
1514adantl 482 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑗 ∈ ℕ) → 𝑗 ∈ ℤ)
167, 13, 15expnegd 12958 . . . . . . 7 ((𝜑𝑗 ∈ ℕ) → ((2 · 𝑁)↑-𝑗) = (1 / ((2 · 𝑁)↑𝑗)))
1716adantrr 752 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ (𝑗 ∈ ℕ ∧ if((1 / (2 · 𝐷)) ≤ (𝐸 / 𝐺), (𝐸 / 𝐺), (1 / (2 · 𝐷))) < (((2 · 𝑁) · (abs‘𝐶))↑𝑗))) → ((2 · 𝑁)↑-𝑗) = (1 / ((2 · 𝑁)↑𝑗)))
18 2rp 11784 . . . . . . . . . . 11 2 ∈ ℝ+
1918a1i 11 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → 2 ∈ ℝ+)
20 knoppndvlem18.d . . . . . . . . . 10 (𝜑𝐷 ∈ ℝ+)
2119, 20jca 554 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (2 ∈ ℝ+𝐷 ∈ ℝ+))
22 rpmulcl 11802 . . . . . . . . 9 ((2 ∈ ℝ+𝐷 ∈ ℝ+) → (2 · 𝐷) ∈ ℝ+)
2321, 22syl 17 . . . . . . . 8 (𝜑 → (2 · 𝐷) ∈ ℝ+)
2423adantr 481 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ (𝑗 ∈ ℕ ∧ if((1 / (2 · 𝐷)) ≤ (𝐸 / 𝐺), (𝐸 / 𝐺), (1 / (2 · 𝐷))) < (((2 · 𝑁) · (abs‘𝐶))↑𝑗))) → (2 · 𝐷) ∈ ℝ+)
255, 11elrpd 11816 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (2 · 𝑁) ∈ ℝ+)
2625adantr 481 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑗 ∈ ℕ) → (2 · 𝑁) ∈ ℝ+)
2726, 15rpexpcld 12975 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑗 ∈ ℕ) → ((2 · 𝑁)↑𝑗) ∈ ℝ+)
2827adantrr 752 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ (𝑗 ∈ ℕ ∧ if((1 / (2 · 𝐷)) ≤ (𝐸 / 𝐺), (𝐸 / 𝐺), (1 / (2 · 𝐷))) < (((2 · 𝑁) · (abs‘𝐶))↑𝑗))) → ((2 · 𝑁)↑𝑗) ∈ ℝ+)
2924rprecred 11830 . . . . . . . 8 ((𝜑 ∧ (𝑗 ∈ ℕ ∧ if((1 / (2 · 𝐷)) ≤ (𝐸 / 𝐺), (𝐸 / 𝐺), (1 / (2 · 𝐷))) < (((2 · 𝑁) · (abs‘𝐶))↑𝑗))) → (1 / (2 · 𝐷)) ∈ ℝ)
30 knoppndvlem18.c . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝜑𝐶 ∈ (-1(,)1))
3130knoppndvlem3 32168 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑 → (𝐶 ∈ ℝ ∧ (abs‘𝐶) < 1))
3231simpld 475 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑𝐶 ∈ ℝ)
3332recnd 10015 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑𝐶 ∈ ℂ)
3433abscld 14112 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → (abs‘𝐶) ∈ ℝ)
355, 34remulcld 10017 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → ((2 · 𝑁) · (abs‘𝐶)) ∈ ℝ)
3635adantr 481 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑗 ∈ ℕ) → ((2 · 𝑁) · (abs‘𝐶)) ∈ ℝ)
37 nnnn0 11246 . . . . . . . . . . 11 (𝑗 ∈ ℕ → 𝑗 ∈ ℕ0)
3837adantl 482 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑗 ∈ ℕ) → 𝑗 ∈ ℕ0)
3936, 38reexpcld 12968 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑗 ∈ ℕ) → (((2 · 𝑁) · (abs‘𝐶))↑𝑗) ∈ ℝ)
4039adantrr 752 . . . . . . . 8 ((𝜑 ∧ (𝑗 ∈ ℕ ∧ if((1 / (2 · 𝐷)) ≤ (𝐸 / 𝐺), (𝐸 / 𝐺), (1 / (2 · 𝐷))) < (((2 · 𝑁) · (abs‘𝐶))↑𝑗))) → (((2 · 𝑁) · (abs‘𝐶))↑𝑗) ∈ ℝ)
4128rpred 11819 . . . . . . . 8 ((𝜑 ∧ (𝑗 ∈ ℕ ∧ if((1 / (2 · 𝐷)) ≤ (𝐸 / 𝐺), (𝐸 / 𝐺), (1 / (2 · 𝐷))) < (((2 · 𝑁) · (abs‘𝐶))↑𝑗))) → ((2 · 𝑁)↑𝑗) ∈ ℝ)
42 knoppndvlem18.e . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑𝐸 ∈ ℝ+)
4342rpred 11819 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑𝐸 ∈ ℝ)
44 knoppndvlem18.g . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑𝐺 ∈ ℝ+)
4544rpred 11819 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑𝐺 ∈ ℝ)
4644rpne0d 11824 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑𝐺 ≠ 0)
4743, 45, 46redivcld 10800 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (𝐸 / 𝐺) ∈ ℝ)
4823rprecred 11830 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (1 / (2 · 𝐷)) ∈ ℝ)
4947, 48ifcld 4105 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → if((1 / (2 · 𝐷)) ≤ (𝐸 / 𝐺), (𝐸 / 𝐺), (1 / (2 · 𝐷))) ∈ ℝ)
5049adantr 481 . . . . . . . . 9 ((𝜑 ∧ (𝑗 ∈ ℕ ∧ if((1 / (2 · 𝐷)) ≤ (𝐸 / 𝐺), (𝐸 / 𝐺), (1 / (2 · 𝐷))) < (((2 · 𝑁) · (abs‘𝐶))↑𝑗))) → if((1 / (2 · 𝐷)) ≤ (𝐸 / 𝐺), (𝐸 / 𝐺), (1 / (2 · 𝐷))) ∈ ℝ)
5148, 47jca 554 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → ((1 / (2 · 𝐷)) ∈ ℝ ∧ (𝐸 / 𝐺) ∈ ℝ))
52 max1 11962 . . . . . . . . . . 11 (((1 / (2 · 𝐷)) ∈ ℝ ∧ (𝐸 / 𝐺) ∈ ℝ) → (1 / (2 · 𝐷)) ≤ if((1 / (2 · 𝐷)) ≤ (𝐸 / 𝐺), (𝐸 / 𝐺), (1 / (2 · 𝐷))))
5351, 52syl 17 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (1 / (2 · 𝐷)) ≤ if((1 / (2 · 𝐷)) ≤ (𝐸 / 𝐺), (𝐸 / 𝐺), (1 / (2 · 𝐷))))
5453adantr 481 . . . . . . . . 9 ((𝜑 ∧ (𝑗 ∈ ℕ ∧ if((1 / (2 · 𝐷)) ≤ (𝐸 / 𝐺), (𝐸 / 𝐺), (1 / (2 · 𝐷))) < (((2 · 𝑁) · (abs‘𝐶))↑𝑗))) → (1 / (2 · 𝐷)) ≤ if((1 / (2 · 𝐷)) ≤ (𝐸 / 𝐺), (𝐸 / 𝐺), (1 / (2 · 𝐷))))
55 simprr 795 . . . . . . . . 9 ((𝜑 ∧ (𝑗 ∈ ℕ ∧ if((1 / (2 · 𝐷)) ≤ (𝐸 / 𝐺), (𝐸 / 𝐺), (1 / (2 · 𝐷))) < (((2 · 𝑁) · (abs‘𝐶))↑𝑗))) → if((1 / (2 · 𝐷)) ≤ (𝐸 / 𝐺), (𝐸 / 𝐺), (1 / (2 · 𝐷))) < (((2 · 𝑁) · (abs‘𝐶))↑𝑗))
5629, 50, 40, 54, 55lelttrd 10142 . . . . . . . 8 ((𝜑 ∧ (𝑗 ∈ ℕ ∧ if((1 / (2 · 𝐷)) ≤ (𝐸 / 𝐺), (𝐸 / 𝐺), (1 / (2 · 𝐷))) < (((2 · 𝑁) · (abs‘𝐶))↑𝑗))) → (1 / (2 · 𝐷)) < (((2 · 𝑁) · (abs‘𝐶))↑𝑗))
5734recnd 10015 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → (abs‘𝐶) ∈ ℂ)
5857adantr 481 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑗 ∈ ℕ) → (abs‘𝐶) ∈ ℂ)
597, 58, 38mulexpd 12966 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑗 ∈ ℕ) → (((2 · 𝑁) · (abs‘𝐶))↑𝑗) = (((2 · 𝑁)↑𝑗) · ((abs‘𝐶)↑𝑗)))
6034adantr 481 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑗 ∈ ℕ) → (abs‘𝐶) ∈ ℝ)
6160, 38reexpcld 12968 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑗 ∈ ℕ) → ((abs‘𝐶)↑𝑗) ∈ ℝ)
62 1red 10002 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑗 ∈ ℕ) → 1 ∈ ℝ)
6327rpred 11819 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑗 ∈ ℕ) → ((2 · 𝑁)↑𝑗) ∈ ℝ)
6427rpge0d 11823 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑗 ∈ ℕ) → 0 ≤ ((2 · 𝑁)↑𝑗))
6533absge0d 14120 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝜑 → 0 ≤ (abs‘𝐶))
66 1red 10002 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝜑 → 1 ∈ ℝ)
6731simprd 479 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝜑 → (abs‘𝐶) < 1)
6834, 66, 67ltled 10132 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝜑 → (abs‘𝐶) ≤ 1)
6934, 65, 683jca 1240 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑 → ((abs‘𝐶) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ (abs‘𝐶) ∧ (abs‘𝐶) ≤ 1))
7069adantr 481 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑𝑗 ∈ ℕ) → ((abs‘𝐶) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ (abs‘𝐶) ∧ (abs‘𝐶) ≤ 1))
7170, 38jca 554 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑗 ∈ ℕ) → (((abs‘𝐶) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ (abs‘𝐶) ∧ (abs‘𝐶) ≤ 1) ∧ 𝑗 ∈ ℕ0))
72 exple1 12863 . . . . . . . . . . . . 13 ((((abs‘𝐶) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ (abs‘𝐶) ∧ (abs‘𝐶) ≤ 1) ∧ 𝑗 ∈ ℕ0) → ((abs‘𝐶)↑𝑗) ≤ 1)
7371, 72syl 17 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑗 ∈ ℕ) → ((abs‘𝐶)↑𝑗) ≤ 1)
7461, 62, 63, 64, 73lemul2ad 10911 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑗 ∈ ℕ) → (((2 · 𝑁)↑𝑗) · ((abs‘𝐶)↑𝑗)) ≤ (((2 · 𝑁)↑𝑗) · 1))
7563recnd 10015 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑗 ∈ ℕ) → ((2 · 𝑁)↑𝑗) ∈ ℂ)
7675mulid1d 10004 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑗 ∈ ℕ) → (((2 · 𝑁)↑𝑗) · 1) = ((2 · 𝑁)↑𝑗))
7774, 76breqtrd 4641 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑗 ∈ ℕ) → (((2 · 𝑁)↑𝑗) · ((abs‘𝐶)↑𝑗)) ≤ ((2 · 𝑁)↑𝑗))
7859, 77eqbrtrd 4637 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑗 ∈ ℕ) → (((2 · 𝑁) · (abs‘𝐶))↑𝑗) ≤ ((2 · 𝑁)↑𝑗))
7978adantrr 752 . . . . . . . 8 ((𝜑 ∧ (𝑗 ∈ ℕ ∧ if((1 / (2 · 𝐷)) ≤ (𝐸 / 𝐺), (𝐸 / 𝐺), (1 / (2 · 𝐷))) < (((2 · 𝑁) · (abs‘𝐶))↑𝑗))) → (((2 · 𝑁) · (abs‘𝐶))↑𝑗) ≤ ((2 · 𝑁)↑𝑗))
8029, 40, 41, 56, 79ltletrd 10144 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ (𝑗 ∈ ℕ ∧ if((1 / (2 · 𝐷)) ≤ (𝐸 / 𝐺), (𝐸 / 𝐺), (1 / (2 · 𝐷))) < (((2 · 𝑁) · (abs‘𝐶))↑𝑗))) → (1 / (2 · 𝐷)) < ((2 · 𝑁)↑𝑗))
8124, 28, 80ltrec1d 11839 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ (𝑗 ∈ ℕ ∧ if((1 / (2 · 𝐷)) ≤ (𝐸 / 𝐺), (𝐸 / 𝐺), (1 / (2 · 𝐷))) < (((2 · 𝑁) · (abs‘𝐶))↑𝑗))) → (1 / ((2 · 𝑁)↑𝑗)) < (2 · 𝐷))
8217, 81eqbrtrd 4637 . . . . 5 ((𝜑 ∧ (𝑗 ∈ ℕ ∧ if((1 / (2 · 𝐷)) ≤ (𝐸 / 𝐺), (𝐸 / 𝐺), (1 / (2 · 𝐷))) < (((2 · 𝑁) · (abs‘𝐶))↑𝑗))) → ((2 · 𝑁)↑-𝑗) < (2 · 𝐷))
83 nnnegz 11327 . . . . . . . . 9 (𝑗 ∈ ℕ → -𝑗 ∈ ℤ)
8483adantl 482 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑗 ∈ ℕ) → -𝑗 ∈ ℤ)
856, 13, 84reexpclzd 12977 . . . . . . 7 ((𝜑𝑗 ∈ ℕ) → ((2 · 𝑁)↑-𝑗) ∈ ℝ)
8620rpred 11819 . . . . . . . 8 (𝜑𝐷 ∈ ℝ)
8786adantr 481 . . . . . . 7 ((𝜑𝑗 ∈ ℕ) → 𝐷 ∈ ℝ)
8818a1i 11 . . . . . . 7 ((𝜑𝑗 ∈ ℕ) → 2 ∈ ℝ+)
8985, 87, 88ltdivmuld 11870 . . . . . 6 ((𝜑𝑗 ∈ ℕ) → ((((2 · 𝑁)↑-𝑗) / 2) < 𝐷 ↔ ((2 · 𝑁)↑-𝑗) < (2 · 𝐷)))
9089adantrr 752 . . . . 5 ((𝜑 ∧ (𝑗 ∈ ℕ ∧ if((1 / (2 · 𝐷)) ≤ (𝐸 / 𝐺), (𝐸 / 𝐺), (1 / (2 · 𝐷))) < (((2 · 𝑁) · (abs‘𝐶))↑𝑗))) → ((((2 · 𝑁)↑-𝑗) / 2) < 𝐷 ↔ ((2 · 𝑁)↑-𝑗) < (2 · 𝐷)))
9182, 90mpbird 247 . . . 4 ((𝜑 ∧ (𝑗 ∈ ℕ ∧ if((1 / (2 · 𝐷)) ≤ (𝐸 / 𝐺), (𝐸 / 𝐺), (1 / (2 · 𝐷))) < (((2 · 𝑁) · (abs‘𝐶))↑𝑗))) → (((2 · 𝑁)↑-𝑗) / 2) < 𝐷)
9247adantr 481 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ (𝑗 ∈ ℕ ∧ if((1 / (2 · 𝐷)) ≤ (𝐸 / 𝐺), (𝐸 / 𝐺), (1 / (2 · 𝐷))) < (((2 · 𝑁) · (abs‘𝐶))↑𝑗))) → (𝐸 / 𝐺) ∈ ℝ)
93 max2 11964 . . . . . . . 8 (((1 / (2 · 𝐷)) ∈ ℝ ∧ (𝐸 / 𝐺) ∈ ℝ) → (𝐸 / 𝐺) ≤ if((1 / (2 · 𝐷)) ≤ (𝐸 / 𝐺), (𝐸 / 𝐺), (1 / (2 · 𝐷))))
9451, 93syl 17 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝐸 / 𝐺) ≤ if((1 / (2 · 𝐷)) ≤ (𝐸 / 𝐺), (𝐸 / 𝐺), (1 / (2 · 𝐷))))
9594adantr 481 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ (𝑗 ∈ ℕ ∧ if((1 / (2 · 𝐷)) ≤ (𝐸 / 𝐺), (𝐸 / 𝐺), (1 / (2 · 𝐷))) < (((2 · 𝑁) · (abs‘𝐶))↑𝑗))) → (𝐸 / 𝐺) ≤ if((1 / (2 · 𝐷)) ≤ (𝐸 / 𝐺), (𝐸 / 𝐺), (1 / (2 · 𝐷))))
9650, 40, 55ltled 10132 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ (𝑗 ∈ ℕ ∧ if((1 / (2 · 𝐷)) ≤ (𝐸 / 𝐺), (𝐸 / 𝐺), (1 / (2 · 𝐷))) < (((2 · 𝑁) · (abs‘𝐶))↑𝑗))) → if((1 / (2 · 𝐷)) ≤ (𝐸 / 𝐺), (𝐸 / 𝐺), (1 / (2 · 𝐷))) ≤ (((2 · 𝑁) · (abs‘𝐶))↑𝑗))
9792, 50, 40, 95, 96letrd 10141 . . . . 5 ((𝜑 ∧ (𝑗 ∈ ℕ ∧ if((1 / (2 · 𝐷)) ≤ (𝐸 / 𝐺), (𝐸 / 𝐺), (1 / (2 · 𝐷))) < (((2 · 𝑁) · (abs‘𝐶))↑𝑗))) → (𝐸 / 𝐺) ≤ (((2 · 𝑁) · (abs‘𝐶))↑𝑗))
9843adantr 481 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ (𝑗 ∈ ℕ ∧ if((1 / (2 · 𝐷)) ≤ (𝐸 / 𝐺), (𝐸 / 𝐺), (1 / (2 · 𝐷))) < (((2 · 𝑁) · (abs‘𝐶))↑𝑗))) → 𝐸 ∈ ℝ)
9944adantr 481 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ (𝑗 ∈ ℕ ∧ if((1 / (2 · 𝐷)) ≤ (𝐸 / 𝐺), (𝐸 / 𝐺), (1 / (2 · 𝐷))) < (((2 · 𝑁) · (abs‘𝐶))↑𝑗))) → 𝐺 ∈ ℝ+)
10098, 40, 99ledivmul2d 11873 . . . . 5 ((𝜑 ∧ (𝑗 ∈ ℕ ∧ if((1 / (2 · 𝐷)) ≤ (𝐸 / 𝐺), (𝐸 / 𝐺), (1 / (2 · 𝐷))) < (((2 · 𝑁) · (abs‘𝐶))↑𝑗))) → ((𝐸 / 𝐺) ≤ (((2 · 𝑁) · (abs‘𝐶))↑𝑗) ↔ 𝐸 ≤ ((((2 · 𝑁) · (abs‘𝐶))↑𝑗) · 𝐺)))
10197, 100mpbid 222 . . . 4 ((𝜑 ∧ (𝑗 ∈ ℕ ∧ if((1 / (2 · 𝐷)) ≤ (𝐸 / 𝐺), (𝐸 / 𝐺), (1 / (2 · 𝐷))) < (((2 · 𝑁) · (abs‘𝐶))↑𝑗))) → 𝐸 ≤ ((((2 · 𝑁) · (abs‘𝐶))↑𝑗) · 𝐺))
10291, 101jca 554 . . 3 ((𝜑 ∧ (𝑗 ∈ ℕ ∧ if((1 / (2 · 𝐷)) ≤ (𝐸 / 𝐺), (𝐸 / 𝐺), (1 / (2 · 𝐷))) < (((2 · 𝑁) · (abs‘𝐶))↑𝑗))) → ((((2 · 𝑁)↑-𝑗) / 2) < 𝐷𝐸 ≤ ((((2 · 𝑁) · (abs‘𝐶))↑𝑗) · 𝐺)))
103 1t1e1 11122 . . . . . . . . 9 (1 · 1) = 1
104103eqcomi 2630 . . . . . . . 8 1 = (1 · 1)
105104a1i 11 . . . . . . 7 (𝜑 → 1 = (1 · 1))
1064, 34remulcld 10017 . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝑁 · (abs‘𝐶)) ∈ ℝ)
107 0le1 10498 . . . . . . . . 9 0 ≤ 1
108107a1i 11 . . . . . . . 8 (𝜑 → 0 ≤ 1)
109 1lt2 11141 . . . . . . . . 9 1 < 2
110109a1i 11 . . . . . . . 8 (𝜑 → 1 < 2)
111 knoppndvlem18.1 . . . . . . . 8 (𝜑 → 1 < (𝑁 · (abs‘𝐶)))
11266, 2, 66, 106, 108, 110, 108, 111ltmul12ad 10912 . . . . . . 7 (𝜑 → (1 · 1) < (2 · (𝑁 · (abs‘𝐶))))
113105, 112eqbrtrd 4637 . . . . . 6 (𝜑 → 1 < (2 · (𝑁 · (abs‘𝐶))))
1142recnd 10015 . . . . . . . 8 (𝜑 → 2 ∈ ℂ)
1154recnd 10015 . . . . . . . 8 (𝜑𝑁 ∈ ℂ)
116114, 115, 57mulassd 10010 . . . . . . 7 (𝜑 → ((2 · 𝑁) · (abs‘𝐶)) = (2 · (𝑁 · (abs‘𝐶))))
117116eqcomd 2627 . . . . . 6 (𝜑 → (2 · (𝑁 · (abs‘𝐶))) = ((2 · 𝑁) · (abs‘𝐶)))
118113, 117breqtrd 4641 . . . . 5 (𝜑 → 1 < ((2 · 𝑁) · (abs‘𝐶)))
11949, 35, 1183jca 1240 . . . 4 (𝜑 → (if((1 / (2 · 𝐷)) ≤ (𝐸 / 𝐺), (𝐸 / 𝐺), (1 / (2 · 𝐷))) ∈ ℝ ∧ ((2 · 𝑁) · (abs‘𝐶)) ∈ ℝ ∧ 1 < ((2 · 𝑁) · (abs‘𝐶))))
120 expnbnd 12936 . . . 4 ((if((1 / (2 · 𝐷)) ≤ (𝐸 / 𝐺), (𝐸 / 𝐺), (1 / (2 · 𝐷))) ∈ ℝ ∧ ((2 · 𝑁) · (abs‘𝐶)) ∈ ℝ ∧ 1 < ((2 · 𝑁) · (abs‘𝐶))) → ∃𝑗 ∈ ℕ if((1 / (2 · 𝐷)) ≤ (𝐸 / 𝐺), (𝐸 / 𝐺), (1 / (2 · 𝐷))) < (((2 · 𝑁) · (abs‘𝐶))↑𝑗))
121119, 120syl 17 . . 3 (𝜑 → ∃𝑗 ∈ ℕ if((1 / (2 · 𝐷)) ≤ (𝐸 / 𝐺), (𝐸 / 𝐺), (1 / (2 · 𝐷))) < (((2 · 𝑁) · (abs‘𝐶))↑𝑗))
122102, 121reximddv 3012 . 2 (𝜑 → ∃𝑗 ∈ ℕ ((((2 · 𝑁)↑-𝑗) / 2) < 𝐷𝐸 ≤ ((((2 · 𝑁) · (abs‘𝐶))↑𝑗) · 𝐺)))
123 nnssnn0 11242 . . 3 ℕ ⊆ ℕ0
124 ssrexv 3648 . . 3 (ℕ ⊆ ℕ0 → (∃𝑗 ∈ ℕ ((((2 · 𝑁)↑-𝑗) / 2) < 𝐷𝐸 ≤ ((((2 · 𝑁) · (abs‘𝐶))↑𝑗) · 𝐺)) → ∃𝑗 ∈ ℕ0 ((((2 · 𝑁)↑-𝑗) / 2) < 𝐷𝐸 ≤ ((((2 · 𝑁) · (abs‘𝐶))↑𝑗) · 𝐺))))
125123, 124ax-mp 5 . 2 (∃𝑗 ∈ ℕ ((((2 · 𝑁)↑-𝑗) / 2) < 𝐷𝐸 ≤ ((((2 · 𝑁) · (abs‘𝐶))↑𝑗) · 𝐺)) → ∃𝑗 ∈ ℕ0 ((((2 · 𝑁)↑-𝑗) / 2) < 𝐷𝐸 ≤ ((((2 · 𝑁) · (abs‘𝐶))↑𝑗) · 𝐺)))
126122, 125syl 17 1 (𝜑 → ∃𝑗 ∈ ℕ0 ((((2 · 𝑁)↑-𝑗) / 2) < 𝐷𝐸 ≤ ((((2 · 𝑁) · (abs‘𝐶))↑𝑗) · 𝐺)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 196  wa 384  w3a 1036   = wceq 1480  wcel 1987  wne 2790  wrex 2908  wss 3556  ifcif 4060   class class class wbr 4615  cfv 5849  (class class class)co 6607  cc 9881  cr 9882  0cc0 9883  1c1 9884   · cmul 9888   < clt 10021  cle 10022  -cneg 10214   / cdiv 10631  cn 10967  2c2 11017  0cn0 11239  cz 11324  +crp 11779  (,)cioo 12120  cexp 12803  abscabs 13911
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1719  ax-4 1734  ax-5 1836  ax-6 1885  ax-7 1932  ax-8 1989  ax-9 1996  ax-10 2016  ax-11 2031  ax-12 2044  ax-13 2245  ax-ext 2601  ax-sep 4743  ax-nul 4751  ax-pow 4805  ax-pr 4869  ax-un 6905  ax-cnex 9939  ax-resscn 9940  ax-1cn 9941  ax-icn 9942  ax-addcl 9943  ax-addrcl 9944  ax-mulcl 9945  ax-mulrcl 9946  ax-mulcom 9947  ax-addass 9948  ax-mulass 9949  ax-distr 9950  ax-i2m1 9951  ax-1ne0 9952  ax-1rid 9953  ax-rnegex 9954  ax-rrecex 9955  ax-cnre 9956  ax-pre-lttri 9957  ax-pre-lttrn 9958  ax-pre-ltadd 9959  ax-pre-mulgt0 9960  ax-pre-sup 9961
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1037  df-3an 1038  df-tru 1483  df-ex 1702  df-nf 1707  df-sb 1878  df-eu 2473  df-mo 2474  df-clab 2608  df-cleq 2614  df-clel 2617  df-nfc 2750  df-ne 2791  df-nel 2894  df-ral 2912  df-rex 2913  df-reu 2914  df-rmo 2915  df-rab 2916  df-v 3188  df-sbc 3419  df-csb 3516  df-dif 3559  df-un 3561  df-in 3563  df-ss 3570  df-pss 3572  df-nul 3894  df-if 4061  df-pw 4134  df-sn 4151  df-pr 4153  df-tp 4155  df-op 4157  df-uni 4405  df-iun 4489  df-br 4616  df-opab 4676  df-mpt 4677  df-tr 4715  df-eprel 4987  df-id 4991  df-po 4997  df-so 4998  df-fr 5035  df-we 5037  df-xp 5082  df-rel 5083  df-cnv 5084  df-co 5085  df-dm 5086  df-rn 5087  df-res 5088  df-ima 5089  df-pred 5641  df-ord 5687  df-on 5688  df-lim 5689  df-suc 5690  df-iota 5812  df-fun 5851  df-fn 5852  df-f 5853  df-f1 5854  df-fo 5855  df-f1o 5856  df-fv 5857  df-riota 6568  df-ov 6610  df-oprab 6611  df-mpt2 6612  df-om 7016  df-1st 7116  df-2nd 7117  df-wrecs 7355  df-recs 7416  df-rdg 7454  df-er 7690  df-en 7903  df-dom 7904  df-sdom 7905  df-sup 8295  df-inf 8296  df-pnf 10023  df-mnf 10024  df-xr 10025  df-ltxr 10026  df-le 10027  df-sub 10215  df-neg 10216  df-div 10632  df-nn 10968  df-2 11026  df-3 11027  df-n0 11240  df-z 11325  df-uz 11635  df-rp 11780  df-ioo 12124  df-fl 12536  df-seq 12745  df-exp 12804  df-cj 13776  df-re 13777  df-im 13778  df-sqrt 13912  df-abs 13913
This theorem is referenced by:  knoppndvlem22  32187
  Copyright terms: Public domain W3C validator