Users' Mathboxes Mathbox for Asger C. Ipsen < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  knoppndvlem19 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem knoppndvlem19 32155
Description: Lemma for knoppndv 32159. (Contributed by Asger C. Ipsen, 17-Aug-2021.)
Hypotheses
Ref Expression
knoppndvlem19.a 𝐴 = ((((2 · 𝑁)↑-𝐽) / 2) · 𝑚)
knoppndvlem19.b 𝐵 = ((((2 · 𝑁)↑-𝐽) / 2) · (𝑚 + 1))
knoppndvlem19.j (𝜑𝐽 ∈ ℕ0)
knoppndvlem19.h (𝜑𝐻 ∈ ℝ)
knoppndvlem19.n (𝜑𝑁 ∈ ℕ)
Assertion
Ref Expression
knoppndvlem19 (𝜑 → ∃𝑚 ∈ ℤ (𝐴𝐻𝐻𝐵))
Distinct variable groups:   𝜑,𝑚   𝑚,𝐽   𝑚,𝐻   𝑚,𝑁
Allowed substitution hints:   𝐴(𝑚)   𝐵(𝑚)

Proof of Theorem knoppndvlem19
StepHypRef Expression
1 knoppndvlem19.h . . . 4 (𝜑𝐻 ∈ ℝ)
2 2re 11035 . . . . . . . 8 2 ∈ ℝ
32a1i 11 . . . . . . 7 (𝜑 → 2 ∈ ℝ)
4 knoppndvlem19.n . . . . . . . 8 (𝜑𝑁 ∈ ℕ)
54nnred 10980 . . . . . . 7 (𝜑𝑁 ∈ ℝ)
63, 5remulcld 10015 . . . . . 6 (𝜑 → (2 · 𝑁) ∈ ℝ)
7 2pos 11057 . . . . . . . . 9 0 < 2
87a1i 11 . . . . . . . 8 (𝜑 → 0 < 2)
94nngt0d 11009 . . . . . . . 8 (𝜑 → 0 < 𝑁)
103, 5, 8, 9mulgt0d 10137 . . . . . . 7 (𝜑 → 0 < (2 · 𝑁))
1110gt0ne0d 10537 . . . . . 6 (𝜑 → (2 · 𝑁) ≠ 0)
12 knoppndvlem19.j . . . . . . . 8 (𝜑𝐽 ∈ ℕ0)
1312nn0zd 11424 . . . . . . 7 (𝜑𝐽 ∈ ℤ)
1413znegcld 11428 . . . . . 6 (𝜑 → -𝐽 ∈ ℤ)
156, 11, 14reexpclzd 12971 . . . . 5 (𝜑 → ((2 · 𝑁)↑-𝐽) ∈ ℝ)
163recnd 10013 . . . . . 6 (𝜑 → 2 ∈ ℂ)
175recnd 10013 . . . . . 6 (𝜑𝑁 ∈ ℂ)
1816, 17, 11mulne0bad 10627 . . . . 5 (𝜑 → 2 ≠ 0)
1915, 3, 18redivcld 10798 . . . 4 (𝜑 → (((2 · 𝑁)↑-𝐽) / 2) ∈ ℝ)
206, 14, 103jca 1240 . . . . . . 7 (𝜑 → ((2 · 𝑁) ∈ ℝ ∧ -𝐽 ∈ ℤ ∧ 0 < (2 · 𝑁)))
21 expgt0 12830 . . . . . . 7 (((2 · 𝑁) ∈ ℝ ∧ -𝐽 ∈ ℤ ∧ 0 < (2 · 𝑁)) → 0 < ((2 · 𝑁)↑-𝐽))
2220, 21syl 17 . . . . . 6 (𝜑 → 0 < ((2 · 𝑁)↑-𝐽))
2315, 3, 22, 8divgt0d 10904 . . . . 5 (𝜑 → 0 < (((2 · 𝑁)↑-𝐽) / 2))
2423gt0ne0d 10537 . . . 4 (𝜑 → (((2 · 𝑁)↑-𝐽) / 2) ≠ 0)
251, 19, 24redivcld 10798 . . 3 (𝜑 → (𝐻 / (((2 · 𝑁)↑-𝐽) / 2)) ∈ ℝ)
2625flcld 12536 . 2 (𝜑 → (⌊‘(𝐻 / (((2 · 𝑁)↑-𝐽) / 2))) ∈ ℤ)
27 knoppndvlem19.a . . . . . . 7 𝐴 = ((((2 · 𝑁)↑-𝐽) / 2) · 𝑚)
2827a1i 11 . . . . . 6 (𝑚 = (⌊‘(𝐻 / (((2 · 𝑁)↑-𝐽) / 2))) → 𝐴 = ((((2 · 𝑁)↑-𝐽) / 2) · 𝑚))
29 id 22 . . . . . . 7 (𝑚 = (⌊‘(𝐻 / (((2 · 𝑁)↑-𝐽) / 2))) → 𝑚 = (⌊‘(𝐻 / (((2 · 𝑁)↑-𝐽) / 2))))
3029oveq2d 6621 . . . . . 6 (𝑚 = (⌊‘(𝐻 / (((2 · 𝑁)↑-𝐽) / 2))) → ((((2 · 𝑁)↑-𝐽) / 2) · 𝑚) = ((((2 · 𝑁)↑-𝐽) / 2) · (⌊‘(𝐻 / (((2 · 𝑁)↑-𝐽) / 2)))))
3128, 30eqtrd 2660 . . . . 5 (𝑚 = (⌊‘(𝐻 / (((2 · 𝑁)↑-𝐽) / 2))) → 𝐴 = ((((2 · 𝑁)↑-𝐽) / 2) · (⌊‘(𝐻 / (((2 · 𝑁)↑-𝐽) / 2)))))
3231breq1d 4628 . . . 4 (𝑚 = (⌊‘(𝐻 / (((2 · 𝑁)↑-𝐽) / 2))) → (𝐴𝐻 ↔ ((((2 · 𝑁)↑-𝐽) / 2) · (⌊‘(𝐻 / (((2 · 𝑁)↑-𝐽) / 2)))) ≤ 𝐻))
33 knoppndvlem19.b . . . . . . 7 𝐵 = ((((2 · 𝑁)↑-𝐽) / 2) · (𝑚 + 1))
3433a1i 11 . . . . . 6 (𝑚 = (⌊‘(𝐻 / (((2 · 𝑁)↑-𝐽) / 2))) → 𝐵 = ((((2 · 𝑁)↑-𝐽) / 2) · (𝑚 + 1)))
3529oveq1d 6620 . . . . . . 7 (𝑚 = (⌊‘(𝐻 / (((2 · 𝑁)↑-𝐽) / 2))) → (𝑚 + 1) = ((⌊‘(𝐻 / (((2 · 𝑁)↑-𝐽) / 2))) + 1))
3635oveq2d 6621 . . . . . 6 (𝑚 = (⌊‘(𝐻 / (((2 · 𝑁)↑-𝐽) / 2))) → ((((2 · 𝑁)↑-𝐽) / 2) · (𝑚 + 1)) = ((((2 · 𝑁)↑-𝐽) / 2) · ((⌊‘(𝐻 / (((2 · 𝑁)↑-𝐽) / 2))) + 1)))
3734, 36eqtrd 2660 . . . . 5 (𝑚 = (⌊‘(𝐻 / (((2 · 𝑁)↑-𝐽) / 2))) → 𝐵 = ((((2 · 𝑁)↑-𝐽) / 2) · ((⌊‘(𝐻 / (((2 · 𝑁)↑-𝐽) / 2))) + 1)))
3837breq2d 4630 . . . 4 (𝑚 = (⌊‘(𝐻 / (((2 · 𝑁)↑-𝐽) / 2))) → (𝐻𝐵𝐻 ≤ ((((2 · 𝑁)↑-𝐽) / 2) · ((⌊‘(𝐻 / (((2 · 𝑁)↑-𝐽) / 2))) + 1))))
3932, 38anbi12d 746 . . 3 (𝑚 = (⌊‘(𝐻 / (((2 · 𝑁)↑-𝐽) / 2))) → ((𝐴𝐻𝐻𝐵) ↔ (((((2 · 𝑁)↑-𝐽) / 2) · (⌊‘(𝐻 / (((2 · 𝑁)↑-𝐽) / 2)))) ≤ 𝐻𝐻 ≤ ((((2 · 𝑁)↑-𝐽) / 2) · ((⌊‘(𝐻 / (((2 · 𝑁)↑-𝐽) / 2))) + 1)))))
4039adantl 482 . 2 ((𝜑𝑚 = (⌊‘(𝐻 / (((2 · 𝑁)↑-𝐽) / 2)))) → ((𝐴𝐻𝐻𝐵) ↔ (((((2 · 𝑁)↑-𝐽) / 2) · (⌊‘(𝐻 / (((2 · 𝑁)↑-𝐽) / 2)))) ≤ 𝐻𝐻 ≤ ((((2 · 𝑁)↑-𝐽) / 2) · ((⌊‘(𝐻 / (((2 · 𝑁)↑-𝐽) / 2))) + 1)))))
4126zred 11426 . . . . 5 (𝜑 → (⌊‘(𝐻 / (((2 · 𝑁)↑-𝐽) / 2))) ∈ ℝ)
42 0red 9986 . . . . . 6 (𝜑 → 0 ∈ ℝ)
4342, 19, 23ltled 10130 . . . . 5 (𝜑 → 0 ≤ (((2 · 𝑁)↑-𝐽) / 2))
44 flle 12537 . . . . . 6 ((𝐻 / (((2 · 𝑁)↑-𝐽) / 2)) ∈ ℝ → (⌊‘(𝐻 / (((2 · 𝑁)↑-𝐽) / 2))) ≤ (𝐻 / (((2 · 𝑁)↑-𝐽) / 2)))
4525, 44syl 17 . . . . 5 (𝜑 → (⌊‘(𝐻 / (((2 · 𝑁)↑-𝐽) / 2))) ≤ (𝐻 / (((2 · 𝑁)↑-𝐽) / 2)))
4641, 25, 19, 43, 45lemul2ad 10909 . . . 4 (𝜑 → ((((2 · 𝑁)↑-𝐽) / 2) · (⌊‘(𝐻 / (((2 · 𝑁)↑-𝐽) / 2)))) ≤ ((((2 · 𝑁)↑-𝐽) / 2) · (𝐻 / (((2 · 𝑁)↑-𝐽) / 2))))
471recnd 10013 . . . . 5 (𝜑𝐻 ∈ ℂ)
4819recnd 10013 . . . . 5 (𝜑 → (((2 · 𝑁)↑-𝐽) / 2) ∈ ℂ)
4947, 48, 24divcan2d 10748 . . . 4 (𝜑 → ((((2 · 𝑁)↑-𝐽) / 2) · (𝐻 / (((2 · 𝑁)↑-𝐽) / 2))) = 𝐻)
5046, 49breqtrd 4644 . . 3 (𝜑 → ((((2 · 𝑁)↑-𝐽) / 2) · (⌊‘(𝐻 / (((2 · 𝑁)↑-𝐽) / 2)))) ≤ 𝐻)
5149eqcomd 2632 . . . 4 (𝜑𝐻 = ((((2 · 𝑁)↑-𝐽) / 2) · (𝐻 / (((2 · 𝑁)↑-𝐽) / 2))))
52 peano2re 10154 . . . . . 6 ((⌊‘(𝐻 / (((2 · 𝑁)↑-𝐽) / 2))) ∈ ℝ → ((⌊‘(𝐻 / (((2 · 𝑁)↑-𝐽) / 2))) + 1) ∈ ℝ)
5341, 52syl 17 . . . . 5 (𝜑 → ((⌊‘(𝐻 / (((2 · 𝑁)↑-𝐽) / 2))) + 1) ∈ ℝ)
54 fllep1 12539 . . . . . 6 ((𝐻 / (((2 · 𝑁)↑-𝐽) / 2)) ∈ ℝ → (𝐻 / (((2 · 𝑁)↑-𝐽) / 2)) ≤ ((⌊‘(𝐻 / (((2 · 𝑁)↑-𝐽) / 2))) + 1))
5525, 54syl 17 . . . . 5 (𝜑 → (𝐻 / (((2 · 𝑁)↑-𝐽) / 2)) ≤ ((⌊‘(𝐻 / (((2 · 𝑁)↑-𝐽) / 2))) + 1))
5625, 53, 19, 43, 55lemul2ad 10909 . . . 4 (𝜑 → ((((2 · 𝑁)↑-𝐽) / 2) · (𝐻 / (((2 · 𝑁)↑-𝐽) / 2))) ≤ ((((2 · 𝑁)↑-𝐽) / 2) · ((⌊‘(𝐻 / (((2 · 𝑁)↑-𝐽) / 2))) + 1)))
5751, 56eqbrtrd 4640 . . 3 (𝜑𝐻 ≤ ((((2 · 𝑁)↑-𝐽) / 2) · ((⌊‘(𝐻 / (((2 · 𝑁)↑-𝐽) / 2))) + 1)))
5850, 57jca 554 . 2 (𝜑 → (((((2 · 𝑁)↑-𝐽) / 2) · (⌊‘(𝐻 / (((2 · 𝑁)↑-𝐽) / 2)))) ≤ 𝐻𝐻 ≤ ((((2 · 𝑁)↑-𝐽) / 2) · ((⌊‘(𝐻 / (((2 · 𝑁)↑-𝐽) / 2))) + 1))))
5926, 40, 58rspcedvd 3307 1 (𝜑 → ∃𝑚 ∈ ℤ (𝐴𝐻𝐻𝐵))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 196  wa 384  w3a 1036   = wceq 1480  wcel 1992  wrex 2913   class class class wbr 4618  cfv 5850  (class class class)co 6605  cr 9880  0cc0 9881  1c1 9882   + caddc 9884   · cmul 9886   < clt 10019  cle 10020  -cneg 10212   / cdiv 10629  cn 10965  2c2 11015  0cn0 11237  cz 11322  cfl 12528  cexp 12797
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1719  ax-4 1734  ax-5 1841  ax-6 1890  ax-7 1937  ax-8 1994  ax-9 2001  ax-10 2021  ax-11 2036  ax-12 2049  ax-13 2250  ax-ext 2606  ax-sep 4746  ax-nul 4754  ax-pow 4808  ax-pr 4872  ax-un 6903  ax-cnex 9937  ax-resscn 9938  ax-1cn 9939  ax-icn 9940  ax-addcl 9941  ax-addrcl 9942  ax-mulcl 9943  ax-mulrcl 9944  ax-mulcom 9945  ax-addass 9946  ax-mulass 9947  ax-distr 9948  ax-i2m1 9949  ax-1ne0 9950  ax-1rid 9951  ax-rnegex 9952  ax-rrecex 9953  ax-cnre 9954  ax-pre-lttri 9955  ax-pre-lttrn 9956  ax-pre-ltadd 9957  ax-pre-mulgt0 9958  ax-pre-sup 9959
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1037  df-3an 1038  df-tru 1483  df-ex 1702  df-nf 1707  df-sb 1883  df-eu 2478  df-mo 2479  df-clab 2613  df-cleq 2619  df-clel 2622  df-nfc 2756  df-ne 2797  df-nel 2900  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rmo 2920  df-rab 2921  df-v 3193  df-sbc 3423  df-csb 3520  df-dif 3563  df-un 3565  df-in 3567  df-ss 3574  df-pss 3576  df-nul 3897  df-if 4064  df-pw 4137  df-sn 4154  df-pr 4156  df-tp 4158  df-op 4160  df-uni 4408  df-iun 4492  df-br 4619  df-opab 4679  df-mpt 4680  df-tr 4718  df-eprel 4990  df-id 4994  df-po 5000  df-so 5001  df-fr 5038  df-we 5040  df-xp 5085  df-rel 5086  df-cnv 5087  df-co 5088  df-dm 5089  df-rn 5090  df-res 5091  df-ima 5092  df-pred 5642  df-ord 5688  df-on 5689  df-lim 5690  df-suc 5691  df-iota 5813  df-fun 5852  df-fn 5853  df-f 5854  df-f1 5855  df-fo 5856  df-f1o 5857  df-fv 5858  df-riota 6566  df-ov 6608  df-oprab 6609  df-mpt2 6610  df-om 7014  df-2nd 7117  df-wrecs 7353  df-recs 7414  df-rdg 7452  df-er 7688  df-en 7901  df-dom 7902  df-sdom 7903  df-sup 8293  df-inf 8294  df-pnf 10021  df-mnf 10022  df-xr 10023  df-ltxr 10024  df-le 10025  df-sub 10213  df-neg 10214  df-div 10630  df-nn 10966  df-2 11024  df-n0 11238  df-z 11323  df-uz 11632  df-rp 11777  df-fl 12530  df-seq 12739  df-exp 12798
This theorem is referenced by:  knoppndvlem21  32157
  Copyright terms: Public domain W3C validator