MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  latdisd Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem latdisd 17114
Description: In a lattice, joins distribute over meets if and only if meets distribute over joins; the distributive property is self-dual. (Contributed by Stefan O'Rear, 29-Jan-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
latdisd.b 𝐵 = (Base‘𝐾)
latdisd.j = (join‘𝐾)
latdisd.m = (meet‘𝐾)
Assertion
Ref Expression
latdisd (𝐾 ∈ Lat → (∀𝑥𝐵𝑦𝐵𝑧𝐵 (𝑥 (𝑦 𝑧)) = ((𝑥 𝑦) (𝑥 𝑧)) ↔ ∀𝑥𝐵𝑦𝐵𝑧𝐵 (𝑥 (𝑦 𝑧)) = ((𝑥 𝑦) (𝑥 𝑧))))
Distinct variable groups:   𝑥,𝑦,𝑧,𝐾   𝑥,𝐵,𝑦,𝑧   𝑥, ,𝑦,𝑧   𝑥, ,𝑦,𝑧

Proof of Theorem latdisd
Dummy variables 𝑣 𝑢 𝑤 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 latdisd.b . . . 4 𝐵 = (Base‘𝐾)
2 latdisd.j . . . 4 = (join‘𝐾)
3 latdisd.m . . . 4 = (meet‘𝐾)
41, 2, 3latdisdlem 17113 . . 3 (𝐾 ∈ Lat → (∀𝑥𝐵𝑦𝐵𝑧𝐵 (𝑥 (𝑦 𝑧)) = ((𝑥 𝑦) (𝑥 𝑧)) → ∀𝑢𝐵𝑣𝐵𝑤𝐵 (𝑢 (𝑣 𝑤)) = ((𝑢 𝑣) (𝑢 𝑤))))
5 eqid 2621 . . . . 5 (ODual‘𝐾) = (ODual‘𝐾)
65odulat 17069 . . . 4 (𝐾 ∈ Lat → (ODual‘𝐾) ∈ Lat)
75, 1odubas 17057 . . . . 5 𝐵 = (Base‘(ODual‘𝐾))
85, 3odujoin 17066 . . . . 5 = (join‘(ODual‘𝐾))
95, 2odumeet 17064 . . . . 5 = (meet‘(ODual‘𝐾))
107, 8, 9latdisdlem 17113 . . . 4 ((ODual‘𝐾) ∈ Lat → (∀𝑢𝐵𝑣𝐵𝑤𝐵 (𝑢 (𝑣 𝑤)) = ((𝑢 𝑣) (𝑢 𝑤)) → ∀𝑥𝐵𝑦𝐵𝑧𝐵 (𝑥 (𝑦 𝑧)) = ((𝑥 𝑦) (𝑥 𝑧))))
116, 10syl 17 . . 3 (𝐾 ∈ Lat → (∀𝑢𝐵𝑣𝐵𝑤𝐵 (𝑢 (𝑣 𝑤)) = ((𝑢 𝑣) (𝑢 𝑤)) → ∀𝑥𝐵𝑦𝐵𝑧𝐵 (𝑥 (𝑦 𝑧)) = ((𝑥 𝑦) (𝑥 𝑧))))
124, 11impbid 202 . 2 (𝐾 ∈ Lat → (∀𝑥𝐵𝑦𝐵𝑧𝐵 (𝑥 (𝑦 𝑧)) = ((𝑥 𝑦) (𝑥 𝑧)) ↔ ∀𝑢𝐵𝑣𝐵𝑤𝐵 (𝑢 (𝑣 𝑤)) = ((𝑢 𝑣) (𝑢 𝑤))))
13 oveq1 6614 . . . 4 (𝑢 = 𝑥 → (𝑢 (𝑣 𝑤)) = (𝑥 (𝑣 𝑤)))
14 oveq1 6614 . . . . 5 (𝑢 = 𝑥 → (𝑢 𝑣) = (𝑥 𝑣))
15 oveq1 6614 . . . . 5 (𝑢 = 𝑥 → (𝑢 𝑤) = (𝑥 𝑤))
1614, 15oveq12d 6625 . . . 4 (𝑢 = 𝑥 → ((𝑢 𝑣) (𝑢 𝑤)) = ((𝑥 𝑣) (𝑥 𝑤)))
1713, 16eqeq12d 2636 . . 3 (𝑢 = 𝑥 → ((𝑢 (𝑣 𝑤)) = ((𝑢 𝑣) (𝑢 𝑤)) ↔ (𝑥 (𝑣 𝑤)) = ((𝑥 𝑣) (𝑥 𝑤))))
18 oveq1 6614 . . . . 5 (𝑣 = 𝑦 → (𝑣 𝑤) = (𝑦 𝑤))
1918oveq2d 6623 . . . 4 (𝑣 = 𝑦 → (𝑥 (𝑣 𝑤)) = (𝑥 (𝑦 𝑤)))
20 oveq2 6615 . . . . 5 (𝑣 = 𝑦 → (𝑥 𝑣) = (𝑥 𝑦))
2120oveq1d 6622 . . . 4 (𝑣 = 𝑦 → ((𝑥 𝑣) (𝑥 𝑤)) = ((𝑥 𝑦) (𝑥 𝑤)))
2219, 21eqeq12d 2636 . . 3 (𝑣 = 𝑦 → ((𝑥 (𝑣 𝑤)) = ((𝑥 𝑣) (𝑥 𝑤)) ↔ (𝑥 (𝑦 𝑤)) = ((𝑥 𝑦) (𝑥 𝑤))))
23 oveq2 6615 . . . . 5 (𝑤 = 𝑧 → (𝑦 𝑤) = (𝑦 𝑧))
2423oveq2d 6623 . . . 4 (𝑤 = 𝑧 → (𝑥 (𝑦 𝑤)) = (𝑥 (𝑦 𝑧)))
25 oveq2 6615 . . . . 5 (𝑤 = 𝑧 → (𝑥 𝑤) = (𝑥 𝑧))
2625oveq2d 6623 . . . 4 (𝑤 = 𝑧 → ((𝑥 𝑦) (𝑥 𝑤)) = ((𝑥 𝑦) (𝑥 𝑧)))
2724, 26eqeq12d 2636 . . 3 (𝑤 = 𝑧 → ((𝑥 (𝑦 𝑤)) = ((𝑥 𝑦) (𝑥 𝑤)) ↔ (𝑥 (𝑦 𝑧)) = ((𝑥 𝑦) (𝑥 𝑧))))
2817, 22, 27cbvral3v 3169 . 2 (∀𝑢𝐵𝑣𝐵𝑤𝐵 (𝑢 (𝑣 𝑤)) = ((𝑢 𝑣) (𝑢 𝑤)) ↔ ∀𝑥𝐵𝑦𝐵𝑧𝐵 (𝑥 (𝑦 𝑧)) = ((𝑥 𝑦) (𝑥 𝑧)))
2912, 28syl6bb 276 1 (𝐾 ∈ Lat → (∀𝑥𝐵𝑦𝐵𝑧𝐵 (𝑥 (𝑦 𝑧)) = ((𝑥 𝑦) (𝑥 𝑧)) ↔ ∀𝑥𝐵𝑦𝐵𝑧𝐵 (𝑥 (𝑦 𝑧)) = ((𝑥 𝑦) (𝑥 𝑧))))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 196   = wceq 1480  wcel 1987  wral 2907  cfv 5849  (class class class)co 6607  Basecbs 15784  joincjn 16868  meetcmee 16869  Latclat 16969  ODualcodu 17052
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1719  ax-4 1734  ax-5 1836  ax-6 1885  ax-7 1932  ax-8 1989  ax-9 1996  ax-10 2016  ax-11 2031  ax-12 2044  ax-13 2245  ax-ext 2601  ax-rep 4733  ax-sep 4743  ax-nul 4751  ax-pow 4805  ax-pr 4869  ax-un 6905  ax-cnex 9939  ax-resscn 9940  ax-1cn 9941  ax-icn 9942  ax-addcl 9943  ax-addrcl 9944  ax-mulcl 9945  ax-mulrcl 9946  ax-mulcom 9947  ax-addass 9948  ax-mulass 9949  ax-distr 9950  ax-i2m1 9951  ax-1ne0 9952  ax-1rid 9953  ax-rnegex 9954  ax-rrecex 9955  ax-cnre 9956  ax-pre-lttri 9957  ax-pre-lttrn 9958  ax-pre-ltadd 9959  ax-pre-mulgt0 9960
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1037  df-3an 1038  df-tru 1483  df-ex 1702  df-nf 1707  df-sb 1878  df-eu 2473  df-mo 2474  df-clab 2608  df-cleq 2614  df-clel 2617  df-nfc 2750  df-ne 2791  df-nel 2894  df-ral 2912  df-rex 2913  df-reu 2914  df-rmo 2915  df-rab 2916  df-v 3188  df-sbc 3419  df-csb 3516  df-dif 3559  df-un 3561  df-in 3563  df-ss 3570  df-pss 3572  df-nul 3894  df-if 4061  df-pw 4134  df-sn 4151  df-pr 4153  df-tp 4155  df-op 4157  df-uni 4405  df-iun 4489  df-br 4616  df-opab 4676  df-mpt 4677  df-tr 4715  df-eprel 4987  df-id 4991  df-po 4997  df-so 4998  df-fr 5035  df-we 5037  df-xp 5082  df-rel 5083  df-cnv 5084  df-co 5085  df-dm 5086  df-rn 5087  df-res 5088  df-ima 5089  df-pred 5641  df-ord 5687  df-on 5688  df-lim 5689  df-suc 5690  df-iota 5812  df-fun 5851  df-fn 5852  df-f 5853  df-f1 5854  df-fo 5855  df-f1o 5856  df-fv 5857  df-riota 6568  df-ov 6610  df-oprab 6611  df-mpt2 6612  df-om 7016  df-wrecs 7355  df-recs 7416  df-rdg 7454  df-er 7690  df-en 7903  df-dom 7904  df-sdom 7905  df-pnf 10023  df-mnf 10024  df-xr 10025  df-ltxr 10026  df-le 10027  df-sub 10215  df-neg 10216  df-nn 10968  df-2 11026  df-3 11027  df-4 11028  df-5 11029  df-6 11030  df-7 11031  df-8 11032  df-9 11033  df-dec 11441  df-ndx 15787  df-slot 15788  df-base 15789  df-sets 15790  df-ple 15885  df-preset 16852  df-poset 16870  df-lub 16898  df-glb 16899  df-join 16900  df-meet 16901  df-lat 16970  df-odu 17053
This theorem is referenced by:  odudlatb  17120
  Copyright terms: Public domain W3C validator