Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  l1cvpat Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem l1cvpat 34844
Description: A subspace covered by the set of all vectors, when summed with an atom not under it, equals the set of all vectors. (1cvrjat 35264 analog.) (Contributed by NM, 11-Jan-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
l1cvpat.v 𝑉 = (Base‘𝑊)
l1cvpat.s 𝑆 = (LSubSp‘𝑊)
l1cvpat.p = (LSSum‘𝑊)
l1cvpat.a 𝐴 = (LSAtoms‘𝑊)
l1cvpat.c 𝐶 = ( ⋖L𝑊)
l1cvpat.w (𝜑𝑊 ∈ LVec)
l1cvpat.u (𝜑𝑈𝑆)
l1cvpat.q (𝜑𝑄𝐴)
l1cvpat.l (𝜑𝑈𝐶𝑉)
l1cvpat.m (𝜑 → ¬ 𝑄𝑈)
Assertion
Ref Expression
l1cvpat (𝜑 → (𝑈 𝑄) = 𝑉)

Proof of Theorem l1cvpat
Dummy variable 𝑣 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 l1cvpat.q . . 3 (𝜑𝑄𝐴)
2 l1cvpat.w . . . 4 (𝜑𝑊 ∈ LVec)
3 l1cvpat.v . . . . 5 𝑉 = (Base‘𝑊)
4 eqid 2760 . . . . 5 (LSpan‘𝑊) = (LSpan‘𝑊)
5 eqid 2760 . . . . 5 (0g𝑊) = (0g𝑊)
6 l1cvpat.a . . . . 5 𝐴 = (LSAtoms‘𝑊)
73, 4, 5, 6islsat 34781 . . . 4 (𝑊 ∈ LVec → (𝑄𝐴 ↔ ∃𝑣 ∈ (𝑉 ∖ {(0g𝑊)})𝑄 = ((LSpan‘𝑊)‘{𝑣})))
82, 7syl 17 . . 3 (𝜑 → (𝑄𝐴 ↔ ∃𝑣 ∈ (𝑉 ∖ {(0g𝑊)})𝑄 = ((LSpan‘𝑊)‘{𝑣})))
91, 8mpbid 222 . 2 (𝜑 → ∃𝑣 ∈ (𝑉 ∖ {(0g𝑊)})𝑄 = ((LSpan‘𝑊)‘{𝑣}))
10 l1cvpat.m . 2 (𝜑 → ¬ 𝑄𝑈)
11 eldifi 3875 . . . 4 (𝑣 ∈ (𝑉 ∖ {(0g𝑊)}) → 𝑣𝑉)
12 l1cvpat.s . . . . . . . . 9 𝑆 = (LSubSp‘𝑊)
13 lveclmod 19308 . . . . . . . . . . 11 (𝑊 ∈ LVec → 𝑊 ∈ LMod)
142, 13syl 17 . . . . . . . . . 10 (𝜑𝑊 ∈ LMod)
15143ad2ant1 1128 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑣𝑉𝑄 = ((LSpan‘𝑊)‘{𝑣})) → 𝑊 ∈ LMod)
16 l1cvpat.u . . . . . . . . . 10 (𝜑𝑈𝑆)
17163ad2ant1 1128 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑣𝑉𝑄 = ((LSpan‘𝑊)‘{𝑣})) → 𝑈𝑆)
18 simp2 1132 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑣𝑉𝑄 = ((LSpan‘𝑊)‘{𝑣})) → 𝑣𝑉)
193, 12, 4, 15, 17, 18lspsnel5 19197 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑣𝑉𝑄 = ((LSpan‘𝑊)‘{𝑣})) → (𝑣𝑈 ↔ ((LSpan‘𝑊)‘{𝑣}) ⊆ 𝑈))
2019notbid 307 . . . . . . 7 ((𝜑𝑣𝑉𝑄 = ((LSpan‘𝑊)‘{𝑣})) → (¬ 𝑣𝑈 ↔ ¬ ((LSpan‘𝑊)‘{𝑣}) ⊆ 𝑈))
21 l1cvpat.p . . . . . . . . 9 = (LSSum‘𝑊)
22 eqid 2760 . . . . . . . . 9 (LSHyp‘𝑊) = (LSHyp‘𝑊)
2323ad2ant1 1128 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑣𝑉𝑄 = ((LSpan‘𝑊)‘{𝑣})) → 𝑊 ∈ LVec)
24 l1cvpat.l . . . . . . . . . . 11 (𝜑𝑈𝐶𝑉)
25 l1cvpat.c . . . . . . . . . . . 12 𝐶 = ( ⋖L𝑊)
263, 12, 22, 25, 2islshpcv 34843 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (𝑈 ∈ (LSHyp‘𝑊) ↔ (𝑈𝑆𝑈𝐶𝑉)))
2716, 24, 26mpbir2and 995 . . . . . . . . . 10 (𝜑𝑈 ∈ (LSHyp‘𝑊))
28273ad2ant1 1128 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑣𝑉𝑄 = ((LSpan‘𝑊)‘{𝑣})) → 𝑈 ∈ (LSHyp‘𝑊))
293, 4, 21, 22, 23, 28, 18lshpnelb 34774 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑣𝑉𝑄 = ((LSpan‘𝑊)‘{𝑣})) → (¬ 𝑣𝑈 ↔ (𝑈 ((LSpan‘𝑊)‘{𝑣})) = 𝑉))
3029biimpd 219 . . . . . . 7 ((𝜑𝑣𝑉𝑄 = ((LSpan‘𝑊)‘{𝑣})) → (¬ 𝑣𝑈 → (𝑈 ((LSpan‘𝑊)‘{𝑣})) = 𝑉))
3120, 30sylbird 250 . . . . . 6 ((𝜑𝑣𝑉𝑄 = ((LSpan‘𝑊)‘{𝑣})) → (¬ ((LSpan‘𝑊)‘{𝑣}) ⊆ 𝑈 → (𝑈 ((LSpan‘𝑊)‘{𝑣})) = 𝑉))
32 sseq1 3767 . . . . . . . . 9 (𝑄 = ((LSpan‘𝑊)‘{𝑣}) → (𝑄𝑈 ↔ ((LSpan‘𝑊)‘{𝑣}) ⊆ 𝑈))
3332notbid 307 . . . . . . . 8 (𝑄 = ((LSpan‘𝑊)‘{𝑣}) → (¬ 𝑄𝑈 ↔ ¬ ((LSpan‘𝑊)‘{𝑣}) ⊆ 𝑈))
34 oveq2 6821 . . . . . . . . 9 (𝑄 = ((LSpan‘𝑊)‘{𝑣}) → (𝑈 𝑄) = (𝑈 ((LSpan‘𝑊)‘{𝑣})))
3534eqeq1d 2762 . . . . . . . 8 (𝑄 = ((LSpan‘𝑊)‘{𝑣}) → ((𝑈 𝑄) = 𝑉 ↔ (𝑈 ((LSpan‘𝑊)‘{𝑣})) = 𝑉))
3633, 35imbi12d 333 . . . . . . 7 (𝑄 = ((LSpan‘𝑊)‘{𝑣}) → ((¬ 𝑄𝑈 → (𝑈 𝑄) = 𝑉) ↔ (¬ ((LSpan‘𝑊)‘{𝑣}) ⊆ 𝑈 → (𝑈 ((LSpan‘𝑊)‘{𝑣})) = 𝑉)))
37363ad2ant3 1130 . . . . . 6 ((𝜑𝑣𝑉𝑄 = ((LSpan‘𝑊)‘{𝑣})) → ((¬ 𝑄𝑈 → (𝑈 𝑄) = 𝑉) ↔ (¬ ((LSpan‘𝑊)‘{𝑣}) ⊆ 𝑈 → (𝑈 ((LSpan‘𝑊)‘{𝑣})) = 𝑉)))
3831, 37mpbird 247 . . . . 5 ((𝜑𝑣𝑉𝑄 = ((LSpan‘𝑊)‘{𝑣})) → (¬ 𝑄𝑈 → (𝑈 𝑄) = 𝑉))
39383exp 1113 . . . 4 (𝜑 → (𝑣𝑉 → (𝑄 = ((LSpan‘𝑊)‘{𝑣}) → (¬ 𝑄𝑈 → (𝑈 𝑄) = 𝑉))))
4011, 39syl5 34 . . 3 (𝜑 → (𝑣 ∈ (𝑉 ∖ {(0g𝑊)}) → (𝑄 = ((LSpan‘𝑊)‘{𝑣}) → (¬ 𝑄𝑈 → (𝑈 𝑄) = 𝑉))))
4140rexlimdv 3168 . 2 (𝜑 → (∃𝑣 ∈ (𝑉 ∖ {(0g𝑊)})𝑄 = ((LSpan‘𝑊)‘{𝑣}) → (¬ 𝑄𝑈 → (𝑈 𝑄) = 𝑉)))
429, 10, 41mp2d 49 1 (𝜑 → (𝑈 𝑄) = 𝑉)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wb 196  w3a 1072   = wceq 1632  wcel 2139  wrex 3051  cdif 3712  wss 3715  {csn 4321   class class class wbr 4804  cfv 6049  (class class class)co 6813  Basecbs 16059  0gc0g 16302  LSSumclsm 18249  LModclmod 19065  LSubSpclss 19134  LSpanclspn 19173  LVecclvec 19304  LSAtomsclsa 34764  LSHypclsh 34765  L clcv 34808
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1871  ax-4 1886  ax-5 1988  ax-6 2054  ax-7 2090  ax-8 2141  ax-9 2148  ax-10 2168  ax-11 2183  ax-12 2196  ax-13 2391  ax-ext 2740  ax-rep 4923  ax-sep 4933  ax-nul 4941  ax-pow 4992  ax-pr 5055  ax-un 7114  ax-cnex 10184  ax-resscn 10185  ax-1cn 10186  ax-icn 10187  ax-addcl 10188  ax-addrcl 10189  ax-mulcl 10190  ax-mulrcl 10191  ax-mulcom 10192  ax-addass 10193  ax-mulass 10194  ax-distr 10195  ax-i2m1 10196  ax-1ne0 10197  ax-1rid 10198  ax-rnegex 10199  ax-rrecex 10200  ax-cnre 10201  ax-pre-lttri 10202  ax-pre-lttrn 10203  ax-pre-ltadd 10204  ax-pre-mulgt0 10205
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3or 1073  df-3an 1074  df-tru 1635  df-ex 1854  df-nf 1859  df-sb 2047  df-eu 2611  df-mo 2612  df-clab 2747  df-cleq 2753  df-clel 2756  df-nfc 2891  df-ne 2933  df-nel 3036  df-ral 3055  df-rex 3056  df-reu 3057  df-rmo 3058  df-rab 3059  df-v 3342  df-sbc 3577  df-csb 3675  df-dif 3718  df-un 3720  df-in 3722  df-ss 3729  df-pss 3731  df-nul 4059  df-if 4231  df-pw 4304  df-sn 4322  df-pr 4324  df-tp 4326  df-op 4328  df-uni 4589  df-int 4628  df-iun 4674  df-br 4805  df-opab 4865  df-mpt 4882  df-tr 4905  df-id 5174  df-eprel 5179  df-po 5187  df-so 5188  df-fr 5225  df-we 5227  df-xp 5272  df-rel 5273  df-cnv 5274  df-co 5275  df-dm 5276  df-rn 5277  df-res 5278  df-ima 5279  df-pred 5841  df-ord 5887  df-on 5888  df-lim 5889  df-suc 5890  df-iota 6012  df-fun 6051  df-fn 6052  df-f 6053  df-f1 6054  df-fo 6055  df-f1o 6056  df-fv 6057  df-riota 6774  df-ov 6816  df-oprab 6817  df-mpt2 6818  df-om 7231  df-1st 7333  df-2nd 7334  df-tpos 7521  df-wrecs 7576  df-recs 7637  df-rdg 7675  df-er 7911  df-en 8122  df-dom 8123  df-sdom 8124  df-pnf 10268  df-mnf 10269  df-xr 10270  df-ltxr 10271  df-le 10272  df-sub 10460  df-neg 10461  df-nn 11213  df-2 11271  df-3 11272  df-ndx 16062  df-slot 16063  df-base 16065  df-sets 16066  df-ress 16067  df-plusg 16156  df-mulr 16157  df-0g 16304  df-mgm 17443  df-sgrp 17485  df-mnd 17496  df-submnd 17537  df-grp 17626  df-minusg 17627  df-sbg 17628  df-subg 17792  df-cntz 17950  df-lsm 18251  df-cmn 18395  df-abl 18396  df-mgp 18690  df-ur 18702  df-ring 18749  df-oppr 18823  df-dvdsr 18841  df-unit 18842  df-invr 18872  df-drng 18951  df-lmod 19067  df-lss 19135  df-lsp 19174  df-lvec 19305  df-lsatoms 34766  df-lshyp 34767  df-lcv 34809
This theorem is referenced by:  l1cvat  34845
  Copyright terms: Public domain W3C validator