MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  latasymd Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem latasymd 17258
Description: Deduce equality from lattice ordering. (eqssd 3761 analog.) (Contributed by NM, 18-Nov-2011.)
Hypotheses
Ref Expression
latasymd.b 𝐵 = (Base‘𝐾)
latasymd.l = (le‘𝐾)
latasymd.3 (𝜑𝐾 ∈ Lat)
latasymd.4 (𝜑𝑋𝐵)
latasymd.5 (𝜑𝑌𝐵)
latasymd.6 (𝜑𝑋 𝑌)
latasymd.7 (𝜑𝑌 𝑋)
Assertion
Ref Expression
latasymd (𝜑𝑋 = 𝑌)

Proof of Theorem latasymd
StepHypRef Expression
1 latasymd.6 . 2 (𝜑𝑋 𝑌)
2 latasymd.7 . 2 (𝜑𝑌 𝑋)
3 latasymd.3 . . 3 (𝜑𝐾 ∈ Lat)
4 latasymd.4 . . 3 (𝜑𝑋𝐵)
5 latasymd.5 . . 3 (𝜑𝑌𝐵)
6 latasymd.b . . . 4 𝐵 = (Base‘𝐾)
7 latasymd.l . . . 4 = (le‘𝐾)
86, 7latasymb 17255 . . 3 ((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑋𝐵𝑌𝐵) → ((𝑋 𝑌𝑌 𝑋) ↔ 𝑋 = 𝑌))
93, 4, 5, 8syl3anc 1477 . 2 (𝜑 → ((𝑋 𝑌𝑌 𝑋) ↔ 𝑋 = 𝑌))
101, 2, 9mpbi2and 994 1 (𝜑𝑋 = 𝑌)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 196  wa 383   = wceq 1632  wcel 2139   class class class wbr 4804  cfv 6049  Basecbs 16059  lecple 16150  Latclat 17246
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1871  ax-4 1886  ax-5 1988  ax-6 2054  ax-7 2090  ax-9 2148  ax-10 2168  ax-11 2183  ax-12 2196  ax-13 2391  ax-ext 2740  ax-nul 4941
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3an 1074  df-tru 1635  df-ex 1854  df-nf 1859  df-sb 2047  df-eu 2611  df-clab 2747  df-cleq 2753  df-clel 2756  df-nfc 2891  df-ral 3055  df-rex 3056  df-rab 3059  df-v 3342  df-sbc 3577  df-dif 3718  df-un 3720  df-in 3722  df-ss 3729  df-nul 4059  df-if 4231  df-sn 4322  df-pr 4324  df-op 4328  df-uni 4589  df-br 4805  df-opab 4865  df-xp 5272  df-dm 5276  df-iota 6012  df-fv 6057  df-preset 17129  df-poset 17147  df-lat 17247
This theorem is referenced by:  latjidm  17275  latmidm  17287  latjass  17296  oldmm1  35007  olj01  35015  olm01  35026  cvlcvr1  35129  llnmlplnN  35328  2llnjaN  35355  2lplnja  35408  cdlema1N  35580  hlmod1i  35645  lautj  35882  lautm  35883  cdleme19a  36093  cdleme28b  36161  trljco  36530  dochvalr  37148
  Copyright terms: Public domain W3C validator