Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  latdisdlem Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem latdisdlem 17236
 Description: Lemma for latdisd 17237. (Contributed by Stefan O'Rear, 30-Jan-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
latdisd.b 𝐵 = (Base‘𝐾)
latdisd.j = (join‘𝐾)
latdisd.m = (meet‘𝐾)
Assertion
Ref Expression
latdisdlem (𝐾 ∈ Lat → (∀𝑢𝐵𝑣𝐵𝑤𝐵 (𝑢 (𝑣 𝑤)) = ((𝑢 𝑣) (𝑢 𝑤)) → ∀𝑥𝐵𝑦𝐵𝑧𝐵 (𝑥 (𝑦 𝑧)) = ((𝑥 𝑦) (𝑥 𝑧))))
Distinct variable groups:   𝑣,𝑢,𝑤,𝑥,𝑦,𝑧,𝐾   𝑢,𝐵,𝑣,𝑤,𝑥,𝑦,𝑧   𝑢, ,𝑣,𝑤,𝑥,𝑦,𝑧   𝑢, ,𝑣,𝑤,𝑥,𝑦,𝑧

Proof of Theorem latdisdlem
StepHypRef Expression
1 latdisd.b . . . . . . . . 9 𝐵 = (Base‘𝐾)
2 latdisd.m . . . . . . . . 9 = (meet‘𝐾)
31, 2latmcl 17099 . . . . . . . 8 ((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑥𝐵𝑦𝐵) → (𝑥 𝑦) ∈ 𝐵)
433adant3r3 1297 . . . . . . 7 ((𝐾 ∈ Lat ∧ (𝑥𝐵𝑦𝐵𝑧𝐵)) → (𝑥 𝑦) ∈ 𝐵)
5 simpr1 1087 . . . . . . 7 ((𝐾 ∈ Lat ∧ (𝑥𝐵𝑦𝐵𝑧𝐵)) → 𝑥𝐵)
6 simpr3 1089 . . . . . . 7 ((𝐾 ∈ Lat ∧ (𝑥𝐵𝑦𝐵𝑧𝐵)) → 𝑧𝐵)
7 oveq1 6697 . . . . . . . . 9 (𝑢 = (𝑥 𝑦) → (𝑢 (𝑣 𝑤)) = ((𝑥 𝑦) (𝑣 𝑤)))
8 oveq1 6697 . . . . . . . . . 10 (𝑢 = (𝑥 𝑦) → (𝑢 𝑣) = ((𝑥 𝑦) 𝑣))
9 oveq1 6697 . . . . . . . . . 10 (𝑢 = (𝑥 𝑦) → (𝑢 𝑤) = ((𝑥 𝑦) 𝑤))
108, 9oveq12d 6708 . . . . . . . . 9 (𝑢 = (𝑥 𝑦) → ((𝑢 𝑣) (𝑢 𝑤)) = (((𝑥 𝑦) 𝑣) ((𝑥 𝑦) 𝑤)))
117, 10eqeq12d 2666 . . . . . . . 8 (𝑢 = (𝑥 𝑦) → ((𝑢 (𝑣 𝑤)) = ((𝑢 𝑣) (𝑢 𝑤)) ↔ ((𝑥 𝑦) (𝑣 𝑤)) = (((𝑥 𝑦) 𝑣) ((𝑥 𝑦) 𝑤))))
12 oveq1 6697 . . . . . . . . . 10 (𝑣 = 𝑥 → (𝑣 𝑤) = (𝑥 𝑤))
1312oveq2d 6706 . . . . . . . . 9 (𝑣 = 𝑥 → ((𝑥 𝑦) (𝑣 𝑤)) = ((𝑥 𝑦) (𝑥 𝑤)))
14 oveq2 6698 . . . . . . . . . 10 (𝑣 = 𝑥 → ((𝑥 𝑦) 𝑣) = ((𝑥 𝑦) 𝑥))
1514oveq1d 6705 . . . . . . . . 9 (𝑣 = 𝑥 → (((𝑥 𝑦) 𝑣) ((𝑥 𝑦) 𝑤)) = (((𝑥 𝑦) 𝑥) ((𝑥 𝑦) 𝑤)))
1613, 15eqeq12d 2666 . . . . . . . 8 (𝑣 = 𝑥 → (((𝑥 𝑦) (𝑣 𝑤)) = (((𝑥 𝑦) 𝑣) ((𝑥 𝑦) 𝑤)) ↔ ((𝑥 𝑦) (𝑥 𝑤)) = (((𝑥 𝑦) 𝑥) ((𝑥 𝑦) 𝑤))))
17 oveq2 6698 . . . . . . . . . 10 (𝑤 = 𝑧 → (𝑥 𝑤) = (𝑥 𝑧))
1817oveq2d 6706 . . . . . . . . 9 (𝑤 = 𝑧 → ((𝑥 𝑦) (𝑥 𝑤)) = ((𝑥 𝑦) (𝑥 𝑧)))
19 oveq2 6698 . . . . . . . . . 10 (𝑤 = 𝑧 → ((𝑥 𝑦) 𝑤) = ((𝑥 𝑦) 𝑧))
2019oveq2d 6706 . . . . . . . . 9 (𝑤 = 𝑧 → (((𝑥 𝑦) 𝑥) ((𝑥 𝑦) 𝑤)) = (((𝑥 𝑦) 𝑥) ((𝑥 𝑦) 𝑧)))
2118, 20eqeq12d 2666 . . . . . . . 8 (𝑤 = 𝑧 → (((𝑥 𝑦) (𝑥 𝑤)) = (((𝑥 𝑦) 𝑥) ((𝑥 𝑦) 𝑤)) ↔ ((𝑥 𝑦) (𝑥 𝑧)) = (((𝑥 𝑦) 𝑥) ((𝑥 𝑦) 𝑧))))
2211, 16, 21rspc3v 3356 . . . . . . 7 (((𝑥 𝑦) ∈ 𝐵𝑥𝐵𝑧𝐵) → (∀𝑢𝐵𝑣𝐵𝑤𝐵 (𝑢 (𝑣 𝑤)) = ((𝑢 𝑣) (𝑢 𝑤)) → ((𝑥 𝑦) (𝑥 𝑧)) = (((𝑥 𝑦) 𝑥) ((𝑥 𝑦) 𝑧))))
234, 5, 6, 22syl3anc 1366 . . . . . 6 ((𝐾 ∈ Lat ∧ (𝑥𝐵𝑦𝐵𝑧𝐵)) → (∀𝑢𝐵𝑣𝐵𝑤𝐵 (𝑢 (𝑣 𝑤)) = ((𝑢 𝑣) (𝑢 𝑤)) → ((𝑥 𝑦) (𝑥 𝑧)) = (((𝑥 𝑦) 𝑥) ((𝑥 𝑦) 𝑧))))
2423imp 444 . . . . 5 (((𝐾 ∈ Lat ∧ (𝑥𝐵𝑦𝐵𝑧𝐵)) ∧ ∀𝑢𝐵𝑣𝐵𝑤𝐵 (𝑢 (𝑣 𝑤)) = ((𝑢 𝑣) (𝑢 𝑤))) → ((𝑥 𝑦) (𝑥 𝑧)) = (((𝑥 𝑦) 𝑥) ((𝑥 𝑦) 𝑧)))
25 simpl 472 . . . . . . . . 9 ((𝐾 ∈ Lat ∧ (𝑥𝐵𝑦𝐵𝑧𝐵)) → 𝐾 ∈ Lat)
26 latdisd.j . . . . . . . . . 10 = (join‘𝐾)
271, 26latjcom 17106 . . . . . . . . 9 ((𝐾 ∈ Lat ∧ (𝑥 𝑦) ∈ 𝐵𝑥𝐵) → ((𝑥 𝑦) 𝑥) = (𝑥 (𝑥 𝑦)))
2825, 4, 5, 27syl3anc 1366 . . . . . . . 8 ((𝐾 ∈ Lat ∧ (𝑥𝐵𝑦𝐵𝑧𝐵)) → ((𝑥 𝑦) 𝑥) = (𝑥 (𝑥 𝑦)))
291, 26, 2latabs1 17134 . . . . . . . . 9 ((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑥𝐵𝑦𝐵) → (𝑥 (𝑥 𝑦)) = 𝑥)
30293adant3r3 1297 . . . . . . . 8 ((𝐾 ∈ Lat ∧ (𝑥𝐵𝑦𝐵𝑧𝐵)) → (𝑥 (𝑥 𝑦)) = 𝑥)
3128, 30eqtrd 2685 . . . . . . 7 ((𝐾 ∈ Lat ∧ (𝑥𝐵𝑦𝐵𝑧𝐵)) → ((𝑥 𝑦) 𝑥) = 𝑥)
321, 26latjcom 17106 . . . . . . . 8 ((𝐾 ∈ Lat ∧ (𝑥 𝑦) ∈ 𝐵𝑧𝐵) → ((𝑥 𝑦) 𝑧) = (𝑧 (𝑥 𝑦)))
3325, 4, 6, 32syl3anc 1366 . . . . . . 7 ((𝐾 ∈ Lat ∧ (𝑥𝐵𝑦𝐵𝑧𝐵)) → ((𝑥 𝑦) 𝑧) = (𝑧 (𝑥 𝑦)))
3431, 33oveq12d 6708 . . . . . 6 ((𝐾 ∈ Lat ∧ (𝑥𝐵𝑦𝐵𝑧𝐵)) → (((𝑥 𝑦) 𝑥) ((𝑥 𝑦) 𝑧)) = (𝑥 (𝑧 (𝑥 𝑦))))
3534adantr 480 . . . . 5 (((𝐾 ∈ Lat ∧ (𝑥𝐵𝑦𝐵𝑧𝐵)) ∧ ∀𝑢𝐵𝑣𝐵𝑤𝐵 (𝑢 (𝑣 𝑤)) = ((𝑢 𝑣) (𝑢 𝑤))) → (((𝑥 𝑦) 𝑥) ((𝑥 𝑦) 𝑧)) = (𝑥 (𝑧 (𝑥 𝑦))))
36 simpr2 1088 . . . . . . . . 9 ((𝐾 ∈ Lat ∧ (𝑥𝐵𝑦𝐵𝑧𝐵)) → 𝑦𝐵)
37 oveq1 6697 . . . . . . . . . . 11 (𝑢 = 𝑧 → (𝑢 (𝑣 𝑤)) = (𝑧 (𝑣 𝑤)))
38 oveq1 6697 . . . . . . . . . . . 12 (𝑢 = 𝑧 → (𝑢 𝑣) = (𝑧 𝑣))
39 oveq1 6697 . . . . . . . . . . . 12 (𝑢 = 𝑧 → (𝑢 𝑤) = (𝑧 𝑤))
4038, 39oveq12d 6708 . . . . . . . . . . 11 (𝑢 = 𝑧 → ((𝑢 𝑣) (𝑢 𝑤)) = ((𝑧 𝑣) (𝑧 𝑤)))
4137, 40eqeq12d 2666 . . . . . . . . . 10 (𝑢 = 𝑧 → ((𝑢 (𝑣 𝑤)) = ((𝑢 𝑣) (𝑢 𝑤)) ↔ (𝑧 (𝑣 𝑤)) = ((𝑧 𝑣) (𝑧 𝑤))))
4212oveq2d 6706 . . . . . . . . . . 11 (𝑣 = 𝑥 → (𝑧 (𝑣 𝑤)) = (𝑧 (𝑥 𝑤)))
43 oveq2 6698 . . . . . . . . . . . 12 (𝑣 = 𝑥 → (𝑧 𝑣) = (𝑧 𝑥))
4443oveq1d 6705 . . . . . . . . . . 11 (𝑣 = 𝑥 → ((𝑧 𝑣) (𝑧 𝑤)) = ((𝑧 𝑥) (𝑧 𝑤)))
4542, 44eqeq12d 2666 . . . . . . . . . 10 (𝑣 = 𝑥 → ((𝑧 (𝑣 𝑤)) = ((𝑧 𝑣) (𝑧 𝑤)) ↔ (𝑧 (𝑥 𝑤)) = ((𝑧 𝑥) (𝑧 𝑤))))
46 oveq2 6698 . . . . . . . . . . . 12 (𝑤 = 𝑦 → (𝑥 𝑤) = (𝑥 𝑦))
4746oveq2d 6706 . . . . . . . . . . 11 (𝑤 = 𝑦 → (𝑧 (𝑥 𝑤)) = (𝑧 (𝑥 𝑦)))
48 oveq2 6698 . . . . . . . . . . . 12 (𝑤 = 𝑦 → (𝑧 𝑤) = (𝑧 𝑦))
4948oveq2d 6706 . . . . . . . . . . 11 (𝑤 = 𝑦 → ((𝑧 𝑥) (𝑧 𝑤)) = ((𝑧 𝑥) (𝑧 𝑦)))
5047, 49eqeq12d 2666 . . . . . . . . . 10 (𝑤 = 𝑦 → ((𝑧 (𝑥 𝑤)) = ((𝑧 𝑥) (𝑧 𝑤)) ↔ (𝑧 (𝑥 𝑦)) = ((𝑧 𝑥) (𝑧 𝑦))))
5141, 45, 50rspc3v 3356 . . . . . . . . 9 ((𝑧𝐵𝑥𝐵𝑦𝐵) → (∀𝑢𝐵𝑣𝐵𝑤𝐵 (𝑢 (𝑣 𝑤)) = ((𝑢 𝑣) (𝑢 𝑤)) → (𝑧 (𝑥 𝑦)) = ((𝑧 𝑥) (𝑧 𝑦))))
526, 5, 36, 51syl3anc 1366 . . . . . . . 8 ((𝐾 ∈ Lat ∧ (𝑥𝐵𝑦𝐵𝑧𝐵)) → (∀𝑢𝐵𝑣𝐵𝑤𝐵 (𝑢 (𝑣 𝑤)) = ((𝑢 𝑣) (𝑢 𝑤)) → (𝑧 (𝑥 𝑦)) = ((𝑧 𝑥) (𝑧 𝑦))))
5352imp 444 . . . . . . 7 (((𝐾 ∈ Lat ∧ (𝑥𝐵𝑦𝐵𝑧𝐵)) ∧ ∀𝑢𝐵𝑣𝐵𝑤𝐵 (𝑢 (𝑣 𝑤)) = ((𝑢 𝑣) (𝑢 𝑤))) → (𝑧 (𝑥 𝑦)) = ((𝑧 𝑥) (𝑧 𝑦)))
5453oveq2d 6706 . . . . . 6 (((𝐾 ∈ Lat ∧ (𝑥𝐵𝑦𝐵𝑧𝐵)) ∧ ∀𝑢𝐵𝑣𝐵𝑤𝐵 (𝑢 (𝑣 𝑤)) = ((𝑢 𝑣) (𝑢 𝑤))) → (𝑥 (𝑧 (𝑥 𝑦))) = (𝑥 ((𝑧 𝑥) (𝑧 𝑦))))
551, 26latjcl 17098 . . . . . . . . . 10 ((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑧𝐵𝑥𝐵) → (𝑧 𝑥) ∈ 𝐵)
5625, 6, 5, 55syl3anc 1366 . . . . . . . . 9 ((𝐾 ∈ Lat ∧ (𝑥𝐵𝑦𝐵𝑧𝐵)) → (𝑧 𝑥) ∈ 𝐵)
571, 26latjcl 17098 . . . . . . . . . 10 ((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑧𝐵𝑦𝐵) → (𝑧 𝑦) ∈ 𝐵)
5825, 6, 36, 57syl3anc 1366 . . . . . . . . 9 ((𝐾 ∈ Lat ∧ (𝑥𝐵𝑦𝐵𝑧𝐵)) → (𝑧 𝑦) ∈ 𝐵)
591, 2latmass 17235 . . . . . . . . 9 ((𝐾 ∈ Lat ∧ (𝑥𝐵 ∧ (𝑧 𝑥) ∈ 𝐵 ∧ (𝑧 𝑦) ∈ 𝐵)) → ((𝑥 (𝑧 𝑥)) (𝑧 𝑦)) = (𝑥 ((𝑧 𝑥) (𝑧 𝑦))))
6025, 5, 56, 58, 59syl13anc 1368 . . . . . . . 8 ((𝐾 ∈ Lat ∧ (𝑥𝐵𝑦𝐵𝑧𝐵)) → ((𝑥 (𝑧 𝑥)) (𝑧 𝑦)) = (𝑥 ((𝑧 𝑥) (𝑧 𝑦))))
611, 26latjcom 17106 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑧𝐵𝑥𝐵) → (𝑧 𝑥) = (𝑥 𝑧))
6225, 6, 5, 61syl3anc 1366 . . . . . . . . . . 11 ((𝐾 ∈ Lat ∧ (𝑥𝐵𝑦𝐵𝑧𝐵)) → (𝑧 𝑥) = (𝑥 𝑧))
6362oveq2d 6706 . . . . . . . . . 10 ((𝐾 ∈ Lat ∧ (𝑥𝐵𝑦𝐵𝑧𝐵)) → (𝑥 (𝑧 𝑥)) = (𝑥 (𝑥 𝑧)))
641, 26, 2latabs2 17135 . . . . . . . . . . 11 ((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑥𝐵𝑧𝐵) → (𝑥 (𝑥 𝑧)) = 𝑥)
6525, 5, 6, 64syl3anc 1366 . . . . . . . . . 10 ((𝐾 ∈ Lat ∧ (𝑥𝐵𝑦𝐵𝑧𝐵)) → (𝑥 (𝑥 𝑧)) = 𝑥)
6663, 65eqtrd 2685 . . . . . . . . 9 ((𝐾 ∈ Lat ∧ (𝑥𝐵𝑦𝐵𝑧𝐵)) → (𝑥 (𝑧 𝑥)) = 𝑥)
671, 26latjcom 17106 . . . . . . . . . 10 ((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑧𝐵𝑦𝐵) → (𝑧 𝑦) = (𝑦 𝑧))
6825, 6, 36, 67syl3anc 1366 . . . . . . . . 9 ((𝐾 ∈ Lat ∧ (𝑥𝐵𝑦𝐵𝑧𝐵)) → (𝑧 𝑦) = (𝑦 𝑧))
6966, 68oveq12d 6708 . . . . . . . 8 ((𝐾 ∈ Lat ∧ (𝑥𝐵𝑦𝐵𝑧𝐵)) → ((𝑥 (𝑧 𝑥)) (𝑧 𝑦)) = (𝑥 (𝑦 𝑧)))
7060, 69eqtr3d 2687 . . . . . . 7 ((𝐾 ∈ Lat ∧ (𝑥𝐵𝑦𝐵𝑧𝐵)) → (𝑥 ((𝑧 𝑥) (𝑧 𝑦))) = (𝑥 (𝑦 𝑧)))
7170adantr 480 . . . . . 6 (((𝐾 ∈ Lat ∧ (𝑥𝐵𝑦𝐵𝑧𝐵)) ∧ ∀𝑢𝐵𝑣𝐵𝑤𝐵 (𝑢 (𝑣 𝑤)) = ((𝑢 𝑣) (𝑢 𝑤))) → (𝑥 ((𝑧 𝑥) (𝑧 𝑦))) = (𝑥 (𝑦 𝑧)))
7254, 71eqtrd 2685 . . . . 5 (((𝐾 ∈ Lat ∧ (𝑥𝐵𝑦𝐵𝑧𝐵)) ∧ ∀𝑢𝐵𝑣𝐵𝑤𝐵 (𝑢 (𝑣 𝑤)) = ((𝑢 𝑣) (𝑢 𝑤))) → (𝑥 (𝑧 (𝑥 𝑦))) = (𝑥 (𝑦 𝑧)))
7324, 35, 723eqtrrd 2690 . . . 4 (((𝐾 ∈ Lat ∧ (𝑥𝐵𝑦𝐵𝑧𝐵)) ∧ ∀𝑢𝐵𝑣𝐵𝑤𝐵 (𝑢 (𝑣 𝑤)) = ((𝑢 𝑣) (𝑢 𝑤))) → (𝑥 (𝑦 𝑧)) = ((𝑥 𝑦) (𝑥 𝑧)))
7473an32s 863 . . 3 (((𝐾 ∈ Lat ∧ ∀𝑢𝐵𝑣𝐵𝑤𝐵 (𝑢 (𝑣 𝑤)) = ((𝑢 𝑣) (𝑢 𝑤))) ∧ (𝑥𝐵𝑦𝐵𝑧𝐵)) → (𝑥 (𝑦 𝑧)) = ((𝑥 𝑦) (𝑥 𝑧)))
7574ralrimivvva 3001 . 2 ((𝐾 ∈ Lat ∧ ∀𝑢𝐵𝑣𝐵𝑤𝐵 (𝑢 (𝑣 𝑤)) = ((𝑢 𝑣) (𝑢 𝑤))) → ∀𝑥𝐵𝑦𝐵𝑧𝐵 (𝑥 (𝑦 𝑧)) = ((𝑥 𝑦) (𝑥 𝑧)))
7675ex 449 1 (𝐾 ∈ Lat → (∀𝑢𝐵𝑣𝐵𝑤𝐵 (𝑢 (𝑣 𝑤)) = ((𝑢 𝑣) (𝑢 𝑤)) → ∀𝑥𝐵𝑦𝐵𝑧𝐵 (𝑥 (𝑦 𝑧)) = ((𝑥 𝑦) (𝑥 𝑧))))
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 383   ∧ w3a 1054   = wceq 1523   ∈ wcel 2030  ∀wral 2941  ‘cfv 5926  (class class class)co 6690  Basecbs 15904  joincjn 16991  meetcmee 16992  Latclat 17092 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1762  ax-4 1777  ax-5 1879  ax-6 1945  ax-7 1981  ax-8 2032  ax-9 2039  ax-10 2059  ax-11 2074  ax-12 2087  ax-13 2282  ax-ext 2631  ax-rep 4804  ax-sep 4814  ax-nul 4822  ax-pow 4873  ax-pr 4936  ax-un 6991  ax-cnex 10030  ax-resscn 10031  ax-1cn 10032  ax-icn 10033  ax-addcl 10034  ax-addrcl 10035  ax-mulcl 10036  ax-mulrcl 10037  ax-mulcom 10038  ax-addass 10039  ax-mulass 10040  ax-distr 10041  ax-i2m1 10042  ax-1ne0 10043  ax-1rid 10044  ax-rnegex 10045  ax-rrecex 10046  ax-cnre 10047  ax-pre-lttri 10048  ax-pre-lttrn 10049  ax-pre-ltadd 10050  ax-pre-mulgt0 10051 This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3or 1055  df-3an 1056  df-tru 1526  df-ex 1745  df-nf 1750  df-sb 1938  df-eu 2502  df-mo 2503  df-clab 2638  df-cleq 2644  df-clel 2647  df-nfc 2782  df-ne 2824  df-nel 2927  df-ral 2946  df-rex 2947  df-reu 2948  df-rmo 2949  df-rab 2950  df-v 3233  df-sbc 3469  df-csb 3567  df-dif 3610  df-un 3612  df-in 3614  df-ss 3621  df-pss 3623  df-nul 3949  df-if 4120  df-pw 4193  df-sn 4211  df-pr 4213  df-tp 4215  df-op 4217  df-uni 4469  df-iun 4554  df-br 4686  df-opab 4746  df-mpt 4763  df-tr 4786  df-id 5053  df-eprel 5058  df-po 5064  df-so 5065  df-fr 5102  df-we 5104  df-xp 5149  df-rel 5150  df-cnv 5151  df-co 5152  df-dm 5153  df-rn 5154  df-res 5155  df-ima 5156  df-pred 5718  df-ord 5764  df-on 5765  df-lim 5766  df-suc 5767  df-iota 5889  df-fun 5928  df-fn 5929  df-f 5930  df-f1 5931  df-fo 5932  df-f1o 5933  df-fv 5934  df-riota 6651  df-ov 6693  df-oprab 6694  df-mpt2 6695  df-om 7108  df-wrecs 7452  df-recs 7513  df-rdg 7551  df-er 7787  df-en 7998  df-dom 7999  df-sdom 8000  df-pnf 10114  df-mnf 10115  df-xr 10116  df-ltxr 10117  df-le 10118  df-sub 10306  df-neg 10307  df-nn 11059  df-2 11117  df-3 11118  df-4 11119  df-5 11120  df-6 11121  df-7 11122  df-8 11123  df-9 11124  df-dec 11532  df-ndx 15907  df-slot 15908  df-base 15910  df-sets 15911  df-ple 16008  df-preset 16975  df-poset 16993  df-lub 17021  df-glb 17022  df-join 17023  df-meet 17024  df-lat 17093  df-odu 17176 This theorem is referenced by:  latdisd  17237
 Copyright terms: Public domain W3C validator