MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  konigsberglem4 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem konigsberglem4 27017
Description: Lemma 4 for konigsberg 27019: Vertices 0, 1, 3 are vertices of odd degree. (Contributed by Mario Carneiro, 11-Mar-2015.) (Revised by AV, 28-Feb-2021.)
Hypotheses
Ref Expression
konigsberg.v 𝑉 = (0...3)
konigsberg.e 𝐸 = ⟨“{0, 1} {0, 2} {0, 3} {1, 2} {1, 2} {2, 3} {2, 3}”⟩
konigsberg.g 𝐺 = ⟨𝑉, 𝐸
Assertion
Ref Expression
konigsberglem4 {0, 1, 3} ⊆ {𝑥𝑉 ∣ ¬ 2 ∥ ((VtxDeg‘𝐺)‘𝑥)}
Distinct variable groups:   𝑥,𝑉   𝑥,𝐺
Allowed substitution hint:   𝐸(𝑥)

Proof of Theorem konigsberglem4
StepHypRef Expression
1 3nn0 11270 . . . . . 6 3 ∈ ℕ0
2 0elfz 12393 . . . . . 6 (3 ∈ ℕ0 → 0 ∈ (0...3))
31, 2ax-mp 5 . . . . 5 0 ∈ (0...3)
4 konigsberg.v . . . . 5 𝑉 = (0...3)
53, 4eleqtrri 2697 . . . 4 0 ∈ 𝑉
6 n2dvds3 15050 . . . . 5 ¬ 2 ∥ 3
7 konigsberg.e . . . . . . 7 𝐸 = ⟨“{0, 1} {0, 2} {0, 3} {1, 2} {1, 2} {2, 3} {2, 3}”⟩
8 konigsberg.g . . . . . . 7 𝐺 = ⟨𝑉, 𝐸
94, 7, 8konigsberglem1 27014 . . . . . 6 ((VtxDeg‘𝐺)‘0) = 3
109breq2i 4631 . . . . 5 (2 ∥ ((VtxDeg‘𝐺)‘0) ↔ 2 ∥ 3)
116, 10mtbir 313 . . . 4 ¬ 2 ∥ ((VtxDeg‘𝐺)‘0)
12 fveq2 6158 . . . . . . 7 (𝑥 = 0 → ((VtxDeg‘𝐺)‘𝑥) = ((VtxDeg‘𝐺)‘0))
1312breq2d 4635 . . . . . 6 (𝑥 = 0 → (2 ∥ ((VtxDeg‘𝐺)‘𝑥) ↔ 2 ∥ ((VtxDeg‘𝐺)‘0)))
1413notbid 308 . . . . 5 (𝑥 = 0 → (¬ 2 ∥ ((VtxDeg‘𝐺)‘𝑥) ↔ ¬ 2 ∥ ((VtxDeg‘𝐺)‘0)))
1514elrab 3351 . . . 4 (0 ∈ {𝑥𝑉 ∣ ¬ 2 ∥ ((VtxDeg‘𝐺)‘𝑥)} ↔ (0 ∈ 𝑉 ∧ ¬ 2 ∥ ((VtxDeg‘𝐺)‘0)))
165, 11, 15mpbir2an 954 . . 3 0 ∈ {𝑥𝑉 ∣ ¬ 2 ∥ ((VtxDeg‘𝐺)‘𝑥)}
17 1nn0 11268 . . . . . 6 1 ∈ ℕ0
18 1le3 11204 . . . . . 6 1 ≤ 3
19 elfz2nn0 12388 . . . . . 6 (1 ∈ (0...3) ↔ (1 ∈ ℕ0 ∧ 3 ∈ ℕ0 ∧ 1 ≤ 3))
2017, 1, 18, 19mpbir3an 1242 . . . . 5 1 ∈ (0...3)
2120, 4eleqtrri 2697 . . . 4 1 ∈ 𝑉
224, 7, 8konigsberglem2 27015 . . . . . 6 ((VtxDeg‘𝐺)‘1) = 3
2322breq2i 4631 . . . . 5 (2 ∥ ((VtxDeg‘𝐺)‘1) ↔ 2 ∥ 3)
246, 23mtbir 313 . . . 4 ¬ 2 ∥ ((VtxDeg‘𝐺)‘1)
25 fveq2 6158 . . . . . . 7 (𝑥 = 1 → ((VtxDeg‘𝐺)‘𝑥) = ((VtxDeg‘𝐺)‘1))
2625breq2d 4635 . . . . . 6 (𝑥 = 1 → (2 ∥ ((VtxDeg‘𝐺)‘𝑥) ↔ 2 ∥ ((VtxDeg‘𝐺)‘1)))
2726notbid 308 . . . . 5 (𝑥 = 1 → (¬ 2 ∥ ((VtxDeg‘𝐺)‘𝑥) ↔ ¬ 2 ∥ ((VtxDeg‘𝐺)‘1)))
2827elrab 3351 . . . 4 (1 ∈ {𝑥𝑉 ∣ ¬ 2 ∥ ((VtxDeg‘𝐺)‘𝑥)} ↔ (1 ∈ 𝑉 ∧ ¬ 2 ∥ ((VtxDeg‘𝐺)‘1)))
2921, 24, 28mpbir2an 954 . . 3 1 ∈ {𝑥𝑉 ∣ ¬ 2 ∥ ((VtxDeg‘𝐺)‘𝑥)}
30 3re 11054 . . . . . . 7 3 ∈ ℝ
3130leidi 10522 . . . . . 6 3 ≤ 3
32 elfz2nn0 12388 . . . . . 6 (3 ∈ (0...3) ↔ (3 ∈ ℕ0 ∧ 3 ∈ ℕ0 ∧ 3 ≤ 3))
331, 1, 31, 32mpbir3an 1242 . . . . 5 3 ∈ (0...3)
3433, 4eleqtrri 2697 . . . 4 3 ∈ 𝑉
354, 7, 8konigsberglem3 27016 . . . . . 6 ((VtxDeg‘𝐺)‘3) = 3
3635breq2i 4631 . . . . 5 (2 ∥ ((VtxDeg‘𝐺)‘3) ↔ 2 ∥ 3)
376, 36mtbir 313 . . . 4 ¬ 2 ∥ ((VtxDeg‘𝐺)‘3)
38 fveq2 6158 . . . . . . 7 (𝑥 = 3 → ((VtxDeg‘𝐺)‘𝑥) = ((VtxDeg‘𝐺)‘3))
3938breq2d 4635 . . . . . 6 (𝑥 = 3 → (2 ∥ ((VtxDeg‘𝐺)‘𝑥) ↔ 2 ∥ ((VtxDeg‘𝐺)‘3)))
4039notbid 308 . . . . 5 (𝑥 = 3 → (¬ 2 ∥ ((VtxDeg‘𝐺)‘𝑥) ↔ ¬ 2 ∥ ((VtxDeg‘𝐺)‘3)))
4140elrab 3351 . . . 4 (3 ∈ {𝑥𝑉 ∣ ¬ 2 ∥ ((VtxDeg‘𝐺)‘𝑥)} ↔ (3 ∈ 𝑉 ∧ ¬ 2 ∥ ((VtxDeg‘𝐺)‘3)))
4234, 37, 41mpbir2an 954 . . 3 3 ∈ {𝑥𝑉 ∣ ¬ 2 ∥ ((VtxDeg‘𝐺)‘𝑥)}
4316, 29, 423pm3.2i 1237 . 2 (0 ∈ {𝑥𝑉 ∣ ¬ 2 ∥ ((VtxDeg‘𝐺)‘𝑥)} ∧ 1 ∈ {𝑥𝑉 ∣ ¬ 2 ∥ ((VtxDeg‘𝐺)‘𝑥)} ∧ 3 ∈ {𝑥𝑉 ∣ ¬ 2 ∥ ((VtxDeg‘𝐺)‘𝑥)})
44 c0ex 9994 . . 3 0 ∈ V
45 1ex 9995 . . 3 1 ∈ V
46 3ex 11056 . . 3 3 ∈ V
4744, 45, 46tpss 4343 . 2 ((0 ∈ {𝑥𝑉 ∣ ¬ 2 ∥ ((VtxDeg‘𝐺)‘𝑥)} ∧ 1 ∈ {𝑥𝑉 ∣ ¬ 2 ∥ ((VtxDeg‘𝐺)‘𝑥)} ∧ 3 ∈ {𝑥𝑉 ∣ ¬ 2 ∥ ((VtxDeg‘𝐺)‘𝑥)}) ↔ {0, 1, 3} ⊆ {𝑥𝑉 ∣ ¬ 2 ∥ ((VtxDeg‘𝐺)‘𝑥)})
4843, 47mpbi 220 1 {0, 1, 3} ⊆ {𝑥𝑉 ∣ ¬ 2 ∥ ((VtxDeg‘𝐺)‘𝑥)}
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  w3a 1036   = wceq 1480  wcel 1987  {crab 2912  wss 3560  {cpr 4157  {ctp 4159  cop 4161   class class class wbr 4623  cfv 5857  (class class class)co 6615  0cc0 9896  1c1 9897  cle 10035  2c2 11030  3c3 11031  0cn0 11252  ...cfz 12284  ⟨“cs7 13544  cdvds 14926  VtxDegcvtxdg 26282
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1719  ax-4 1734  ax-5 1836  ax-6 1885  ax-7 1932  ax-8 1989  ax-9 1996  ax-10 2016  ax-11 2031  ax-12 2044  ax-13 2245  ax-ext 2601  ax-rep 4741  ax-sep 4751  ax-nul 4759  ax-pow 4813  ax-pr 4877  ax-un 6914  ax-cnex 9952  ax-resscn 9953  ax-1cn 9954  ax-icn 9955  ax-addcl 9956  ax-addrcl 9957  ax-mulcl 9958  ax-mulrcl 9959  ax-mulcom 9960  ax-addass 9961  ax-mulass 9962  ax-distr 9963  ax-i2m1 9964  ax-1ne0 9965  ax-1rid 9966  ax-rnegex 9967  ax-rrecex 9968  ax-cnre 9969  ax-pre-lttri 9970  ax-pre-lttrn 9971  ax-pre-ltadd 9972  ax-pre-mulgt0 9973
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1037  df-3an 1038  df-tru 1483  df-ex 1702  df-nf 1707  df-sb 1878  df-eu 2473  df-mo 2474  df-clab 2608  df-cleq 2614  df-clel 2617  df-nfc 2750  df-ne 2791  df-nel 2894  df-ral 2913  df-rex 2914  df-reu 2915  df-rmo 2916  df-rab 2917  df-v 3192  df-sbc 3423  df-csb 3520  df-dif 3563  df-un 3565  df-in 3567  df-ss 3574  df-pss 3576  df-nul 3898  df-if 4065  df-pw 4138  df-sn 4156  df-pr 4158  df-tp 4160  df-op 4162  df-uni 4410  df-int 4448  df-iun 4494  df-br 4624  df-opab 4684  df-mpt 4685  df-tr 4723  df-eprel 4995  df-id 4999  df-po 5005  df-so 5006  df-fr 5043  df-we 5045  df-xp 5090  df-rel 5091  df-cnv 5092  df-co 5093  df-dm 5094  df-rn 5095  df-res 5096  df-ima 5097  df-pred 5649  df-ord 5695  df-on 5696  df-lim 5697  df-suc 5698  df-iota 5820  df-fun 5859  df-fn 5860  df-f 5861  df-f1 5862  df-fo 5863  df-f1o 5864  df-fv 5865  df-riota 6576  df-ov 6618  df-oprab 6619  df-mpt2 6620  df-om 7028  df-1st 7128  df-2nd 7129  df-wrecs 7367  df-recs 7428  df-rdg 7466  df-1o 7520  df-oadd 7524  df-er 7702  df-en 7916  df-dom 7917  df-sdom 7918  df-fin 7919  df-card 8725  df-cda 8950  df-pnf 10036  df-mnf 10037  df-xr 10038  df-ltxr 10039  df-le 10040  df-sub 10228  df-neg 10229  df-div 10645  df-nn 10981  df-2 11039  df-3 11040  df-n0 11253  df-xnn0 11324  df-z 11338  df-uz 11648  df-xadd 11907  df-fz 12285  df-fzo 12423  df-hash 13074  df-word 13254  df-concat 13256  df-s1 13257  df-s2 13546  df-s3 13547  df-s4 13548  df-s5 13549  df-s6 13550  df-s7 13551  df-dvds 14927  df-vtx 25810  df-iedg 25811  df-vtxdg 26283
This theorem is referenced by:  konigsberglem5  27018
  Copyright terms: Public domain W3C validator