Users' Mathboxes Mathbox for Asger C. Ipsen < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  knoppndvlem6 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem knoppndvlem6 33858
Description: Lemma for knoppndv 33875. (Contributed by Asger C. Ipsen, 15-Jun-2021.) (Revised by Asger C. Ipsen, 5-Jul-2021.)
Hypotheses
Ref Expression
knoppndvlem6.t 𝑇 = (𝑥 ∈ ℝ ↦ (abs‘((⌊‘(𝑥 + (1 / 2))) − 𝑥)))
knoppndvlem6.f 𝐹 = (𝑦 ∈ ℝ ↦ (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((𝐶𝑛) · (𝑇‘(((2 · 𝑁)↑𝑛) · 𝑦)))))
knoppndvlem6.w 𝑊 = (𝑤 ∈ ℝ ↦ Σ𝑖 ∈ ℕ0 ((𝐹𝑤)‘𝑖))
knoppndvlem6.a 𝐴 = ((((2 · 𝑁)↑-𝐽) / 2) · 𝑀)
knoppndvlem6.c (𝜑𝐶 ∈ (-1(,)1))
knoppndvlem6.j (𝜑𝐽 ∈ ℕ0)
knoppndvlem6.m (𝜑𝑀 ∈ ℤ)
knoppndvlem6.n (𝜑𝑁 ∈ ℕ)
Assertion
Ref Expression
knoppndvlem6 (𝜑 → (𝑊𝐴) = Σ𝑖 ∈ (0...𝐽)((𝐹𝐴)‘𝑖))
Distinct variable groups:   𝐴,𝑖,𝑛,𝑤,𝑦   𝑥,𝐴,𝑖,𝑤   𝐶,𝑛,𝑦   𝑖,𝐹,𝑤   𝑖,𝐽,𝑛,𝑦   𝑛,𝑁,𝑦   𝑥,𝑁   𝑇,𝑛,𝑦   𝜑,𝑖,𝑛,𝑤,𝑦
Allowed substitution hints:   𝜑(𝑥)   𝐶(𝑥,𝑤,𝑖)   𝑇(𝑥,𝑤,𝑖)   𝐹(𝑥,𝑦,𝑛)   𝐽(𝑥,𝑤)   𝑀(𝑥,𝑦,𝑤,𝑖,𝑛)   𝑁(𝑤,𝑖)   𝑊(𝑥,𝑦,𝑤,𝑖,𝑛)

Proof of Theorem knoppndvlem6
StepHypRef Expression
1 knoppndvlem6.w . . . 4 𝑊 = (𝑤 ∈ ℝ ↦ Σ𝑖 ∈ ℕ0 ((𝐹𝑤)‘𝑖))
2 fveq2 6672 . . . . . 6 (𝑤 = 𝐴 → (𝐹𝑤) = (𝐹𝐴))
32fveq1d 6674 . . . . 5 (𝑤 = 𝐴 → ((𝐹𝑤)‘𝑖) = ((𝐹𝐴)‘𝑖))
43sumeq2sdv 15063 . . . 4 (𝑤 = 𝐴 → Σ𝑖 ∈ ℕ0 ((𝐹𝑤)‘𝑖) = Σ𝑖 ∈ ℕ0 ((𝐹𝐴)‘𝑖))
5 knoppndvlem6.a . . . . . 6 𝐴 = ((((2 · 𝑁)↑-𝐽) / 2) · 𝑀)
65a1i 11 . . . . 5 (𝜑𝐴 = ((((2 · 𝑁)↑-𝐽) / 2) · 𝑀))
7 knoppndvlem6.n . . . . . 6 (𝜑𝑁 ∈ ℕ)
8 knoppndvlem6.j . . . . . . 7 (𝜑𝐽 ∈ ℕ0)
98nn0zd 12088 . . . . . 6 (𝜑𝐽 ∈ ℤ)
10 knoppndvlem6.m . . . . . 6 (𝜑𝑀 ∈ ℤ)
117, 9, 10knoppndvlem1 33853 . . . . 5 (𝜑 → ((((2 · 𝑁)↑-𝐽) / 2) · 𝑀) ∈ ℝ)
126, 11eqeltrd 2915 . . . 4 (𝜑𝐴 ∈ ℝ)
13 sumex 15046 . . . . 5 Σ𝑖 ∈ ℕ0 ((𝐹𝐴)‘𝑖) ∈ V
1413a1i 11 . . . 4 (𝜑 → Σ𝑖 ∈ ℕ0 ((𝐹𝐴)‘𝑖) ∈ V)
151, 4, 12, 14fvmptd3 6793 . . 3 (𝜑 → (𝑊𝐴) = Σ𝑖 ∈ ℕ0 ((𝐹𝐴)‘𝑖))
16 nn0uz 12283 . . . 4 0 = (ℤ‘0)
17 eqid 2823 . . . 4 (ℤ‘(𝐽 + 1)) = (ℤ‘(𝐽 + 1))
18 peano2nn0 11940 . . . . 5 (𝐽 ∈ ℕ0 → (𝐽 + 1) ∈ ℕ0)
198, 18syl 17 . . . 4 (𝜑 → (𝐽 + 1) ∈ ℕ0)
20 eqidd 2824 . . . 4 ((𝜑𝑖 ∈ ℕ0) → ((𝐹𝐴)‘𝑖) = ((𝐹𝐴)‘𝑖))
21 knoppndvlem6.t . . . . . 6 𝑇 = (𝑥 ∈ ℝ ↦ (abs‘((⌊‘(𝑥 + (1 / 2))) − 𝑥)))
22 knoppndvlem6.f . . . . . 6 𝐹 = (𝑦 ∈ ℝ ↦ (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((𝐶𝑛) · (𝑇‘(((2 · 𝑁)↑𝑛) · 𝑦)))))
237adantr 483 . . . . . 6 ((𝜑𝑖 ∈ ℕ0) → 𝑁 ∈ ℕ)
24 knoppndvlem6.c . . . . . . . . 9 (𝜑𝐶 ∈ (-1(,)1))
2524knoppndvlem3 33855 . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝐶 ∈ ℝ ∧ (abs‘𝐶) < 1))
2625simpld 497 . . . . . . 7 (𝜑𝐶 ∈ ℝ)
2726adantr 483 . . . . . 6 ((𝜑𝑖 ∈ ℕ0) → 𝐶 ∈ ℝ)
2812adantr 483 . . . . . 6 ((𝜑𝑖 ∈ ℕ0) → 𝐴 ∈ ℝ)
29 simpr 487 . . . . . 6 ((𝜑𝑖 ∈ ℕ0) → 𝑖 ∈ ℕ0)
3021, 22, 23, 27, 28, 29knoppcnlem3 33836 . . . . 5 ((𝜑𝑖 ∈ ℕ0) → ((𝐹𝐴)‘𝑖) ∈ ℝ)
3130recnd 10671 . . . 4 ((𝜑𝑖 ∈ ℕ0) → ((𝐹𝐴)‘𝑖) ∈ ℂ)
3221, 22, 1, 12, 24, 7knoppndvlem4 33856 . . . . 5 (𝜑 → seq0( + , (𝐹𝐴)) ⇝ (𝑊𝐴))
33 seqex 13374 . . . . . 6 seq0( + , (𝐹𝐴)) ∈ V
34 fvex 6685 . . . . . 6 (𝑊𝐴) ∈ V
3533, 34breldm 5779 . . . . 5 (seq0( + , (𝐹𝐴)) ⇝ (𝑊𝐴) → seq0( + , (𝐹𝐴)) ∈ dom ⇝ )
3632, 35syl 17 . . . 4 (𝜑 → seq0( + , (𝐹𝐴)) ∈ dom ⇝ )
3716, 17, 19, 20, 31, 36isumsplit 15197 . . 3 (𝜑 → Σ𝑖 ∈ ℕ0 ((𝐹𝐴)‘𝑖) = (Σ𝑖 ∈ (0...((𝐽 + 1) − 1))((𝐹𝐴)‘𝑖) + Σ𝑖 ∈ (ℤ‘(𝐽 + 1))((𝐹𝐴)‘𝑖)))
388nn0cnd 11960 . . . . . . 7 (𝜑𝐽 ∈ ℂ)
39 1cnd 10638 . . . . . . 7 (𝜑 → 1 ∈ ℂ)
4038, 39pncand 11000 . . . . . 6 (𝜑 → ((𝐽 + 1) − 1) = 𝐽)
4140oveq2d 7174 . . . . 5 (𝜑 → (0...((𝐽 + 1) − 1)) = (0...𝐽))
4241sumeq1d 15060 . . . 4 (𝜑 → Σ𝑖 ∈ (0...((𝐽 + 1) − 1))((𝐹𝐴)‘𝑖) = Σ𝑖 ∈ (0...𝐽)((𝐹𝐴)‘𝑖))
4342oveq1d 7173 . . 3 (𝜑 → (Σ𝑖 ∈ (0...((𝐽 + 1) − 1))((𝐹𝐴)‘𝑖) + Σ𝑖 ∈ (ℤ‘(𝐽 + 1))((𝐹𝐴)‘𝑖)) = (Σ𝑖 ∈ (0...𝐽)((𝐹𝐴)‘𝑖) + Σ𝑖 ∈ (ℤ‘(𝐽 + 1))((𝐹𝐴)‘𝑖)))
4415, 37, 433eqtrd 2862 . 2 (𝜑 → (𝑊𝐴) = (Σ𝑖 ∈ (0...𝐽)((𝐹𝐴)‘𝑖) + Σ𝑖 ∈ (ℤ‘(𝐽 + 1))((𝐹𝐴)‘𝑖)))
4512adantr 483 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑖 ∈ (ℤ‘(𝐽 + 1))) → 𝐴 ∈ ℝ)
46 eluznn0 12320 . . . . . . . . 9 (((𝐽 + 1) ∈ ℕ0𝑖 ∈ (ℤ‘(𝐽 + 1))) → 𝑖 ∈ ℕ0)
4719, 46sylan 582 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑖 ∈ (ℤ‘(𝐽 + 1))) → 𝑖 ∈ ℕ0)
4822, 45, 47knoppcnlem1 33834 . . . . . . 7 ((𝜑𝑖 ∈ (ℤ‘(𝐽 + 1))) → ((𝐹𝐴)‘𝑖) = ((𝐶𝑖) · (𝑇‘(((2 · 𝑁)↑𝑖) · 𝐴))))
495a1i 11 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑖 ∈ (ℤ‘(𝐽 + 1))) → 𝐴 = ((((2 · 𝑁)↑-𝐽) / 2) · 𝑀))
5049oveq2d 7174 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑖 ∈ (ℤ‘(𝐽 + 1))) → (((2 · 𝑁)↑𝑖) · 𝐴) = (((2 · 𝑁)↑𝑖) · ((((2 · 𝑁)↑-𝐽) / 2) · 𝑀)))
517adantr 483 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑖 ∈ (ℤ‘(𝐽 + 1))) → 𝑁 ∈ ℕ)
5247nn0zd 12088 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑖 ∈ (ℤ‘(𝐽 + 1))) → 𝑖 ∈ ℤ)
539adantr 483 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑖 ∈ (ℤ‘(𝐽 + 1))) → 𝐽 ∈ ℤ)
5410adantr 483 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑖 ∈ (ℤ‘(𝐽 + 1))) → 𝑀 ∈ ℤ)
55 eluzle 12259 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑖 ∈ (ℤ‘(𝐽 + 1)) → (𝐽 + 1) ≤ 𝑖)
5655adantl 484 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑖 ∈ (ℤ‘(𝐽 + 1))) → (𝐽 + 1) ≤ 𝑖)
5753, 52jca 514 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑖 ∈ (ℤ‘(𝐽 + 1))) → (𝐽 ∈ ℤ ∧ 𝑖 ∈ ℤ))
58 zltp1le 12035 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝐽 ∈ ℤ ∧ 𝑖 ∈ ℤ) → (𝐽 < 𝑖 ↔ (𝐽 + 1) ≤ 𝑖))
5957, 58syl 17 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑖 ∈ (ℤ‘(𝐽 + 1))) → (𝐽 < 𝑖 ↔ (𝐽 + 1) ≤ 𝑖))
6056, 59mpbird 259 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑖 ∈ (ℤ‘(𝐽 + 1))) → 𝐽 < 𝑖)
6151, 52, 53, 54, 60knoppndvlem2 33854 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑖 ∈ (ℤ‘(𝐽 + 1))) → (((2 · 𝑁)↑𝑖) · ((((2 · 𝑁)↑-𝐽) / 2) · 𝑀)) ∈ ℤ)
6250, 61eqeltrd 2915 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑖 ∈ (ℤ‘(𝐽 + 1))) → (((2 · 𝑁)↑𝑖) · 𝐴) ∈ ℤ)
6321, 62dnizeq0 33816 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑖 ∈ (ℤ‘(𝐽 + 1))) → (𝑇‘(((2 · 𝑁)↑𝑖) · 𝐴)) = 0)
6463oveq2d 7174 . . . . . . 7 ((𝜑𝑖 ∈ (ℤ‘(𝐽 + 1))) → ((𝐶𝑖) · (𝑇‘(((2 · 𝑁)↑𝑖) · 𝐴))) = ((𝐶𝑖) · 0))
6526recnd 10671 . . . . . . . . . 10 (𝜑𝐶 ∈ ℂ)
6665adantr 483 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑖 ∈ (ℤ‘(𝐽 + 1))) → 𝐶 ∈ ℂ)
6766, 47expcld 13513 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑖 ∈ (ℤ‘(𝐽 + 1))) → (𝐶𝑖) ∈ ℂ)
6867mul01d 10841 . . . . . . 7 ((𝜑𝑖 ∈ (ℤ‘(𝐽 + 1))) → ((𝐶𝑖) · 0) = 0)
6948, 64, 683eqtrd 2862 . . . . . 6 ((𝜑𝑖 ∈ (ℤ‘(𝐽 + 1))) → ((𝐹𝐴)‘𝑖) = 0)
7069sumeq2dv 15062 . . . . 5 (𝜑 → Σ𝑖 ∈ (ℤ‘(𝐽 + 1))((𝐹𝐴)‘𝑖) = Σ𝑖 ∈ (ℤ‘(𝐽 + 1))0)
71 ssidd 3992 . . . . . . 7 (𝜑 → (ℤ‘(𝐽 + 1)) ⊆ (ℤ‘(𝐽 + 1)))
7271orcd 869 . . . . . 6 (𝜑 → ((ℤ‘(𝐽 + 1)) ⊆ (ℤ‘(𝐽 + 1)) ∨ (ℤ‘(𝐽 + 1)) ∈ Fin))
73 sumz 15081 . . . . . 6 (((ℤ‘(𝐽 + 1)) ⊆ (ℤ‘(𝐽 + 1)) ∨ (ℤ‘(𝐽 + 1)) ∈ Fin) → Σ𝑖 ∈ (ℤ‘(𝐽 + 1))0 = 0)
7472, 73syl 17 . . . . 5 (𝜑 → Σ𝑖 ∈ (ℤ‘(𝐽 + 1))0 = 0)
7570, 74eqtrd 2858 . . . 4 (𝜑 → Σ𝑖 ∈ (ℤ‘(𝐽 + 1))((𝐹𝐴)‘𝑖) = 0)
7675oveq2d 7174 . . 3 (𝜑 → (Σ𝑖 ∈ (0...𝐽)((𝐹𝐴)‘𝑖) + Σ𝑖 ∈ (ℤ‘(𝐽 + 1))((𝐹𝐴)‘𝑖)) = (Σ𝑖 ∈ (0...𝐽)((𝐹𝐴)‘𝑖) + 0))
7721, 22, 12, 26, 7knoppndvlem5 33857 . . . . 5 (𝜑 → Σ𝑖 ∈ (0...𝐽)((𝐹𝐴)‘𝑖) ∈ ℝ)
7877recnd 10671 . . . 4 (𝜑 → Σ𝑖 ∈ (0...𝐽)((𝐹𝐴)‘𝑖) ∈ ℂ)
7978addid1d 10842 . . 3 (𝜑 → (Σ𝑖 ∈ (0...𝐽)((𝐹𝐴)‘𝑖) + 0) = Σ𝑖 ∈ (0...𝐽)((𝐹𝐴)‘𝑖))
8076, 79eqtrd 2858 . 2 (𝜑 → (Σ𝑖 ∈ (0...𝐽)((𝐹𝐴)‘𝑖) + Σ𝑖 ∈ (ℤ‘(𝐽 + 1))((𝐹𝐴)‘𝑖)) = Σ𝑖 ∈ (0...𝐽)((𝐹𝐴)‘𝑖))
8144, 80eqtrd 2858 1 (𝜑 → (𝑊𝐴) = Σ𝑖 ∈ (0...𝐽)((𝐹𝐴)‘𝑖))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 208  wa 398  wo 843   = wceq 1537  wcel 2114  Vcvv 3496  wss 3938   class class class wbr 5068  cmpt 5148  dom cdm 5557  cfv 6357  (class class class)co 7158  Fincfn 8511  cc 10537  cr 10538  0cc0 10539  1c1 10540   + caddc 10542   · cmul 10544   < clt 10677  cle 10678  cmin 10872  -cneg 10873   / cdiv 11299  cn 11640  2c2 11695  0cn0 11900  cz 11984  cuz 12246  (,)cioo 12741  ...cfz 12895  cfl 13163  seqcseq 13372  cexp 13432  abscabs 14595  cli 14843  Σcsu 15044
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2145  ax-11 2161  ax-12 2177  ax-ext 2795  ax-rep 5192  ax-sep 5205  ax-nul 5212  ax-pow 5268  ax-pr 5332  ax-un 7463  ax-inf2 9106  ax-cnex 10595  ax-resscn 10596  ax-1cn 10597  ax-icn 10598  ax-addcl 10599  ax-addrcl 10600  ax-mulcl 10601  ax-mulrcl 10602  ax-mulcom 10603  ax-addass 10604  ax-mulass 10605  ax-distr 10606  ax-i2m1 10607  ax-1ne0 10608  ax-1rid 10609  ax-rnegex 10610  ax-rrecex 10611  ax-cnre 10612  ax-pre-lttri 10613  ax-pre-lttrn 10614  ax-pre-ltadd 10615  ax-pre-mulgt0 10616  ax-pre-sup 10617  ax-addf 10618  ax-mulf 10619
This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 399  df-or 844  df-3or 1084  df-3an 1085  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2070  df-mo 2622  df-eu 2654  df-clab 2802  df-cleq 2816  df-clel 2895  df-nfc 2965  df-ne 3019  df-nel 3126  df-ral 3145  df-rex 3146  df-reu 3147  df-rmo 3148  df-rab 3149  df-v 3498  df-sbc 3775  df-csb 3886  df-dif 3941  df-un 3943  df-in 3945  df-ss 3954  df-pss 3956  df-nul 4294  df-if 4470  df-pw 4543  df-sn 4570  df-pr 4572  df-tp 4574  df-op 4576  df-uni 4841  df-int 4879  df-iun 4923  df-br 5069  df-opab 5131  df-mpt 5149  df-tr 5175  df-id 5462  df-eprel 5467  df-po 5476  df-so 5477  df-fr 5516  df-se 5517  df-we 5518  df-xp 5563  df-rel 5564  df-cnv 5565  df-co 5566  df-dm 5567  df-rn 5568  df-res 5569  df-ima 5570  df-pred 6150  df-ord 6196  df-on 6197  df-lim 6198  df-suc 6199  df-iota 6316  df-fun 6359  df-fn 6360  df-f 6361  df-f1 6362  df-fo 6363  df-f1o 6364  df-fv 6365  df-isom 6366  df-riota 7116  df-ov 7161  df-oprab 7162  df-mpo 7163  df-of 7411  df-om 7583  df-1st 7691  df-2nd 7692  df-wrecs 7949  df-recs 8010  df-rdg 8048  df-1o 8104  df-oadd 8108  df-er 8291  df-map 8410  df-pm 8411  df-en 8512  df-dom 8513  df-sdom 8514  df-fin 8515  df-sup 8908  df-inf 8909  df-oi 8976  df-card 9370  df-pnf 10679  df-mnf 10680  df-xr 10681  df-ltxr 10682  df-le 10683  df-sub 10874  df-neg 10875  df-div 11300  df-nn 11641  df-2 11703  df-3 11704  df-n0 11901  df-z 11985  df-uz 12247  df-rp 12393  df-ioo 12745  df-ico 12747  df-fz 12896  df-fzo 13037  df-fl 13165  df-seq 13373  df-exp 13433  df-hash 13694  df-cj 14460  df-re 14461  df-im 14462  df-sqrt 14596  df-abs 14597  df-limsup 14830  df-clim 14847  df-rlim 14848  df-sum 15045  df-ulm 24967
This theorem is referenced by:  knoppndvlem15  33867
  Copyright terms: Public domain W3C validator