Users' Mathboxes Mathbox for Alexander van der Vekens < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  konigsbergiedgw Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem konigsbergiedgw 41414
Description: The indexed edges of the Königsberg graph 𝐺 is a word over the pairs of vertices. (Contributed by AV, 28-Feb-2021.)
Hypotheses
Ref Expression
konigsberg-av.v 𝑉 = (0...3)
konigsberg-av.e 𝐸 = ⟨“{0, 1} {0, 2} {0, 3} {1, 2} {1, 2} {2, 3} {2, 3}”⟩
konigsberg-av.g 𝐺 = ⟨𝑉, 𝐸
Assertion
Ref Expression
konigsbergiedgw 𝐸 ∈ Word {𝑥 ∈ 𝒫 𝑉 ∣ (#‘𝑥) = 2}
Distinct variable group:   𝑥,𝑉
Allowed substitution hints:   𝐸(𝑥)   𝐺(𝑥)

Proof of Theorem konigsbergiedgw
StepHypRef Expression
1 3nn0 11153 . . . . . . 7 3 ∈ ℕ0
2 0elfz 12256 . . . . . . 7 (3 ∈ ℕ0 → 0 ∈ (0...3))
31, 2ax-mp 5 . . . . . 6 0 ∈ (0...3)
4 1nn0 11151 . . . . . . 7 1 ∈ ℕ0
5 1le3 11087 . . . . . . 7 1 ≤ 3
6 elfz2nn0 12251 . . . . . . 7 (1 ∈ (0...3) ↔ (1 ∈ ℕ0 ∧ 3 ∈ ℕ0 ∧ 1 ≤ 3))
74, 1, 5, 6mpbir3an 1236 . . . . . 6 1 ∈ (0...3)
8 0ne1 10931 . . . . . 6 0 ≠ 1
93, 7, 8umgrbi 40324 . . . . 5 {0, 1} ∈ {𝑥 ∈ 𝒫 (0...3) ∣ (#‘𝑥) = 2}
109a1i 11 . . . 4 (⊤ → {0, 1} ∈ {𝑥 ∈ 𝒫 (0...3) ∣ (#‘𝑥) = 2})
11 2nn0 11152 . . . . . . 7 2 ∈ ℕ0
12 2re 10933 . . . . . . . 8 2 ∈ ℝ
13 3re 10937 . . . . . . . 8 3 ∈ ℝ
14 2lt3 11038 . . . . . . . 8 2 < 3
1512, 13, 14ltleii 10007 . . . . . . 7 2 ≤ 3
16 elfz2nn0 12251 . . . . . . 7 (2 ∈ (0...3) ↔ (2 ∈ ℕ0 ∧ 3 ∈ ℕ0 ∧ 2 ≤ 3))
1711, 1, 15, 16mpbir3an 1236 . . . . . 6 2 ∈ (0...3)
18 0ne2 11082 . . . . . 6 0 ≠ 2
193, 17, 18umgrbi 40324 . . . . 5 {0, 2} ∈ {𝑥 ∈ 𝒫 (0...3) ∣ (#‘𝑥) = 2}
2019a1i 11 . . . 4 (⊤ → {0, 2} ∈ {𝑥 ∈ 𝒫 (0...3) ∣ (#‘𝑥) = 2})
21 nn0fz0 12257 . . . . . . 7 (3 ∈ ℕ0 ↔ 3 ∈ (0...3))
221, 21mpbi 218 . . . . . 6 3 ∈ (0...3)
23 3ne0 10958 . . . . . . 7 3 ≠ 0
2423necomi 2831 . . . . . 6 0 ≠ 3
253, 22, 24umgrbi 40324 . . . . 5 {0, 3} ∈ {𝑥 ∈ 𝒫 (0...3) ∣ (#‘𝑥) = 2}
2625a1i 11 . . . 4 (⊤ → {0, 3} ∈ {𝑥 ∈ 𝒫 (0...3) ∣ (#‘𝑥) = 2})
27 1ne2 11083 . . . . . 6 1 ≠ 2
287, 17, 27umgrbi 40324 . . . . 5 {1, 2} ∈ {𝑥 ∈ 𝒫 (0...3) ∣ (#‘𝑥) = 2}
2928a1i 11 . . . 4 (⊤ → {1, 2} ∈ {𝑥 ∈ 𝒫 (0...3) ∣ (#‘𝑥) = 2})
3012, 14ltneii 9997 . . . . . 6 2 ≠ 3
3117, 22, 30umgrbi 40324 . . . . 5 {2, 3} ∈ {𝑥 ∈ 𝒫 (0...3) ∣ (#‘𝑥) = 2}
3231a1i 11 . . . 4 (⊤ → {2, 3} ∈ {𝑥 ∈ 𝒫 (0...3) ∣ (#‘𝑥) = 2})
3310, 20, 26, 29, 29, 32, 32s7cld 13413 . . 3 (⊤ → ⟨“{0, 1} {0, 2} {0, 3} {1, 2} {1, 2} {2, 3} {2, 3}”⟩ ∈ Word {𝑥 ∈ 𝒫 (0...3) ∣ (#‘𝑥) = 2})
3433trud 1483 . 2 ⟨“{0, 1} {0, 2} {0, 3} {1, 2} {1, 2} {2, 3} {2, 3}”⟩ ∈ Word {𝑥 ∈ 𝒫 (0...3) ∣ (#‘𝑥) = 2}
35 konigsberg-av.e . 2 𝐸 = ⟨“{0, 1} {0, 2} {0, 3} {1, 2} {1, 2} {2, 3} {2, 3}”⟩
36 konigsberg-av.v . . . . 5 𝑉 = (0...3)
3736pweqi 4107 . . . 4 𝒫 𝑉 = 𝒫 (0...3)
38 rabeq 3161 . . . 4 (𝒫 𝑉 = 𝒫 (0...3) → {𝑥 ∈ 𝒫 𝑉 ∣ (#‘𝑥) = 2} = {𝑥 ∈ 𝒫 (0...3) ∣ (#‘𝑥) = 2})
3937, 38ax-mp 5 . . 3 {𝑥 ∈ 𝒫 𝑉 ∣ (#‘𝑥) = 2} = {𝑥 ∈ 𝒫 (0...3) ∣ (#‘𝑥) = 2}
4039wrdeqi 13125 . 2 Word {𝑥 ∈ 𝒫 𝑉 ∣ (#‘𝑥) = 2} = Word {𝑥 ∈ 𝒫 (0...3) ∣ (#‘𝑥) = 2}
4134, 35, 403eltr4i 2696 1 𝐸 ∈ Word {𝑥 ∈ 𝒫 𝑉 ∣ (#‘𝑥) = 2}
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   = wceq 1474  wtru 1475  wcel 1975  {crab 2895  𝒫 cpw 4103  {cpr 4122  cop 4126   class class class wbr 4573  cfv 5786  (class class class)co 6523  0cc0 9788  1c1 9789  cle 9927  2c2 10913  3c3 10914  0cn0 11135  ...cfz 12148  #chash 12930  Word cword 13088  ⟨“cs7 13384
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1711  ax-4 1726  ax-5 1825  ax-6 1873  ax-7 1920  ax-8 1977  ax-9 1984  ax-10 2004  ax-11 2019  ax-12 2031  ax-13 2228  ax-ext 2585  ax-rep 4689  ax-sep 4699  ax-nul 4708  ax-pow 4760  ax-pr 4824  ax-un 6820  ax-cnex 9844  ax-resscn 9845  ax-1cn 9846  ax-icn 9847  ax-addcl 9848  ax-addrcl 9849  ax-mulcl 9850  ax-mulrcl 9851  ax-mulcom 9852  ax-addass 9853  ax-mulass 9854  ax-distr 9855  ax-i2m1 9856  ax-1ne0 9857  ax-1rid 9858  ax-rnegex 9859  ax-rrecex 9860  ax-cnre 9861  ax-pre-lttri 9862  ax-pre-lttrn 9863  ax-pre-ltadd 9864  ax-pre-mulgt0 9865
This theorem depends on definitions:  df-bi 195  df-or 383  df-an 384  df-3or 1031  df-3an 1032  df-tru 1477  df-ex 1695  df-nf 1700  df-sb 1866  df-eu 2457  df-mo 2458  df-clab 2592  df-cleq 2598  df-clel 2601  df-nfc 2735  df-ne 2777  df-nel 2778  df-ral 2896  df-rex 2897  df-reu 2898  df-rmo 2899  df-rab 2900  df-v 3170  df-sbc 3398  df-csb 3495  df-dif 3538  df-un 3540  df-in 3542  df-ss 3549  df-pss 3551  df-nul 3870  df-if 4032  df-pw 4105  df-sn 4121  df-pr 4123  df-tp 4125  df-op 4127  df-uni 4363  df-int 4401  df-iun 4447  df-br 4574  df-opab 4634  df-mpt 4635  df-tr 4671  df-eprel 4935  df-id 4939  df-po 4945  df-so 4946  df-fr 4983  df-we 4985  df-xp 5030  df-rel 5031  df-cnv 5032  df-co 5033  df-dm 5034  df-rn 5035  df-res 5036  df-ima 5037  df-pred 5579  df-ord 5625  df-on 5626  df-lim 5627  df-suc 5628  df-iota 5750  df-fun 5788  df-fn 5789  df-f 5790  df-f1 5791  df-fo 5792  df-f1o 5793  df-fv 5794  df-riota 6485  df-ov 6526  df-oprab 6527  df-mpt2 6528  df-om 6931  df-1st 7032  df-2nd 7033  df-wrecs 7267  df-recs 7328  df-rdg 7366  df-1o 7420  df-oadd 7424  df-er 7602  df-en 7815  df-dom 7816  df-sdom 7817  df-fin 7818  df-card 8621  df-cda 8846  df-pnf 9928  df-mnf 9929  df-xr 9930  df-ltxr 9931  df-le 9932  df-sub 10115  df-neg 10116  df-nn 10864  df-2 10922  df-3 10923  df-n0 11136  df-z 11207  df-uz 11516  df-fz 12149  df-fzo 12286  df-hash 12931  df-word 13096  df-concat 13098  df-s1 13099  df-s2 13386  df-s3 13387  df-s4 13388  df-s5 13389  df-s6 13390  df-s7 13391
This theorem is referenced by:  konigsbergssiedgwpr  41416  konigsbergumgr  41418
  Copyright terms: Public domain W3C validator