MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  latj4 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem latj4 17022
Description: Rearrangement of lattice join of 4 classes. (chj4 28243 analog.) (Contributed by NM, 14-Jun-2012.)
Hypotheses
Ref Expression
latjass.b 𝐵 = (Base‘𝐾)
latjass.j = (join‘𝐾)
Assertion
Ref Expression
latj4 ((𝐾 ∈ Lat ∧ (𝑋𝐵𝑌𝐵) ∧ (𝑍𝐵𝑊𝐵)) → ((𝑋 𝑌) (𝑍 𝑊)) = ((𝑋 𝑍) (𝑌 𝑊)))

Proof of Theorem latj4
StepHypRef Expression
1 simp1 1059 . . . 4 ((𝐾 ∈ Lat ∧ (𝑋𝐵𝑌𝐵) ∧ (𝑍𝐵𝑊𝐵)) → 𝐾 ∈ Lat)
2 simp2r 1086 . . . 4 ((𝐾 ∈ Lat ∧ (𝑋𝐵𝑌𝐵) ∧ (𝑍𝐵𝑊𝐵)) → 𝑌𝐵)
3 simp3l 1087 . . . 4 ((𝐾 ∈ Lat ∧ (𝑋𝐵𝑌𝐵) ∧ (𝑍𝐵𝑊𝐵)) → 𝑍𝐵)
4 simp3r 1088 . . . 4 ((𝐾 ∈ Lat ∧ (𝑋𝐵𝑌𝐵) ∧ (𝑍𝐵𝑊𝐵)) → 𝑊𝐵)
5 latjass.b . . . . 5 𝐵 = (Base‘𝐾)
6 latjass.j . . . . 5 = (join‘𝐾)
75, 6latj12 17017 . . . 4 ((𝐾 ∈ Lat ∧ (𝑌𝐵𝑍𝐵𝑊𝐵)) → (𝑌 (𝑍 𝑊)) = (𝑍 (𝑌 𝑊)))
81, 2, 3, 4, 7syl13anc 1325 . . 3 ((𝐾 ∈ Lat ∧ (𝑋𝐵𝑌𝐵) ∧ (𝑍𝐵𝑊𝐵)) → (𝑌 (𝑍 𝑊)) = (𝑍 (𝑌 𝑊)))
98oveq2d 6620 . 2 ((𝐾 ∈ Lat ∧ (𝑋𝐵𝑌𝐵) ∧ (𝑍𝐵𝑊𝐵)) → (𝑋 (𝑌 (𝑍 𝑊))) = (𝑋 (𝑍 (𝑌 𝑊))))
10 simp2l 1085 . . 3 ((𝐾 ∈ Lat ∧ (𝑋𝐵𝑌𝐵) ∧ (𝑍𝐵𝑊𝐵)) → 𝑋𝐵)
115, 6latjcl 16972 . . . 4 ((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑍𝐵𝑊𝐵) → (𝑍 𝑊) ∈ 𝐵)
121, 3, 4, 11syl3anc 1323 . . 3 ((𝐾 ∈ Lat ∧ (𝑋𝐵𝑌𝐵) ∧ (𝑍𝐵𝑊𝐵)) → (𝑍 𝑊) ∈ 𝐵)
135, 6latjass 17016 . . 3 ((𝐾 ∈ Lat ∧ (𝑋𝐵𝑌𝐵 ∧ (𝑍 𝑊) ∈ 𝐵)) → ((𝑋 𝑌) (𝑍 𝑊)) = (𝑋 (𝑌 (𝑍 𝑊))))
141, 10, 2, 12, 13syl13anc 1325 . 2 ((𝐾 ∈ Lat ∧ (𝑋𝐵𝑌𝐵) ∧ (𝑍𝐵𝑊𝐵)) → ((𝑋 𝑌) (𝑍 𝑊)) = (𝑋 (𝑌 (𝑍 𝑊))))
155, 6latjcl 16972 . . . 4 ((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑌𝐵𝑊𝐵) → (𝑌 𝑊) ∈ 𝐵)
161, 2, 4, 15syl3anc 1323 . . 3 ((𝐾 ∈ Lat ∧ (𝑋𝐵𝑌𝐵) ∧ (𝑍𝐵𝑊𝐵)) → (𝑌 𝑊) ∈ 𝐵)
175, 6latjass 17016 . . 3 ((𝐾 ∈ Lat ∧ (𝑋𝐵𝑍𝐵 ∧ (𝑌 𝑊) ∈ 𝐵)) → ((𝑋 𝑍) (𝑌 𝑊)) = (𝑋 (𝑍 (𝑌 𝑊))))
181, 10, 3, 16, 17syl13anc 1325 . 2 ((𝐾 ∈ Lat ∧ (𝑋𝐵𝑌𝐵) ∧ (𝑍𝐵𝑊𝐵)) → ((𝑋 𝑍) (𝑌 𝑊)) = (𝑋 (𝑍 (𝑌 𝑊))))
199, 14, 183eqtr4d 2665 1 ((𝐾 ∈ Lat ∧ (𝑋𝐵𝑌𝐵) ∧ (𝑍𝐵𝑊𝐵)) → ((𝑋 𝑌) (𝑍 𝑊)) = ((𝑋 𝑍) (𝑌 𝑊)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 384  w3a 1036   = wceq 1480  wcel 1987  cfv 5847  (class class class)co 6604  Basecbs 15781  joincjn 16865  Latclat 16966
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1719  ax-4 1734  ax-5 1836  ax-6 1885  ax-7 1932  ax-8 1989  ax-9 1996  ax-10 2016  ax-11 2031  ax-12 2044  ax-13 2245  ax-ext 2601  ax-rep 4731  ax-sep 4741  ax-nul 4749  ax-pow 4803  ax-pr 4867  ax-un 6902
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3an 1038  df-tru 1483  df-ex 1702  df-nf 1707  df-sb 1878  df-eu 2473  df-mo 2474  df-clab 2608  df-cleq 2614  df-clel 2617  df-nfc 2750  df-ne 2791  df-ral 2912  df-rex 2913  df-reu 2914  df-rab 2916  df-v 3188  df-sbc 3418  df-csb 3515  df-dif 3558  df-un 3560  df-in 3562  df-ss 3569  df-nul 3892  df-if 4059  df-pw 4132  df-sn 4149  df-pr 4151  df-op 4155  df-uni 4403  df-iun 4487  df-br 4614  df-opab 4674  df-mpt 4675  df-id 4989  df-xp 5080  df-rel 5081  df-cnv 5082  df-co 5083  df-dm 5084  df-rn 5085  df-res 5086  df-ima 5087  df-iota 5810  df-fun 5849  df-fn 5850  df-f 5851  df-f1 5852  df-fo 5853  df-f1o 5854  df-fv 5855  df-riota 6565  df-ov 6607  df-oprab 6608  df-preset 16849  df-poset 16867  df-lub 16895  df-glb 16896  df-join 16897  df-meet 16898  df-lat 16967
This theorem is referenced by:  latj4rot  17023  latjjdi  17024  latjjdir  17025  hlatj4  34140  arglem1N  34957  cdleme11  35037  cdleme20l2  35089
  Copyright terms: Public domain W3C validator