Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  krippen Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem krippen 25631
 Description: Krippenlemma (German for crib's lemma) Lemma 7.22 of [Schwabhauser] p. 53. proven by Gupta 1965 as Theorem 3.45. (Contributed by Thierry Arnoux, 12-Aug-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
mirval.p 𝑃 = (Base‘𝐺)
mirval.d = (dist‘𝐺)
mirval.i 𝐼 = (Itv‘𝐺)
mirval.l 𝐿 = (LineG‘𝐺)
mirval.s 𝑆 = (pInvG‘𝐺)
mirval.g (𝜑𝐺 ∈ TarskiG)
krippen.m 𝑀 = (𝑆𝑋)
krippen.n 𝑁 = (𝑆𝑌)
krippen.a (𝜑𝐴𝑃)
krippen.b (𝜑𝐵𝑃)
krippen.c (𝜑𝐶𝑃)
krippen.e (𝜑𝐸𝑃)
krippen.f (𝜑𝐹𝑃)
krippen.x (𝜑𝑋𝑃)
krippen.y (𝜑𝑌𝑃)
krippen.1 (𝜑𝐶 ∈ (𝐴𝐼𝐸))
krippen.2 (𝜑𝐶 ∈ (𝐵𝐼𝐹))
krippen.3 (𝜑 → (𝐶 𝐴) = (𝐶 𝐵))
krippen.4 (𝜑 → (𝐶 𝐸) = (𝐶 𝐹))
krippen.5 (𝜑𝐵 = (𝑀𝐴))
krippen.6 (𝜑𝐹 = (𝑁𝐸))
Assertion
Ref Expression
krippen (𝜑𝐶 ∈ (𝑋𝐼𝑌))

Proof of Theorem krippen
StepHypRef Expression
1 mirval.p . . 3 𝑃 = (Base‘𝐺)
2 mirval.d . . 3 = (dist‘𝐺)
3 mirval.i . . 3 𝐼 = (Itv‘𝐺)
4 mirval.l . . 3 𝐿 = (LineG‘𝐺)
5 mirval.s . . 3 𝑆 = (pInvG‘𝐺)
6 mirval.g . . . 4 (𝜑𝐺 ∈ TarskiG)
76adantr 480 . . 3 ((𝜑 ∧ (𝐶 𝐴)(≤G‘𝐺)(𝐶 𝐸)) → 𝐺 ∈ TarskiG)
8 krippen.m . . 3 𝑀 = (𝑆𝑋)
9 krippen.n . . 3 𝑁 = (𝑆𝑌)
10 krippen.a . . . 4 (𝜑𝐴𝑃)
1110adantr 480 . . 3 ((𝜑 ∧ (𝐶 𝐴)(≤G‘𝐺)(𝐶 𝐸)) → 𝐴𝑃)
12 krippen.b . . . 4 (𝜑𝐵𝑃)
1312adantr 480 . . 3 ((𝜑 ∧ (𝐶 𝐴)(≤G‘𝐺)(𝐶 𝐸)) → 𝐵𝑃)
14 krippen.c . . . 4 (𝜑𝐶𝑃)
1514adantr 480 . . 3 ((𝜑 ∧ (𝐶 𝐴)(≤G‘𝐺)(𝐶 𝐸)) → 𝐶𝑃)
16 krippen.e . . . 4 (𝜑𝐸𝑃)
1716adantr 480 . . 3 ((𝜑 ∧ (𝐶 𝐴)(≤G‘𝐺)(𝐶 𝐸)) → 𝐸𝑃)
18 krippen.f . . . 4 (𝜑𝐹𝑃)
1918adantr 480 . . 3 ((𝜑 ∧ (𝐶 𝐴)(≤G‘𝐺)(𝐶 𝐸)) → 𝐹𝑃)
20 krippen.x . . . 4 (𝜑𝑋𝑃)
2120adantr 480 . . 3 ((𝜑 ∧ (𝐶 𝐴)(≤G‘𝐺)(𝐶 𝐸)) → 𝑋𝑃)
22 krippen.y . . . 4 (𝜑𝑌𝑃)
2322adantr 480 . . 3 ((𝜑 ∧ (𝐶 𝐴)(≤G‘𝐺)(𝐶 𝐸)) → 𝑌𝑃)
24 krippen.1 . . . 4 (𝜑𝐶 ∈ (𝐴𝐼𝐸))
2524adantr 480 . . 3 ((𝜑 ∧ (𝐶 𝐴)(≤G‘𝐺)(𝐶 𝐸)) → 𝐶 ∈ (𝐴𝐼𝐸))
26 krippen.2 . . . 4 (𝜑𝐶 ∈ (𝐵𝐼𝐹))
2726adantr 480 . . 3 ((𝜑 ∧ (𝐶 𝐴)(≤G‘𝐺)(𝐶 𝐸)) → 𝐶 ∈ (𝐵𝐼𝐹))
28 krippen.3 . . . 4 (𝜑 → (𝐶 𝐴) = (𝐶 𝐵))
2928adantr 480 . . 3 ((𝜑 ∧ (𝐶 𝐴)(≤G‘𝐺)(𝐶 𝐸)) → (𝐶 𝐴) = (𝐶 𝐵))
30 krippen.4 . . . 4 (𝜑 → (𝐶 𝐸) = (𝐶 𝐹))
3130adantr 480 . . 3 ((𝜑 ∧ (𝐶 𝐴)(≤G‘𝐺)(𝐶 𝐸)) → (𝐶 𝐸) = (𝐶 𝐹))
32 krippen.5 . . . 4 (𝜑𝐵 = (𝑀𝐴))
3332adantr 480 . . 3 ((𝜑 ∧ (𝐶 𝐴)(≤G‘𝐺)(𝐶 𝐸)) → 𝐵 = (𝑀𝐴))
34 krippen.6 . . . 4 (𝜑𝐹 = (𝑁𝐸))
3534adantr 480 . . 3 ((𝜑 ∧ (𝐶 𝐴)(≤G‘𝐺)(𝐶 𝐸)) → 𝐹 = (𝑁𝐸))
36 eqid 2651 . . 3 (≤G‘𝐺) = (≤G‘𝐺)
37 simpr 476 . . 3 ((𝜑 ∧ (𝐶 𝐴)(≤G‘𝐺)(𝐶 𝐸)) → (𝐶 𝐴)(≤G‘𝐺)(𝐶 𝐸))
381, 2, 3, 4, 5, 7, 8, 9, 11, 13, 15, 17, 19, 21, 23, 25, 27, 29, 31, 33, 35, 36, 37krippenlem 25630 . 2 ((𝜑 ∧ (𝐶 𝐴)(≤G‘𝐺)(𝐶 𝐸)) → 𝐶 ∈ (𝑋𝐼𝑌))
396adantr 480 . . 3 ((𝜑 ∧ (𝐶 𝐸)(≤G‘𝐺)(𝐶 𝐴)) → 𝐺 ∈ TarskiG)
4022adantr 480 . . 3 ((𝜑 ∧ (𝐶 𝐸)(≤G‘𝐺)(𝐶 𝐴)) → 𝑌𝑃)
4114adantr 480 . . 3 ((𝜑 ∧ (𝐶 𝐸)(≤G‘𝐺)(𝐶 𝐴)) → 𝐶𝑃)
4220adantr 480 . . 3 ((𝜑 ∧ (𝐶 𝐸)(≤G‘𝐺)(𝐶 𝐴)) → 𝑋𝑃)
4316adantr 480 . . . 4 ((𝜑 ∧ (𝐶 𝐸)(≤G‘𝐺)(𝐶 𝐴)) → 𝐸𝑃)
4418adantr 480 . . . 4 ((𝜑 ∧ (𝐶 𝐸)(≤G‘𝐺)(𝐶 𝐴)) → 𝐹𝑃)
4510adantr 480 . . . 4 ((𝜑 ∧ (𝐶 𝐸)(≤G‘𝐺)(𝐶 𝐴)) → 𝐴𝑃)
4612adantr 480 . . . 4 ((𝜑 ∧ (𝐶 𝐸)(≤G‘𝐺)(𝐶 𝐴)) → 𝐵𝑃)
4724adantr 480 . . . . 5 ((𝜑 ∧ (𝐶 𝐸)(≤G‘𝐺)(𝐶 𝐴)) → 𝐶 ∈ (𝐴𝐼𝐸))
481, 2, 3, 39, 45, 41, 43, 47tgbtwncom 25428 . . . 4 ((𝜑 ∧ (𝐶 𝐸)(≤G‘𝐺)(𝐶 𝐴)) → 𝐶 ∈ (𝐸𝐼𝐴))
4926adantr 480 . . . . 5 ((𝜑 ∧ (𝐶 𝐸)(≤G‘𝐺)(𝐶 𝐴)) → 𝐶 ∈ (𝐵𝐼𝐹))
501, 2, 3, 39, 46, 41, 44, 49tgbtwncom 25428 . . . 4 ((𝜑 ∧ (𝐶 𝐸)(≤G‘𝐺)(𝐶 𝐴)) → 𝐶 ∈ (𝐹𝐼𝐵))
5130adantr 480 . . . 4 ((𝜑 ∧ (𝐶 𝐸)(≤G‘𝐺)(𝐶 𝐴)) → (𝐶 𝐸) = (𝐶 𝐹))
5228adantr 480 . . . 4 ((𝜑 ∧ (𝐶 𝐸)(≤G‘𝐺)(𝐶 𝐴)) → (𝐶 𝐴) = (𝐶 𝐵))
5334adantr 480 . . . 4 ((𝜑 ∧ (𝐶 𝐸)(≤G‘𝐺)(𝐶 𝐴)) → 𝐹 = (𝑁𝐸))
5432adantr 480 . . . 4 ((𝜑 ∧ (𝐶 𝐸)(≤G‘𝐺)(𝐶 𝐴)) → 𝐵 = (𝑀𝐴))
55 simpr 476 . . . 4 ((𝜑 ∧ (𝐶 𝐸)(≤G‘𝐺)(𝐶 𝐴)) → (𝐶 𝐸)(≤G‘𝐺)(𝐶 𝐴))
561, 2, 3, 4, 5, 39, 9, 8, 43, 44, 41, 45, 46, 40, 42, 48, 50, 51, 52, 53, 54, 36, 55krippenlem 25630 . . 3 ((𝜑 ∧ (𝐶 𝐸)(≤G‘𝐺)(𝐶 𝐴)) → 𝐶 ∈ (𝑌𝐼𝑋))
571, 2, 3, 39, 40, 41, 42, 56tgbtwncom 25428 . 2 ((𝜑 ∧ (𝐶 𝐸)(≤G‘𝐺)(𝐶 𝐴)) → 𝐶 ∈ (𝑋𝐼𝑌))
581, 2, 3, 36, 6, 14, 10, 14, 16legtrid 25531 . 2 (𝜑 → ((𝐶 𝐴)(≤G‘𝐺)(𝐶 𝐸) ∨ (𝐶 𝐸)(≤G‘𝐺)(𝐶 𝐴)))
5938, 57, 58mpjaodan 844 1 (𝜑𝐶 ∈ (𝑋𝐼𝑌))
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 383   = wceq 1523   ∈ wcel 2030   class class class wbr 4685  ‘cfv 5926  (class class class)co 6690  Basecbs 15904  distcds 15997  TarskiGcstrkg 25374  Itvcitv 25380  LineGclng 25381  ≤Gcleg 25522  pInvGcmir 25592 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1762  ax-4 1777  ax-5 1879  ax-6 1945  ax-7 1981  ax-8 2032  ax-9 2039  ax-10 2059  ax-11 2074  ax-12 2087  ax-13 2282  ax-ext 2631  ax-rep 4804  ax-sep 4814  ax-nul 4822  ax-pow 4873  ax-pr 4936  ax-un 6991  ax-cnex 10030  ax-resscn 10031  ax-1cn 10032  ax-icn 10033  ax-addcl 10034  ax-addrcl 10035  ax-mulcl 10036  ax-mulrcl 10037  ax-mulcom 10038  ax-addass 10039  ax-mulass 10040  ax-distr 10041  ax-i2m1 10042  ax-1ne0 10043  ax-1rid 10044  ax-rnegex 10045  ax-rrecex 10046  ax-cnre 10047  ax-pre-lttri 10048  ax-pre-lttrn 10049  ax-pre-ltadd 10050  ax-pre-mulgt0 10051 This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3or 1055  df-3an 1056  df-tru 1526  df-ex 1745  df-nf 1750  df-sb 1938  df-eu 2502  df-mo 2503  df-clab 2638  df-cleq 2644  df-clel 2647  df-nfc 2782  df-ne 2824  df-nel 2927  df-ral 2946  df-rex 2947  df-reu 2948  df-rmo 2949  df-rab 2950  df-v 3233  df-sbc 3469  df-csb 3567  df-dif 3610  df-un 3612  df-in 3614  df-ss 3621  df-pss 3623  df-nul 3949  df-if 4120  df-pw 4193  df-sn 4211  df-pr 4213  df-tp 4215  df-op 4217  df-uni 4469  df-int 4508  df-iun 4554  df-br 4686  df-opab 4746  df-mpt 4763  df-tr 4786  df-id 5053  df-eprel 5058  df-po 5064  df-so 5065  df-fr 5102  df-we 5104  df-xp 5149  df-rel 5150  df-cnv 5151  df-co 5152  df-dm 5153  df-rn 5154  df-res 5155  df-ima 5156  df-pred 5718  df-ord 5764  df-on 5765  df-lim 5766  df-suc 5767  df-iota 5889  df-fun 5928  df-fn 5929  df-f 5930  df-f1 5931  df-fo 5932  df-f1o 5933  df-fv 5934  df-riota 6651  df-ov 6693  df-oprab 6694  df-mpt2 6695  df-om 7108  df-1st 7210  df-2nd 7211  df-wrecs 7452  df-recs 7513  df-rdg 7551  df-1o 7605  df-oadd 7609  df-er 7787  df-pm 7902  df-en 7998  df-dom 7999  df-sdom 8000  df-fin 8001  df-card 8803  df-cda 9028  df-pnf 10114  df-mnf 10115  df-xr 10116  df-ltxr 10117  df-le 10118  df-sub 10306  df-neg 10307  df-nn 11059  df-2 11117  df-3 11118  df-n0 11331  df-xnn0 11402  df-z 11416  df-uz 11726  df-fz 12365  df-fzo 12505  df-hash 13158  df-word 13331  df-concat 13333  df-s1 13334  df-s2 13639  df-s3 13640  df-trkgc 25392  df-trkgb 25393  df-trkgcb 25394  df-trkg 25397  df-cgrg 25451  df-leg 25523  df-mir 25593 This theorem is referenced by:  footex  25658  mideulem2  25671
 Copyright terms: Public domain W3C validator