MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  latj31 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem latj31 17300
Description: Swap 2nd and 3rd members of lattice join. Lemma 2.2 in [MegPav2002] p. 362. (Contributed by NM, 23-Jun-2012.)
Hypotheses
Ref Expression
latjass.b 𝐵 = (Base‘𝐾)
latjass.j = (join‘𝐾)
Assertion
Ref Expression
latj31 ((𝐾 ∈ Lat ∧ (𝑋𝐵𝑌𝐵𝑍𝐵)) → ((𝑋 𝑌) 𝑍) = ((𝑍 𝑌) 𝑋))

Proof of Theorem latj31
StepHypRef Expression
1 simpl 474 . . 3 ((𝐾 ∈ Lat ∧ (𝑋𝐵𝑌𝐵𝑍𝐵)) → 𝐾 ∈ Lat)
2 simpr3 1238 . . 3 ((𝐾 ∈ Lat ∧ (𝑋𝐵𝑌𝐵𝑍𝐵)) → 𝑍𝐵)
3 simpr1 1234 . . 3 ((𝐾 ∈ Lat ∧ (𝑋𝐵𝑌𝐵𝑍𝐵)) → 𝑋𝐵)
4 simpr2 1236 . . 3 ((𝐾 ∈ Lat ∧ (𝑋𝐵𝑌𝐵𝑍𝐵)) → 𝑌𝐵)
5 latjass.b . . . 4 𝐵 = (Base‘𝐾)
6 latjass.j . . . 4 = (join‘𝐾)
75, 6latj12 17297 . . 3 ((𝐾 ∈ Lat ∧ (𝑍𝐵𝑋𝐵𝑌𝐵)) → (𝑍 (𝑋 𝑌)) = (𝑋 (𝑍 𝑌)))
81, 2, 3, 4, 7syl13anc 1479 . 2 ((𝐾 ∈ Lat ∧ (𝑋𝐵𝑌𝐵𝑍𝐵)) → (𝑍 (𝑋 𝑌)) = (𝑋 (𝑍 𝑌)))
95, 6latjcl 17252 . . . 4 ((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑋𝐵𝑌𝐵) → (𝑋 𝑌) ∈ 𝐵)
1093adant3r3 1200 . . 3 ((𝐾 ∈ Lat ∧ (𝑋𝐵𝑌𝐵𝑍𝐵)) → (𝑋 𝑌) ∈ 𝐵)
115, 6latjcom 17260 . . 3 ((𝐾 ∈ Lat ∧ (𝑋 𝑌) ∈ 𝐵𝑍𝐵) → ((𝑋 𝑌) 𝑍) = (𝑍 (𝑋 𝑌)))
121, 10, 2, 11syl3anc 1477 . 2 ((𝐾 ∈ Lat ∧ (𝑋𝐵𝑌𝐵𝑍𝐵)) → ((𝑋 𝑌) 𝑍) = (𝑍 (𝑋 𝑌)))
135, 6latjcl 17252 . . . 4 ((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑍𝐵𝑌𝐵) → (𝑍 𝑌) ∈ 𝐵)
141, 2, 4, 13syl3anc 1477 . . 3 ((𝐾 ∈ Lat ∧ (𝑋𝐵𝑌𝐵𝑍𝐵)) → (𝑍 𝑌) ∈ 𝐵)
155, 6latjcom 17260 . . 3 ((𝐾 ∈ Lat ∧ (𝑍 𝑌) ∈ 𝐵𝑋𝐵) → ((𝑍 𝑌) 𝑋) = (𝑋 (𝑍 𝑌)))
161, 14, 3, 15syl3anc 1477 . 2 ((𝐾 ∈ Lat ∧ (𝑋𝐵𝑌𝐵𝑍𝐵)) → ((𝑍 𝑌) 𝑋) = (𝑋 (𝑍 𝑌)))
178, 12, 163eqtr4d 2804 1 ((𝐾 ∈ Lat ∧ (𝑋𝐵𝑌𝐵𝑍𝐵)) → ((𝑋 𝑌) 𝑍) = ((𝑍 𝑌) 𝑋))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 383  w3a 1072   = wceq 1632  wcel 2139  cfv 6049  (class class class)co 6813  Basecbs 16059  joincjn 17145  Latclat 17246
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1871  ax-4 1886  ax-5 1988  ax-6 2054  ax-7 2090  ax-8 2141  ax-9 2148  ax-10 2168  ax-11 2183  ax-12 2196  ax-13 2391  ax-ext 2740  ax-rep 4923  ax-sep 4933  ax-nul 4941  ax-pow 4992  ax-pr 5055  ax-un 7114
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3an 1074  df-tru 1635  df-ex 1854  df-nf 1859  df-sb 2047  df-eu 2611  df-mo 2612  df-clab 2747  df-cleq 2753  df-clel 2756  df-nfc 2891  df-ne 2933  df-ral 3055  df-rex 3056  df-reu 3057  df-rab 3059  df-v 3342  df-sbc 3577  df-csb 3675  df-dif 3718  df-un 3720  df-in 3722  df-ss 3729  df-nul 4059  df-if 4231  df-pw 4304  df-sn 4322  df-pr 4324  df-op 4328  df-uni 4589  df-iun 4674  df-br 4805  df-opab 4865  df-mpt 4882  df-id 5174  df-xp 5272  df-rel 5273  df-cnv 5274  df-co 5275  df-dm 5276  df-rn 5277  df-res 5278  df-ima 5279  df-iota 6012  df-fun 6051  df-fn 6052  df-f 6053  df-f1 6054  df-fo 6055  df-f1o 6056  df-fv 6057  df-riota 6774  df-ov 6816  df-oprab 6817  df-preset 17129  df-poset 17147  df-lub 17175  df-glb 17176  df-join 17177  df-meet 17178  df-lat 17247
This theorem is referenced by:  latjrot  17301  4noncolr3  35242  3atlem5  35276  lplnexllnN  35353  dalawlem11  35670  cdleme20bN  36100
  Copyright terms: Public domain W3C validator