MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  latasymd Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem latasymd 16973
Description: Deduce equality from lattice ordering. (eqssd 3605 analog.) (Contributed by NM, 18-Nov-2011.)
Hypotheses
Ref Expression
latasymd.b 𝐵 = (Base‘𝐾)
latasymd.l = (le‘𝐾)
latasymd.3 (𝜑𝐾 ∈ Lat)
latasymd.4 (𝜑𝑋𝐵)
latasymd.5 (𝜑𝑌𝐵)
latasymd.6 (𝜑𝑋 𝑌)
latasymd.7 (𝜑𝑌 𝑋)
Assertion
Ref Expression
latasymd (𝜑𝑋 = 𝑌)

Proof of Theorem latasymd
StepHypRef Expression
1 latasymd.6 . 2 (𝜑𝑋 𝑌)
2 latasymd.7 . 2 (𝜑𝑌 𝑋)
3 latasymd.3 . . 3 (𝜑𝐾 ∈ Lat)
4 latasymd.4 . . 3 (𝜑𝑋𝐵)
5 latasymd.5 . . 3 (𝜑𝑌𝐵)
6 latasymd.b . . . 4 𝐵 = (Base‘𝐾)
7 latasymd.l . . . 4 = (le‘𝐾)
86, 7latasymb 16970 . . 3 ((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑋𝐵𝑌𝐵) → ((𝑋 𝑌𝑌 𝑋) ↔ 𝑋 = 𝑌))
93, 4, 5, 8syl3anc 1323 . 2 (𝜑 → ((𝑋 𝑌𝑌 𝑋) ↔ 𝑋 = 𝑌))
101, 2, 9mpbi2and 955 1 (𝜑𝑋 = 𝑌)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 196  wa 384   = wceq 1480  wcel 1992   class class class wbr 4618  cfv 5850  Basecbs 15776  lecple 15864  Latclat 16961
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1719  ax-4 1734  ax-5 1841  ax-6 1890  ax-7 1937  ax-9 2001  ax-10 2021  ax-11 2036  ax-12 2049  ax-13 2250  ax-ext 2606  ax-nul 4754
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3an 1038  df-tru 1483  df-ex 1702  df-nf 1707  df-sb 1883  df-eu 2478  df-clab 2613  df-cleq 2619  df-clel 2622  df-nfc 2756  df-ral 2917  df-rex 2918  df-rab 2921  df-v 3193  df-sbc 3423  df-dif 3563  df-un 3565  df-in 3567  df-ss 3574  df-nul 3897  df-if 4064  df-sn 4154  df-pr 4156  df-op 4160  df-uni 4408  df-br 4619  df-opab 4679  df-xp 5085  df-dm 5089  df-iota 5813  df-fv 5858  df-preset 16844  df-poset 16862  df-lat 16962
This theorem is referenced by:  latjidm  16990  latmidm  17002  latjass  17011  oldmm1  33970  olj01  33978  olm01  33989  cvlcvr1  34092  llnmlplnN  34291  2llnjaN  34318  2lplnja  34371  cdlema1N  34543  hlmod1i  34608  lautj  34845  lautm  34846  cdleme19a  35057  cdleme28b  35125  trljco  35494  dochvalr  36112
  Copyright terms: Public domain W3C validator