Users' Mathboxes Mathbox for Asger C. Ipsen < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  knoppndvlem2 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem knoppndvlem2 32832
Description: Lemma for knoppndv 32853. (Contributed by Asger C. Ipsen, 15-Jun-2021.) (Revised by Asger C. Ipsen, 5-Jul-2021.)
Hypotheses
Ref Expression
knoppndvlem2.n (𝜑𝑁 ∈ ℕ)
knoppndvlem2.i (𝜑𝐼 ∈ ℤ)
knoppndvlem2.j (𝜑𝐽 ∈ ℤ)
knoppndvlem2.m (𝜑𝑀 ∈ ℤ)
knoppndvlem2.1 (𝜑𝐽 < 𝐼)
Assertion
Ref Expression
knoppndvlem2 (𝜑 → (((2 · 𝑁)↑𝐼) · ((((2 · 𝑁)↑-𝐽) / 2) · 𝑀)) ∈ ℤ)

Proof of Theorem knoppndvlem2
StepHypRef Expression
1 2cnd 11306 . . . . . . 7 (𝜑 → 2 ∈ ℂ)
2 knoppndvlem2.n . . . . . . . . 9 (𝜑𝑁 ∈ ℕ)
3 nnz 11612 . . . . . . . . 9 (𝑁 ∈ ℕ → 𝑁 ∈ ℤ)
42, 3syl 17 . . . . . . . 8 (𝜑𝑁 ∈ ℤ)
54zcnd 11696 . . . . . . 7 (𝜑𝑁 ∈ ℂ)
61, 5mulcld 10273 . . . . . 6 (𝜑 → (2 · 𝑁) ∈ ℂ)
7 2ne0 11326 . . . . . . . 8 2 ≠ 0
87a1i 11 . . . . . . 7 (𝜑 → 2 ≠ 0)
9 0red 10254 . . . . . . . . 9 (𝜑 → 0 ∈ ℝ)
10 1red 10268 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → 1 ∈ ℝ)
114zred 11695 . . . . . . . . . 10 (𝜑𝑁 ∈ ℝ)
12 0lt1 10763 . . . . . . . . . . 11 0 < 1
1312a1i 11 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → 0 < 1)
14 nnge1 11259 . . . . . . . . . . 11 (𝑁 ∈ ℕ → 1 ≤ 𝑁)
152, 14syl 17 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → 1 ≤ 𝑁)
169, 10, 11, 13, 15ltletrd 10410 . . . . . . . . 9 (𝜑 → 0 < 𝑁)
179, 16ltned 10386 . . . . . . . 8 (𝜑 → 0 ≠ 𝑁)
1817necomd 2988 . . . . . . 7 (𝜑𝑁 ≠ 0)
191, 5, 8, 18mulne0d 10892 . . . . . 6 (𝜑 → (2 · 𝑁) ≠ 0)
20 knoppndvlem2.i . . . . . 6 (𝜑𝐼 ∈ ℤ)
216, 19, 20expclzd 13228 . . . . 5 (𝜑 → ((2 · 𝑁)↑𝐼) ∈ ℂ)
22 knoppndvlem2.j . . . . . . . 8 (𝜑𝐽 ∈ ℤ)
2322znegcld 11697 . . . . . . 7 (𝜑 → -𝐽 ∈ ℤ)
246, 19, 23expclzd 13228 . . . . . 6 (𝜑 → ((2 · 𝑁)↑-𝐽) ∈ ℂ)
2524, 1, 8divcld 11014 . . . . 5 (𝜑 → (((2 · 𝑁)↑-𝐽) / 2) ∈ ℂ)
26 knoppndvlem2.m . . . . . 6 (𝜑𝑀 ∈ ℤ)
2726zcnd 11696 . . . . 5 (𝜑𝑀 ∈ ℂ)
2821, 25, 27mulassd 10276 . . . 4 (𝜑 → ((((2 · 𝑁)↑𝐼) · (((2 · 𝑁)↑-𝐽) / 2)) · 𝑀) = (((2 · 𝑁)↑𝐼) · ((((2 · 𝑁)↑-𝐽) / 2) · 𝑀)))
2928eqcomd 2767 . . 3 (𝜑 → (((2 · 𝑁)↑𝐼) · ((((2 · 𝑁)↑-𝐽) / 2) · 𝑀)) = ((((2 · 𝑁)↑𝐼) · (((2 · 𝑁)↑-𝐽) / 2)) · 𝑀))
3021, 24, 1, 8divassd 11049 . . . . . 6 (𝜑 → ((((2 · 𝑁)↑𝐼) · ((2 · 𝑁)↑-𝐽)) / 2) = (((2 · 𝑁)↑𝐼) · (((2 · 𝑁)↑-𝐽) / 2)))
3130eqcomd 2767 . . . . 5 (𝜑 → (((2 · 𝑁)↑𝐼) · (((2 · 𝑁)↑-𝐽) / 2)) = ((((2 · 𝑁)↑𝐼) · ((2 · 𝑁)↑-𝐽)) / 2))
326, 19jca 555 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → ((2 · 𝑁) ∈ ℂ ∧ (2 · 𝑁) ≠ 0))
3320, 23jca 555 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (𝐼 ∈ ℤ ∧ -𝐽 ∈ ℤ))
3432, 33jca 555 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (((2 · 𝑁) ∈ ℂ ∧ (2 · 𝑁) ≠ 0) ∧ (𝐼 ∈ ℤ ∧ -𝐽 ∈ ℤ)))
35 expaddz 13119 . . . . . . . . 9 ((((2 · 𝑁) ∈ ℂ ∧ (2 · 𝑁) ≠ 0) ∧ (𝐼 ∈ ℤ ∧ -𝐽 ∈ ℤ)) → ((2 · 𝑁)↑(𝐼 + -𝐽)) = (((2 · 𝑁)↑𝐼) · ((2 · 𝑁)↑-𝐽)))
3634, 35syl 17 . . . . . . . 8 (𝜑 → ((2 · 𝑁)↑(𝐼 + -𝐽)) = (((2 · 𝑁)↑𝐼) · ((2 · 𝑁)↑-𝐽)))
3736eqcomd 2767 . . . . . . 7 (𝜑 → (((2 · 𝑁)↑𝐼) · ((2 · 𝑁)↑-𝐽)) = ((2 · 𝑁)↑(𝐼 + -𝐽)))
3820zcnd 11696 . . . . . . . . 9 (𝜑𝐼 ∈ ℂ)
3922zcnd 11696 . . . . . . . . 9 (𝜑𝐽 ∈ ℂ)
4038, 39negsubd 10611 . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝐼 + -𝐽) = (𝐼𝐽))
4140oveq2d 6831 . . . . . . 7 (𝜑 → ((2 · 𝑁)↑(𝐼 + -𝐽)) = ((2 · 𝑁)↑(𝐼𝐽)))
42 knoppndvlem2.1 . . . . . . . . . 10 (𝜑𝐽 < 𝐼)
4322, 20jca 555 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (𝐽 ∈ ℤ ∧ 𝐼 ∈ ℤ))
44 znnsub 11636 . . . . . . . . . . 11 ((𝐽 ∈ ℤ ∧ 𝐼 ∈ ℤ) → (𝐽 < 𝐼 ↔ (𝐼𝐽) ∈ ℕ))
4543, 44syl 17 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (𝐽 < 𝐼 ↔ (𝐼𝐽) ∈ ℕ))
4642, 45mpbid 222 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (𝐼𝐽) ∈ ℕ)
476, 46jca 555 . . . . . . . 8 (𝜑 → ((2 · 𝑁) ∈ ℂ ∧ (𝐼𝐽) ∈ ℕ))
48 expm1t 13103 . . . . . . . 8 (((2 · 𝑁) ∈ ℂ ∧ (𝐼𝐽) ∈ ℕ) → ((2 · 𝑁)↑(𝐼𝐽)) = (((2 · 𝑁)↑((𝐼𝐽) − 1)) · (2 · 𝑁)))
4947, 48syl 17 . . . . . . 7 (𝜑 → ((2 · 𝑁)↑(𝐼𝐽)) = (((2 · 𝑁)↑((𝐼𝐽) − 1)) · (2 · 𝑁)))
5037, 41, 493eqtrd 2799 . . . . . 6 (𝜑 → (((2 · 𝑁)↑𝐼) · ((2 · 𝑁)↑-𝐽)) = (((2 · 𝑁)↑((𝐼𝐽) − 1)) · (2 · 𝑁)))
5150oveq1d 6830 . . . . 5 (𝜑 → ((((2 · 𝑁)↑𝐼) · ((2 · 𝑁)↑-𝐽)) / 2) = ((((2 · 𝑁)↑((𝐼𝐽) − 1)) · (2 · 𝑁)) / 2))
5220, 22jca 555 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → (𝐼 ∈ ℤ ∧ 𝐽 ∈ ℤ))
53 zsubcl 11632 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐼 ∈ ℤ ∧ 𝐽 ∈ ℤ) → (𝐼𝐽) ∈ ℤ)
5452, 53syl 17 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (𝐼𝐽) ∈ ℤ)
55 peano2zm 11633 . . . . . . . . . . 11 ((𝐼𝐽) ∈ ℤ → ((𝐼𝐽) − 1) ∈ ℤ)
5654, 55syl 17 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → ((𝐼𝐽) − 1) ∈ ℤ)
5722zred 11695 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑𝐽 ∈ ℝ)
5820zred 11695 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑𝐼 ∈ ℝ)
5957, 58posdifd 10827 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → (𝐽 < 𝐼 ↔ 0 < (𝐼𝐽)))
6042, 59mpbid 222 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → 0 < (𝐼𝐽))
61 0zd 11602 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → 0 ∈ ℤ)
6261, 54jca 555 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → (0 ∈ ℤ ∧ (𝐼𝐽) ∈ ℤ))
63 zltlem1 11643 . . . . . . . . . . . 12 ((0 ∈ ℤ ∧ (𝐼𝐽) ∈ ℤ) → (0 < (𝐼𝐽) ↔ 0 ≤ ((𝐼𝐽) − 1)))
6462, 63syl 17 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (0 < (𝐼𝐽) ↔ 0 ≤ ((𝐼𝐽) − 1)))
6560, 64mpbid 222 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → 0 ≤ ((𝐼𝐽) − 1))
6656, 65jca 555 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (((𝐼𝐽) − 1) ∈ ℤ ∧ 0 ≤ ((𝐼𝐽) − 1)))
67 elnn0z 11603 . . . . . . . . 9 (((𝐼𝐽) − 1) ∈ ℕ0 ↔ (((𝐼𝐽) − 1) ∈ ℤ ∧ 0 ≤ ((𝐼𝐽) − 1)))
6866, 67sylibr 224 . . . . . . . 8 (𝜑 → ((𝐼𝐽) − 1) ∈ ℕ0)
696, 68expcld 13223 . . . . . . 7 (𝜑 → ((2 · 𝑁)↑((𝐼𝐽) − 1)) ∈ ℂ)
7069, 6, 1, 8divassd 11049 . . . . . 6 (𝜑 → ((((2 · 𝑁)↑((𝐼𝐽) − 1)) · (2 · 𝑁)) / 2) = (((2 · 𝑁)↑((𝐼𝐽) − 1)) · ((2 · 𝑁) / 2)))
715, 1, 8divcan3d 11019 . . . . . . 7 (𝜑 → ((2 · 𝑁) / 2) = 𝑁)
7271oveq2d 6831 . . . . . 6 (𝜑 → (((2 · 𝑁)↑((𝐼𝐽) − 1)) · ((2 · 𝑁) / 2)) = (((2 · 𝑁)↑((𝐼𝐽) − 1)) · 𝑁))
7370, 72eqtrd 2795 . . . . 5 (𝜑 → ((((2 · 𝑁)↑((𝐼𝐽) − 1)) · (2 · 𝑁)) / 2) = (((2 · 𝑁)↑((𝐼𝐽) − 1)) · 𝑁))
7431, 51, 733eqtrd 2799 . . . 4 (𝜑 → (((2 · 𝑁)↑𝐼) · (((2 · 𝑁)↑-𝐽) / 2)) = (((2 · 𝑁)↑((𝐼𝐽) − 1)) · 𝑁))
7574oveq1d 6830 . . 3 (𝜑 → ((((2 · 𝑁)↑𝐼) · (((2 · 𝑁)↑-𝐽) / 2)) · 𝑀) = ((((2 · 𝑁)↑((𝐼𝐽) − 1)) · 𝑁) · 𝑀))
7629, 75eqtrd 2795 . 2 (𝜑 → (((2 · 𝑁)↑𝐼) · ((((2 · 𝑁)↑-𝐽) / 2) · 𝑀)) = ((((2 · 𝑁)↑((𝐼𝐽) − 1)) · 𝑁) · 𝑀))
77 2z 11622 . . . . . . . . 9 2 ∈ ℤ
7877a1i 11 . . . . . . . 8 (𝜑 → 2 ∈ ℤ)
7978, 4jca 555 . . . . . . 7 (𝜑 → (2 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ))
80 zmulcl 11639 . . . . . . 7 ((2 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (2 · 𝑁) ∈ ℤ)
8179, 80syl 17 . . . . . 6 (𝜑 → (2 · 𝑁) ∈ ℤ)
8281, 68jca 555 . . . . 5 (𝜑 → ((2 · 𝑁) ∈ ℤ ∧ ((𝐼𝐽) − 1) ∈ ℕ0))
83 zexpcl 13090 . . . . 5 (((2 · 𝑁) ∈ ℤ ∧ ((𝐼𝐽) − 1) ∈ ℕ0) → ((2 · 𝑁)↑((𝐼𝐽) − 1)) ∈ ℤ)
8482, 83syl 17 . . . 4 (𝜑 → ((2 · 𝑁)↑((𝐼𝐽) − 1)) ∈ ℤ)
8584, 4zmulcld 11701 . . 3 (𝜑 → (((2 · 𝑁)↑((𝐼𝐽) − 1)) · 𝑁) ∈ ℤ)
8685, 26zmulcld 11701 . 2 (𝜑 → ((((2 · 𝑁)↑((𝐼𝐽) − 1)) · 𝑁) · 𝑀) ∈ ℤ)
8776, 86eqeltrd 2840 1 (𝜑 → (((2 · 𝑁)↑𝐼) · ((((2 · 𝑁)↑-𝐽) / 2) · 𝑀)) ∈ ℤ)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 196  wa 383   = wceq 1632  wcel 2140  wne 2933   class class class wbr 4805  (class class class)co 6815  cc 10147  0cc0 10149  1c1 10150   + caddc 10152   · cmul 10154   < clt 10287  cle 10288  cmin 10479  -cneg 10480   / cdiv 10897  cn 11233  2c2 11283  0cn0 11505  cz 11590  cexp 13075
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1871  ax-4 1886  ax-5 1989  ax-6 2055  ax-7 2091  ax-8 2142  ax-9 2149  ax-10 2169  ax-11 2184  ax-12 2197  ax-13 2392  ax-ext 2741  ax-sep 4934  ax-nul 4942  ax-pow 4993  ax-pr 5056  ax-un 7116  ax-cnex 10205  ax-resscn 10206  ax-1cn 10207  ax-icn 10208  ax-addcl 10209  ax-addrcl 10210  ax-mulcl 10211  ax-mulrcl 10212  ax-mulcom 10213  ax-addass 10214  ax-mulass 10215  ax-distr 10216  ax-i2m1 10217  ax-1ne0 10218  ax-1rid 10219  ax-rnegex 10220  ax-rrecex 10221  ax-cnre 10222  ax-pre-lttri 10223  ax-pre-lttrn 10224  ax-pre-ltadd 10225  ax-pre-mulgt0 10226
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3or 1073  df-3an 1074  df-tru 1635  df-ex 1854  df-nf 1859  df-sb 2048  df-eu 2612  df-mo 2613  df-clab 2748  df-cleq 2754  df-clel 2757  df-nfc 2892  df-ne 2934  df-nel 3037  df-ral 3056  df-rex 3057  df-reu 3058  df-rmo 3059  df-rab 3060  df-v 3343  df-sbc 3578  df-csb 3676  df-dif 3719  df-un 3721  df-in 3723  df-ss 3730  df-pss 3732  df-nul 4060  df-if 4232  df-pw 4305  df-sn 4323  df-pr 4325  df-tp 4327  df-op 4329  df-uni 4590  df-iun 4675  df-br 4806  df-opab 4866  df-mpt 4883  df-tr 4906  df-id 5175  df-eprel 5180  df-po 5188  df-so 5189  df-fr 5226  df-we 5228  df-xp 5273  df-rel 5274  df-cnv 5275  df-co 5276  df-dm 5277  df-rn 5278  df-res 5279  df-ima 5280  df-pred 5842  df-ord 5888  df-on 5889  df-lim 5890  df-suc 5891  df-iota 6013  df-fun 6052  df-fn 6053  df-f 6054  df-f1 6055  df-fo 6056  df-f1o 6057  df-fv 6058  df-riota 6776  df-ov 6818  df-oprab 6819  df-mpt2 6820  df-om 7233  df-2nd 7336  df-wrecs 7578  df-recs 7639  df-rdg 7677  df-er 7914  df-en 8125  df-dom 8126  df-sdom 8127  df-pnf 10289  df-mnf 10290  df-xr 10291  df-ltxr 10292  df-le 10293  df-sub 10481  df-neg 10482  df-div 10898  df-nn 11234  df-2 11292  df-n0 11506  df-z 11591  df-uz 11901  df-seq 13017  df-exp 13076
This theorem is referenced by:  knoppndvlem6  32836
  Copyright terms: Public domain W3C validator