Users' Mathboxes Mathbox for Asger C. Ipsen < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  knoppndvlem20 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem knoppndvlem20 32217
Description: Lemma for knoppndv 32220. (Contributed by Asger C. Ipsen, 18-Aug-2021.)
Hypotheses
Ref Expression
knoppndvlem20.c (𝜑𝐶 ∈ (-1(,)1))
knoppndvlem20.n (𝜑𝑁 ∈ ℕ)
knoppndvlem20.1 (𝜑 → 1 < (𝑁 · (abs‘𝐶)))
Assertion
Ref Expression
knoppndvlem20 (𝜑 → (1 − (1 / (((2 · 𝑁) · (abs‘𝐶)) − 1))) ∈ ℝ+)

Proof of Theorem knoppndvlem20
StepHypRef Expression
1 knoppndvlem20.c . . . . 5 (𝜑𝐶 ∈ (-1(,)1))
2 knoppndvlem20.n . . . . 5 (𝜑𝑁 ∈ ℕ)
3 knoppndvlem20.1 . . . . 5 (𝜑 → 1 < (𝑁 · (abs‘𝐶)))
41, 2, 3knoppndvlem12 32209 . . . 4 (𝜑 → (((2 · 𝑁) · (abs‘𝐶)) ≠ 1 ∧ 1 < (((2 · 𝑁) · (abs‘𝐶)) − 1)))
54simprd 479 . . 3 (𝜑 → 1 < (((2 · 𝑁) · (abs‘𝐶)) − 1))
6 2re 11050 . . . . . . . . 9 2 ∈ ℝ
76a1i 11 . . . . . . . 8 (𝜑 → 2 ∈ ℝ)
82nnred 10995 . . . . . . . 8 (𝜑𝑁 ∈ ℝ)
97, 8remulcld 10030 . . . . . . 7 (𝜑 → (2 · 𝑁) ∈ ℝ)
101knoppndvlem3 32200 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (𝐶 ∈ ℝ ∧ (abs‘𝐶) < 1))
1110simpld 475 . . . . . . . . 9 (𝜑𝐶 ∈ ℝ)
1211recnd 10028 . . . . . . . 8 (𝜑𝐶 ∈ ℂ)
1312abscld 14125 . . . . . . 7 (𝜑 → (abs‘𝐶) ∈ ℝ)
149, 13remulcld 10030 . . . . . 6 (𝜑 → ((2 · 𝑁) · (abs‘𝐶)) ∈ ℝ)
15 1red 10015 . . . . . 6 (𝜑 → 1 ∈ ℝ)
1614, 15resubcld 10418 . . . . 5 (𝜑 → (((2 · 𝑁) · (abs‘𝐶)) − 1) ∈ ℝ)
17 0red 10001 . . . . . 6 (𝜑 → 0 ∈ ℝ)
18 0lt1 10510 . . . . . . 7 0 < 1
1918a1i 11 . . . . . 6 (𝜑 → 0 < 1)
2017, 15, 16, 19, 5lttrd 10158 . . . . 5 (𝜑 → 0 < (((2 · 𝑁) · (abs‘𝐶)) − 1))
2116, 20elrpd 11829 . . . 4 (𝜑 → (((2 · 𝑁) · (abs‘𝐶)) − 1) ∈ ℝ+)
2221recgt1d 11846 . . 3 (𝜑 → (1 < (((2 · 𝑁) · (abs‘𝐶)) − 1) ↔ (1 / (((2 · 𝑁) · (abs‘𝐶)) − 1)) < 1))
235, 22mpbid 222 . 2 (𝜑 → (1 / (((2 · 𝑁) · (abs‘𝐶)) − 1)) < 1)
2421rprecred 11843 . . . 4 (𝜑 → (1 / (((2 · 𝑁) · (abs‘𝐶)) − 1)) ∈ ℝ)
2524, 15jca 554 . . 3 (𝜑 → ((1 / (((2 · 𝑁) · (abs‘𝐶)) − 1)) ∈ ℝ ∧ 1 ∈ ℝ))
26 difrp 11828 . . 3 (((1 / (((2 · 𝑁) · (abs‘𝐶)) − 1)) ∈ ℝ ∧ 1 ∈ ℝ) → ((1 / (((2 · 𝑁) · (abs‘𝐶)) − 1)) < 1 ↔ (1 − (1 / (((2 · 𝑁) · (abs‘𝐶)) − 1))) ∈ ℝ+))
2725, 26syl 17 . 2 (𝜑 → ((1 / (((2 · 𝑁) · (abs‘𝐶)) − 1)) < 1 ↔ (1 − (1 / (((2 · 𝑁) · (abs‘𝐶)) − 1))) ∈ ℝ+))
2823, 27mpbid 222 1 (𝜑 → (1 − (1 / (((2 · 𝑁) · (abs‘𝐶)) − 1))) ∈ ℝ+)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 196  wa 384  wcel 1987  wne 2790   class class class wbr 4623  cfv 5857  (class class class)co 6615  cr 9895  0cc0 9896  1c1 9897   · cmul 9901   < clt 10034  cmin 10226  -cneg 10227   / cdiv 10644  cn 10980  2c2 11030  +crp 11792  (,)cioo 12133  abscabs 13924
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1719  ax-4 1734  ax-5 1836  ax-6 1885  ax-7 1932  ax-8 1989  ax-9 1996  ax-10 2016  ax-11 2031  ax-12 2044  ax-13 2245  ax-ext 2601  ax-sep 4751  ax-nul 4759  ax-pow 4813  ax-pr 4877  ax-un 6914  ax-cnex 9952  ax-resscn 9953  ax-1cn 9954  ax-icn 9955  ax-addcl 9956  ax-addrcl 9957  ax-mulcl 9958  ax-mulrcl 9959  ax-mulcom 9960  ax-addass 9961  ax-mulass 9962  ax-distr 9963  ax-i2m1 9964  ax-1ne0 9965  ax-1rid 9966  ax-rnegex 9967  ax-rrecex 9968  ax-cnre 9969  ax-pre-lttri 9970  ax-pre-lttrn 9971  ax-pre-ltadd 9972  ax-pre-mulgt0 9973  ax-pre-sup 9974
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1037  df-3an 1038  df-tru 1483  df-ex 1702  df-nf 1707  df-sb 1878  df-eu 2473  df-mo 2474  df-clab 2608  df-cleq 2614  df-clel 2617  df-nfc 2750  df-ne 2791  df-nel 2894  df-ral 2913  df-rex 2914  df-reu 2915  df-rmo 2916  df-rab 2917  df-v 3192  df-sbc 3423  df-csb 3520  df-dif 3563  df-un 3565  df-in 3567  df-ss 3574  df-pss 3576  df-nul 3898  df-if 4065  df-pw 4138  df-sn 4156  df-pr 4158  df-tp 4160  df-op 4162  df-uni 4410  df-iun 4494  df-br 4624  df-opab 4684  df-mpt 4685  df-tr 4723  df-eprel 4995  df-id 4999  df-po 5005  df-so 5006  df-fr 5043  df-we 5045  df-xp 5090  df-rel 5091  df-cnv 5092  df-co 5093  df-dm 5094  df-rn 5095  df-res 5096  df-ima 5097  df-pred 5649  df-ord 5695  df-on 5696  df-lim 5697  df-suc 5698  df-iota 5820  df-fun 5859  df-fn 5860  df-f 5861  df-f1 5862  df-fo 5863  df-f1o 5864  df-fv 5865  df-riota 6576  df-ov 6618  df-oprab 6619  df-mpt2 6620  df-om 7028  df-1st 7128  df-2nd 7129  df-wrecs 7367  df-recs 7428  df-rdg 7466  df-er 7702  df-en 7916  df-dom 7917  df-sdom 7918  df-sup 8308  df-pnf 10036  df-mnf 10037  df-xr 10038  df-ltxr 10039  df-le 10040  df-sub 10228  df-neg 10229  df-div 10645  df-nn 10981  df-2 11039  df-3 11040  df-n0 11253  df-z 11338  df-uz 11648  df-rp 11793  df-ioo 12137  df-seq 12758  df-exp 12817  df-cj 13789  df-re 13790  df-im 13791  df-sqrt 13925  df-abs 13926
This theorem is referenced by:  knoppndvlem21  32218  knoppndvlem22  32219
  Copyright terms: Public domain W3C validator