Mathbox for Asger C. Ipsen < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  knoppndvlem22 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem knoppndvlem22 32649
 Description: Lemma for knoppndv 32650. (Contributed by Asger C. Ipsen, 19-Aug-2021.)
Hypotheses
Ref Expression
knoppndvlem22.t 𝑇 = (𝑥 ∈ ℝ ↦ (abs‘((⌊‘(𝑥 + (1 / 2))) − 𝑥)))
knoppndvlem22.f 𝐹 = (𝑦 ∈ ℝ ↦ (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((𝐶𝑛) · (𝑇‘(((2 · 𝑁)↑𝑛) · 𝑦)))))
knoppndvlem22.w 𝑊 = (𝑤 ∈ ℝ ↦ Σ𝑖 ∈ ℕ0 ((𝐹𝑤)‘𝑖))
knoppndvlem22.c (𝜑𝐶 ∈ (-1(,)1))
knoppndvlem22.d (𝜑𝐷 ∈ ℝ+)
knoppndvlem22.e (𝜑𝐸 ∈ ℝ+)
knoppndvlem22.h (𝜑𝐻 ∈ ℝ)
knoppndvlem22.n (𝜑𝑁 ∈ ℕ)
knoppndvlem22.1 (𝜑 → 1 < (𝑁 · (abs‘𝐶)))
Assertion
Ref Expression
knoppndvlem22 (𝜑 → ∃𝑎 ∈ ℝ ∃𝑏 ∈ ℝ ((𝑎𝐻𝐻𝑏) ∧ ((𝑏𝑎) < 𝐷𝑎𝑏) ∧ 𝐸 ≤ ((abs‘((𝑊𝑏) − (𝑊𝑎))) / (𝑏𝑎))))
Distinct variable groups:   𝐶,𝑖,𝑛,𝑤,𝑦   𝐷,𝑎,𝑏   𝐷,𝑖,𝑛,𝑤,𝑦   𝐸,𝑎,𝑏   𝑖,𝐸,𝑛,𝑤,𝑦   𝑖,𝐹,𝑤   𝐻,𝑎,𝑏   𝑁,𝑎,𝑏   𝑖,𝑁,𝑛,𝑤,𝑦   𝑥,𝑁,𝑖,𝑤   𝑇,𝑛,𝑦   𝑊,𝑎,𝑏   𝜑,𝑖,𝑛,𝑤,𝑦
Allowed substitution hints:   𝜑(𝑥,𝑎,𝑏)   𝐶(𝑥,𝑎,𝑏)   𝐷(𝑥)   𝑇(𝑥,𝑤,𝑖,𝑎,𝑏)   𝐸(𝑥)   𝐹(𝑥,𝑦,𝑛,𝑎,𝑏)   𝐻(𝑥,𝑦,𝑤,𝑖,𝑛)   𝑊(𝑥,𝑦,𝑤,𝑖,𝑛)

Proof of Theorem knoppndvlem22
Dummy variable 𝑗 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 knoppndvlem22.c . . 3 (𝜑𝐶 ∈ (-1(,)1))
2 knoppndvlem22.n . . 3 (𝜑𝑁 ∈ ℕ)
3 knoppndvlem22.d . . 3 (𝜑𝐷 ∈ ℝ+)
4 knoppndvlem22.e . . 3 (𝜑𝐸 ∈ ℝ+)
5 knoppndvlem22.1 . . . 4 (𝜑 → 1 < (𝑁 · (abs‘𝐶)))
61, 2, 5knoppndvlem20 32647 . . 3 (𝜑 → (1 − (1 / (((2 · 𝑁) · (abs‘𝐶)) − 1))) ∈ ℝ+)
71, 2, 3, 4, 6, 5knoppndvlem18 32645 . 2 (𝜑 → ∃𝑗 ∈ ℕ0 ((((2 · 𝑁)↑-𝑗) / 2) < 𝐷𝐸 ≤ ((((2 · 𝑁) · (abs‘𝐶))↑𝑗) · (1 − (1 / (((2 · 𝑁) · (abs‘𝐶)) − 1))))))
8 knoppndvlem22.t . . 3 𝑇 = (𝑥 ∈ ℝ ↦ (abs‘((⌊‘(𝑥 + (1 / 2))) − 𝑥)))
9 knoppndvlem22.f . . 3 𝐹 = (𝑦 ∈ ℝ ↦ (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((𝐶𝑛) · (𝑇‘(((2 · 𝑁)↑𝑛) · 𝑦)))))
10 knoppndvlem22.w . . 3 𝑊 = (𝑤 ∈ ℝ ↦ Σ𝑖 ∈ ℕ0 ((𝐹𝑤)‘𝑖))
11 eqid 2651 . . 3 (1 − (1 / (((2 · 𝑁) · (abs‘𝐶)) − 1))) = (1 − (1 / (((2 · 𝑁) · (abs‘𝐶)) − 1)))
121adantr 480 . . 3 ((𝜑 ∧ (𝑗 ∈ ℕ0 ∧ ((((2 · 𝑁)↑-𝑗) / 2) < 𝐷𝐸 ≤ ((((2 · 𝑁) · (abs‘𝐶))↑𝑗) · (1 − (1 / (((2 · 𝑁) · (abs‘𝐶)) − 1))))))) → 𝐶 ∈ (-1(,)1))
133adantr 480 . . 3 ((𝜑 ∧ (𝑗 ∈ ℕ0 ∧ ((((2 · 𝑁)↑-𝑗) / 2) < 𝐷𝐸 ≤ ((((2 · 𝑁) · (abs‘𝐶))↑𝑗) · (1 − (1 / (((2 · 𝑁) · (abs‘𝐶)) − 1))))))) → 𝐷 ∈ ℝ+)
144adantr 480 . . 3 ((𝜑 ∧ (𝑗 ∈ ℕ0 ∧ ((((2 · 𝑁)↑-𝑗) / 2) < 𝐷𝐸 ≤ ((((2 · 𝑁) · (abs‘𝐶))↑𝑗) · (1 − (1 / (((2 · 𝑁) · (abs‘𝐶)) − 1))))))) → 𝐸 ∈ ℝ+)
15 knoppndvlem22.h . . . 4 (𝜑𝐻 ∈ ℝ)
1615adantr 480 . . 3 ((𝜑 ∧ (𝑗 ∈ ℕ0 ∧ ((((2 · 𝑁)↑-𝑗) / 2) < 𝐷𝐸 ≤ ((((2 · 𝑁) · (abs‘𝐶))↑𝑗) · (1 − (1 / (((2 · 𝑁) · (abs‘𝐶)) − 1))))))) → 𝐻 ∈ ℝ)
17 simprl 809 . . 3 ((𝜑 ∧ (𝑗 ∈ ℕ0 ∧ ((((2 · 𝑁)↑-𝑗) / 2) < 𝐷𝐸 ≤ ((((2 · 𝑁) · (abs‘𝐶))↑𝑗) · (1 − (1 / (((2 · 𝑁) · (abs‘𝐶)) − 1))))))) → 𝑗 ∈ ℕ0)
182adantr 480 . . 3 ((𝜑 ∧ (𝑗 ∈ ℕ0 ∧ ((((2 · 𝑁)↑-𝑗) / 2) < 𝐷𝐸 ≤ ((((2 · 𝑁) · (abs‘𝐶))↑𝑗) · (1 − (1 / (((2 · 𝑁) · (abs‘𝐶)) − 1))))))) → 𝑁 ∈ ℕ)
195adantr 480 . . 3 ((𝜑 ∧ (𝑗 ∈ ℕ0 ∧ ((((2 · 𝑁)↑-𝑗) / 2) < 𝐷𝐸 ≤ ((((2 · 𝑁) · (abs‘𝐶))↑𝑗) · (1 − (1 / (((2 · 𝑁) · (abs‘𝐶)) − 1))))))) → 1 < (𝑁 · (abs‘𝐶)))
20 simprrl 821 . . 3 ((𝜑 ∧ (𝑗 ∈ ℕ0 ∧ ((((2 · 𝑁)↑-𝑗) / 2) < 𝐷𝐸 ≤ ((((2 · 𝑁) · (abs‘𝐶))↑𝑗) · (1 − (1 / (((2 · 𝑁) · (abs‘𝐶)) − 1))))))) → (((2 · 𝑁)↑-𝑗) / 2) < 𝐷)
21 simprrr 822 . . 3 ((𝜑 ∧ (𝑗 ∈ ℕ0 ∧ ((((2 · 𝑁)↑-𝑗) / 2) < 𝐷𝐸 ≤ ((((2 · 𝑁) · (abs‘𝐶))↑𝑗) · (1 − (1 / (((2 · 𝑁) · (abs‘𝐶)) − 1))))))) → 𝐸 ≤ ((((2 · 𝑁) · (abs‘𝐶))↑𝑗) · (1 − (1 / (((2 · 𝑁) · (abs‘𝐶)) − 1)))))
228, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 16, 17, 18, 19, 20, 21knoppndvlem21 32648 . 2 ((𝜑 ∧ (𝑗 ∈ ℕ0 ∧ ((((2 · 𝑁)↑-𝑗) / 2) < 𝐷𝐸 ≤ ((((2 · 𝑁) · (abs‘𝐶))↑𝑗) · (1 − (1 / (((2 · 𝑁) · (abs‘𝐶)) − 1))))))) → ∃𝑎 ∈ ℝ ∃𝑏 ∈ ℝ ((𝑎𝐻𝐻𝑏) ∧ ((𝑏𝑎) < 𝐷𝑎𝑏) ∧ 𝐸 ≤ ((abs‘((𝑊𝑏) − (𝑊𝑎))) / (𝑏𝑎))))
237, 22rexlimddv 3064 1 (𝜑 → ∃𝑎 ∈ ℝ ∃𝑏 ∈ ℝ ((𝑎𝐻𝐻𝑏) ∧ ((𝑏𝑎) < 𝐷𝑎𝑏) ∧ 𝐸 ≤ ((abs‘((𝑊𝑏) − (𝑊𝑎))) / (𝑏𝑎))))
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 383   ∧ w3a 1054   = wceq 1523   ∈ wcel 2030   ≠ wne 2823  ∃wrex 2942   class class class wbr 4685   ↦ cmpt 4762  ‘cfv 5926  (class class class)co 6690  ℝcr 9973  1c1 9975   + caddc 9977   · cmul 9979   < clt 10112   ≤ cle 10113   − cmin 10304  -cneg 10305   / cdiv 10722  ℕcn 11058  2c2 11108  ℕ0cn0 11330  ℝ+crp 11870  (,)cioo 12213  ⌊cfl 12631  ↑cexp 12900  abscabs 14018  Σcsu 14460 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1762  ax-4 1777  ax-5 1879  ax-6 1945  ax-7 1981  ax-8 2032  ax-9 2039  ax-10 2059  ax-11 2074  ax-12 2087  ax-13 2282  ax-ext 2631  ax-rep 4804  ax-sep 4814  ax-nul 4822  ax-pow 4873  ax-pr 4936  ax-un 6991  ax-inf2 8576  ax-cnex 10030  ax-resscn 10031  ax-1cn 10032  ax-icn 10033  ax-addcl 10034  ax-addrcl 10035  ax-mulcl 10036  ax-mulrcl 10037  ax-mulcom 10038  ax-addass 10039  ax-mulass 10040  ax-distr 10041  ax-i2m1 10042  ax-1ne0 10043  ax-1rid 10044  ax-rnegex 10045  ax-rrecex 10046  ax-cnre 10047  ax-pre-lttri 10048  ax-pre-lttrn 10049  ax-pre-ltadd 10050  ax-pre-mulgt0 10051  ax-pre-sup 10052  ax-addf 10053  ax-mulf 10054 This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3or 1055  df-3an 1056  df-tru 1526  df-fal 1529  df-ex 1745  df-nf 1750  df-sb 1938  df-eu 2502  df-mo 2503  df-clab 2638  df-cleq 2644  df-clel 2647  df-nfc 2782  df-ne 2824  df-nel 2927  df-ral 2946  df-rex 2947  df-reu 2948  df-rmo 2949  df-rab 2950  df-v 3233  df-sbc 3469  df-csb 3567  df-dif 3610  df-un 3612  df-in 3614  df-ss 3621  df-pss 3623  df-nul 3949  df-if 4120  df-pw 4193  df-sn 4211  df-pr 4213  df-tp 4215  df-op 4217  df-uni 4469  df-int 4508  df-iun 4554  df-iin 4555  df-br 4686  df-opab 4746  df-mpt 4763  df-tr 4786  df-id 5053  df-eprel 5058  df-po 5064  df-so 5065  df-fr 5102  df-se 5103  df-we 5104  df-xp 5149  df-rel 5150  df-cnv 5151  df-co 5152  df-dm 5153  df-rn 5154  df-res 5155  df-ima 5156  df-pred 5718  df-ord 5764  df-on 5765  df-lim 5766  df-suc 5767  df-iota 5889  df-fun 5928  df-fn 5929  df-f 5930  df-f1 5931  df-fo 5932  df-f1o 5933  df-fv 5934  df-isom 5935  df-riota 6651  df-ov 6693  df-oprab 6694  df-mpt2 6695  df-of 6939  df-om 7108  df-1st 7210  df-2nd 7211  df-supp 7341  df-wrecs 7452  df-recs 7513  df-rdg 7551  df-1o 7605  df-2o 7606  df-oadd 7609  df-er 7787  df-map 7901  df-pm 7902  df-ixp 7951  df-en 7998  df-dom 7999  df-sdom 8000  df-fin 8001  df-fsupp 8317  df-fi 8358  df-sup 8389  df-inf 8390  df-oi 8456  df-card 8803  df-cda 9028  df-pnf 10114  df-mnf 10115  df-xr 10116  df-ltxr 10117  df-le 10118  df-sub 10306  df-neg 10307  df-div 10723  df-nn 11059  df-2 11117  df-3 11118  df-4 11119  df-5 11120  df-6 11121  df-7 11122  df-8 11123  df-9 11124  df-n0 11331  df-z 11416  df-dec 11532  df-uz 11726  df-q 11827  df-rp 11871  df-xneg 11984  df-xadd 11985  df-xmul 11986  df-ioo 12217  df-ico 12219  df-icc 12220  df-fz 12365  df-fzo 12505  df-fl 12633  df-seq 12842  df-exp 12901  df-hash 13158  df-cj 13883  df-re 13884  df-im 13885  df-sqrt 14019  df-abs 14020  df-limsup 14246  df-clim 14263  df-rlim 14264  df-sum 14461  df-dvds 15028  df-struct 15906  df-ndx 15907  df-slot 15908  df-base 15910  df-sets 15911  df-ress 15912  df-plusg 16001  df-mulr 16002  df-starv 16003  df-sca 16004  df-vsca 16005  df-ip 16006  df-tset 16007  df-ple 16008  df-ds 16011  df-unif 16012  df-hom 16013  df-cco 16014  df-rest 16130  df-topn 16131  df-0g 16149  df-gsum 16150  df-topgen 16151  df-pt 16152  df-prds 16155  df-xrs 16209  df-qtop 16214  df-imas 16215  df-xps 16217  df-mre 16293  df-mrc 16294  df-acs 16296  df-mgm 17289  df-sgrp 17331  df-mnd 17342  df-submnd 17383  df-mulg 17588  df-cntz 17796  df-cmn 18241  df-psmet 19786  df-xmet 19787  df-met 19788  df-bl 19789  df-mopn 19790  df-cnfld 19795  df-top 20747  df-topon 20764  df-topsp 20785  df-bases 20798  df-cn 21079  df-cnp 21080  df-tx 21413  df-hmeo 21606  df-xms 22172  df-ms 22173  df-tms 22174  df-cncf 22728  df-ulm 24176 This theorem is referenced by:  knoppndv  32650
 Copyright terms: Public domain W3C validator