MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  latabs2 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem latabs2 17260
Description: Lattice absorption law. From definition of lattice in [Kalmbach] p. 14. (chabs2 28656 analog.) (Contributed by NM, 8-Nov-2011.)
Hypotheses
Ref Expression
latabs1.b 𝐵 = (Base‘𝐾)
latabs1.j = (join‘𝐾)
latabs1.m = (meet‘𝐾)
Assertion
Ref Expression
latabs2 ((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑋𝐵𝑌𝐵) → (𝑋 (𝑋 𝑌)) = 𝑋)

Proof of Theorem latabs2
StepHypRef Expression
1 latabs1.b . . 3 𝐵 = (Base‘𝐾)
2 eqid 2748 . . 3 (le‘𝐾) = (le‘𝐾)
3 latabs1.j . . 3 = (join‘𝐾)
41, 2, 3latlej1 17232 . 2 ((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑋𝐵𝑌𝐵) → 𝑋(le‘𝐾)(𝑋 𝑌))
51, 3latjcl 17223 . . 3 ((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑋𝐵𝑌𝐵) → (𝑋 𝑌) ∈ 𝐵)
6 latabs1.m . . . 4 = (meet‘𝐾)
71, 2, 6latleeqm1 17251 . . 3 ((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑋𝐵 ∧ (𝑋 𝑌) ∈ 𝐵) → (𝑋(le‘𝐾)(𝑋 𝑌) ↔ (𝑋 (𝑋 𝑌)) = 𝑋))
85, 7syld3an3 1508 . 2 ((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑋𝐵𝑌𝐵) → (𝑋(le‘𝐾)(𝑋 𝑌) ↔ (𝑋 (𝑋 𝑌)) = 𝑋))
94, 8mpbid 222 1 ((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑋𝐵𝑌𝐵) → (𝑋 (𝑋 𝑌)) = 𝑋)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 196  w3a 1072   = wceq 1620  wcel 2127   class class class wbr 4792  cfv 6037  (class class class)co 6801  Basecbs 16030  lecple 16121  joincjn 17116  meetcmee 17117  Latclat 17217
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1859  ax-4 1874  ax-5 1976  ax-6 2042  ax-7 2078  ax-8 2129  ax-9 2136  ax-10 2156  ax-11 2171  ax-12 2184  ax-13 2379  ax-ext 2728  ax-rep 4911  ax-sep 4921  ax-nul 4929  ax-pow 4980  ax-pr 5043  ax-un 7102
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3an 1074  df-tru 1623  df-ex 1842  df-nf 1847  df-sb 2035  df-eu 2599  df-mo 2600  df-clab 2735  df-cleq 2741  df-clel 2744  df-nfc 2879  df-ne 2921  df-ral 3043  df-rex 3044  df-reu 3045  df-rab 3047  df-v 3330  df-sbc 3565  df-csb 3663  df-dif 3706  df-un 3708  df-in 3710  df-ss 3717  df-nul 4047  df-if 4219  df-pw 4292  df-sn 4310  df-pr 4312  df-op 4316  df-uni 4577  df-iun 4662  df-br 4793  df-opab 4853  df-mpt 4870  df-id 5162  df-xp 5260  df-rel 5261  df-cnv 5262  df-co 5263  df-dm 5264  df-rn 5265  df-res 5266  df-ima 5267  df-iota 6000  df-fun 6039  df-fn 6040  df-f 6041  df-f1 6042  df-fo 6043  df-f1o 6044  df-fv 6045  df-riota 6762  df-ov 6804  df-oprab 6805  df-preset 17100  df-poset 17118  df-lub 17146  df-glb 17147  df-join 17148  df-meet 17149  df-lat 17218
This theorem is referenced by:  latdisdlem  17361  cmtbr3N  35013  cdlemc6  35955  cdlemkid1  36681  cdlemkid2  36683
  Copyright terms: Public domain W3C validator