Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  konigsbergiedgw Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem konigsbergiedgw 27101
 Description: The indexed edges of the Königsberg graph 𝐺 is a word over the pairs of vertices. (Contributed by AV, 28-Feb-2021.)
Hypotheses
Ref Expression
konigsberg.v 𝑉 = (0...3)
konigsberg.e 𝐸 = ⟨“{0, 1} {0, 2} {0, 3} {1, 2} {1, 2} {2, 3} {2, 3}”⟩
konigsberg.g 𝐺 = ⟨𝑉, 𝐸
Assertion
Ref Expression
konigsbergiedgw 𝐸 ∈ Word {𝑥 ∈ 𝒫 𝑉 ∣ (#‘𝑥) = 2}
Distinct variable group:   𝑥,𝑉
Allowed substitution hints:   𝐸(𝑥)   𝐺(𝑥)

Proof of Theorem konigsbergiedgw
StepHypRef Expression
1 3nn0 11307 . . . . . . 7 3 ∈ ℕ0
2 0elfz 12432 . . . . . . 7 (3 ∈ ℕ0 → 0 ∈ (0...3))
31, 2ax-mp 5 . . . . . 6 0 ∈ (0...3)
4 1nn0 11305 . . . . . . 7 1 ∈ ℕ0
5 1le3 11241 . . . . . . 7 1 ≤ 3
6 elfz2nn0 12427 . . . . . . 7 (1 ∈ (0...3) ↔ (1 ∈ ℕ0 ∧ 3 ∈ ℕ0 ∧ 1 ≤ 3))
74, 1, 5, 6mpbir3an 1243 . . . . . 6 1 ∈ (0...3)
8 0ne1 11085 . . . . . 6 0 ≠ 1
93, 7, 8umgrbi 25990 . . . . 5 {0, 1} ∈ {𝑥 ∈ 𝒫 (0...3) ∣ (#‘𝑥) = 2}
109a1i 11 . . . 4 (⊤ → {0, 1} ∈ {𝑥 ∈ 𝒫 (0...3) ∣ (#‘𝑥) = 2})
11 2nn0 11306 . . . . . . 7 2 ∈ ℕ0
12 2re 11087 . . . . . . . 8 2 ∈ ℝ
13 3re 11091 . . . . . . . 8 3 ∈ ℝ
14 2lt3 11192 . . . . . . . 8 2 < 3
1512, 13, 14ltleii 10157 . . . . . . 7 2 ≤ 3
16 elfz2nn0 12427 . . . . . . 7 (2 ∈ (0...3) ↔ (2 ∈ ℕ0 ∧ 3 ∈ ℕ0 ∧ 2 ≤ 3))
1711, 1, 15, 16mpbir3an 1243 . . . . . 6 2 ∈ (0...3)
18 0ne2 11236 . . . . . 6 0 ≠ 2
193, 17, 18umgrbi 25990 . . . . 5 {0, 2} ∈ {𝑥 ∈ 𝒫 (0...3) ∣ (#‘𝑥) = 2}
2019a1i 11 . . . 4 (⊤ → {0, 2} ∈ {𝑥 ∈ 𝒫 (0...3) ∣ (#‘𝑥) = 2})
21 nn0fz0 12433 . . . . . . 7 (3 ∈ ℕ0 ↔ 3 ∈ (0...3))
221, 21mpbi 220 . . . . . 6 3 ∈ (0...3)
23 3ne0 11112 . . . . . . 7 3 ≠ 0
2423necomi 2847 . . . . . 6 0 ≠ 3
253, 22, 24umgrbi 25990 . . . . 5 {0, 3} ∈ {𝑥 ∈ 𝒫 (0...3) ∣ (#‘𝑥) = 2}
2625a1i 11 . . . 4 (⊤ → {0, 3} ∈ {𝑥 ∈ 𝒫 (0...3) ∣ (#‘𝑥) = 2})
27 1ne2 11237 . . . . . 6 1 ≠ 2
287, 17, 27umgrbi 25990 . . . . 5 {1, 2} ∈ {𝑥 ∈ 𝒫 (0...3) ∣ (#‘𝑥) = 2}
2928a1i 11 . . . 4 (⊤ → {1, 2} ∈ {𝑥 ∈ 𝒫 (0...3) ∣ (#‘𝑥) = 2})
3012, 14ltneii 10147 . . . . . 6 2 ≠ 3
3117, 22, 30umgrbi 25990 . . . . 5 {2, 3} ∈ {𝑥 ∈ 𝒫 (0...3) ∣ (#‘𝑥) = 2}
3231a1i 11 . . . 4 (⊤ → {2, 3} ∈ {𝑥 ∈ 𝒫 (0...3) ∣ (#‘𝑥) = 2})
3310, 20, 26, 29, 29, 32, 32s7cld 13615 . . 3 (⊤ → ⟨“{0, 1} {0, 2} {0, 3} {1, 2} {1, 2} {2, 3} {2, 3}”⟩ ∈ Word {𝑥 ∈ 𝒫 (0...3) ∣ (#‘𝑥) = 2})
3433trud 1492 . 2 ⟨“{0, 1} {0, 2} {0, 3} {1, 2} {1, 2} {2, 3} {2, 3}”⟩ ∈ Word {𝑥 ∈ 𝒫 (0...3) ∣ (#‘𝑥) = 2}
35 konigsberg.e . 2 𝐸 = ⟨“{0, 1} {0, 2} {0, 3} {1, 2} {1, 2} {2, 3} {2, 3}”⟩
36 konigsberg.v . . . . 5 𝑉 = (0...3)
3736pweqi 4160 . . . 4 𝒫 𝑉 = 𝒫 (0...3)
38 rabeq 3190 . . . 4 (𝒫 𝑉 = 𝒫 (0...3) → {𝑥 ∈ 𝒫 𝑉 ∣ (#‘𝑥) = 2} = {𝑥 ∈ 𝒫 (0...3) ∣ (#‘𝑥) = 2})
3937, 38ax-mp 5 . . 3 {𝑥 ∈ 𝒫 𝑉 ∣ (#‘𝑥) = 2} = {𝑥 ∈ 𝒫 (0...3) ∣ (#‘𝑥) = 2}
4039wrdeqi 13323 . 2 Word {𝑥 ∈ 𝒫 𝑉 ∣ (#‘𝑥) = 2} = Word {𝑥 ∈ 𝒫 (0...3) ∣ (#‘𝑥) = 2}
4134, 35, 403eltr4i 2713 1 𝐸 ∈ Word {𝑥 ∈ 𝒫 𝑉 ∣ (#‘𝑥) = 2}
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   = wceq 1482  ⊤wtru 1483   ∈ wcel 1989  {crab 2915  𝒫 cpw 4156  {cpr 4177  ⟨cop 4181   class class class wbr 4651  ‘cfv 5886  (class class class)co 6647  0cc0 9933  1c1 9934   ≤ cle 10072  2c2 11067  3c3 11068  ℕ0cn0 11289  ...cfz 12323  #chash 13112  Word cword 13286  ⟨“cs7 13585 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1721  ax-4 1736  ax-5 1838  ax-6 1887  ax-7 1934  ax-8 1991  ax-9 1998  ax-10 2018  ax-11 2033  ax-12 2046  ax-13 2245  ax-ext 2601  ax-rep 4769  ax-sep 4779  ax-nul 4787  ax-pow 4841  ax-pr 4904  ax-un 6946  ax-cnex 9989  ax-resscn 9990  ax-1cn 9991  ax-icn 9992  ax-addcl 9993  ax-addrcl 9994  ax-mulcl 9995  ax-mulrcl 9996  ax-mulcom 9997  ax-addass 9998  ax-mulass 9999  ax-distr 10000  ax-i2m1 10001  ax-1ne0 10002  ax-1rid 10003  ax-rnegex 10004  ax-rrecex 10005  ax-cnre 10006  ax-pre-lttri 10007  ax-pre-lttrn 10008  ax-pre-ltadd 10009  ax-pre-mulgt0 10010 This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1485  df-ex 1704  df-nf 1709  df-sb 1880  df-eu 2473  df-mo 2474  df-clab 2608  df-cleq 2614  df-clel 2617  df-nfc 2752  df-ne 2794  df-nel 2897  df-ral 2916  df-rex 2917  df-reu 2918  df-rmo 2919  df-rab 2920  df-v 3200  df-sbc 3434  df-csb 3532  df-dif 3575  df-un 3577  df-in 3579  df-ss 3586  df-pss 3588  df-nul 3914  df-if 4085  df-pw 4158  df-sn 4176  df-pr 4178  df-tp 4180  df-op 4182  df-uni 4435  df-int 4474  df-iun 4520  df-br 4652  df-opab 4711  df-mpt 4728  df-tr 4751  df-id 5022  df-eprel 5027  df-po 5033  df-so 5034  df-fr 5071  df-we 5073  df-xp 5118  df-rel 5119  df-cnv 5120  df-co 5121  df-dm 5122  df-rn 5123  df-res 5124  df-ima 5125  df-pred 5678  df-ord 5724  df-on 5725  df-lim 5726  df-suc 5727  df-iota 5849  df-fun 5888  df-fn 5889  df-f 5890  df-f1 5891  df-fo 5892  df-f1o 5893  df-fv 5894  df-riota 6608  df-ov 6650  df-oprab 6651  df-mpt2 6652  df-om 7063  df-1st 7165  df-2nd 7166  df-wrecs 7404  df-recs 7465  df-rdg 7503  df-1o 7557  df-oadd 7561  df-er 7739  df-en 7953  df-dom 7954  df-sdom 7955  df-fin 7956  df-card 8762  df-cda 8987  df-pnf 10073  df-mnf 10074  df-xr 10075  df-ltxr 10076  df-le 10077  df-sub 10265  df-neg 10266  df-nn 11018  df-2 11076  df-3 11077  df-n0 11290  df-z 11375  df-uz 11685  df-fz 12324  df-fzo 12462  df-hash 13113  df-word 13294  df-concat 13296  df-s1 13297  df-s2 13587  df-s3 13588  df-s4 13589  df-s5 13590  df-s6 13591  df-s7 13592 This theorem is referenced by:  konigsbergssiedgwpr  27103  konigsbergumgr  27105
 Copyright terms: Public domain W3C validator