MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  latjle12 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem latjle12 16990
Description: A join is less than or equal to a third value iff each argument is less than or equal to the third value. (chlub 28235 analog.) (Contributed by NM, 17-Sep-2011.)
Hypotheses
Ref Expression
latlej.b 𝐵 = (Base‘𝐾)
latlej.l = (le‘𝐾)
latlej.j = (join‘𝐾)
Assertion
Ref Expression
latjle12 ((𝐾 ∈ Lat ∧ (𝑋𝐵𝑌𝐵𝑍𝐵)) → ((𝑋 𝑍𝑌 𝑍) ↔ (𝑋 𝑌) 𝑍))

Proof of Theorem latjle12
StepHypRef Expression
1 latlej.b . 2 𝐵 = (Base‘𝐾)
2 latlej.l . 2 = (le‘𝐾)
3 latlej.j . 2 = (join‘𝐾)
4 latpos 16978 . . 3 (𝐾 ∈ Lat → 𝐾 ∈ Poset)
54adantr 481 . 2 ((𝐾 ∈ Lat ∧ (𝑋𝐵𝑌𝐵𝑍𝐵)) → 𝐾 ∈ Poset)
6 simpr1 1065 . 2 ((𝐾 ∈ Lat ∧ (𝑋𝐵𝑌𝐵𝑍𝐵)) → 𝑋𝐵)
7 simpr2 1066 . 2 ((𝐾 ∈ Lat ∧ (𝑋𝐵𝑌𝐵𝑍𝐵)) → 𝑌𝐵)
8 simpr3 1067 . 2 ((𝐾 ∈ Lat ∧ (𝑋𝐵𝑌𝐵𝑍𝐵)) → 𝑍𝐵)
9 eqid 2621 . . . 4 (meet‘𝐾) = (meet‘𝐾)
10 simpl 473 . . . 4 ((𝐾 ∈ Lat ∧ (𝑋𝐵𝑌𝐵𝑍𝐵)) → 𝐾 ∈ Lat)
111, 3, 9, 10, 6, 7latcl2 16976 . . 3 ((𝐾 ∈ Lat ∧ (𝑋𝐵𝑌𝐵𝑍𝐵)) → (⟨𝑋, 𝑌⟩ ∈ dom ∧ ⟨𝑋, 𝑌⟩ ∈ dom (meet‘𝐾)))
1211simpld 475 . 2 ((𝐾 ∈ Lat ∧ (𝑋𝐵𝑌𝐵𝑍𝐵)) → ⟨𝑋, 𝑌⟩ ∈ dom )
131, 2, 3, 5, 6, 7, 8, 12joinle 16942 1 ((𝐾 ∈ Lat ∧ (𝑋𝐵𝑌𝐵𝑍𝐵)) → ((𝑋 𝑍𝑌 𝑍) ↔ (𝑋 𝑌) 𝑍))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 196  wa 384  w3a 1036   = wceq 1480  wcel 1987  cop 4159   class class class wbr 4618  dom cdm 5079  cfv 5852  (class class class)co 6610  Basecbs 15788  lecple 15876  Posetcpo 16868  joincjn 16872  meetcmee 16873  Latclat 16973
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1719  ax-4 1734  ax-5 1836  ax-6 1885  ax-7 1932  ax-8 1989  ax-9 1996  ax-10 2016  ax-11 2031  ax-12 2044  ax-13 2245  ax-ext 2601  ax-rep 4736  ax-sep 4746  ax-nul 4754  ax-pow 4808  ax-pr 4872  ax-un 6909
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3an 1038  df-tru 1483  df-ex 1702  df-nf 1707  df-sb 1878  df-eu 2473  df-mo 2474  df-clab 2608  df-cleq 2614  df-clel 2617  df-nfc 2750  df-ne 2791  df-ral 2912  df-rex 2913  df-reu 2914  df-rab 2916  df-v 3191  df-sbc 3422  df-csb 3519  df-dif 3562  df-un 3564  df-in 3566  df-ss 3573  df-nul 3897  df-if 4064  df-pw 4137  df-sn 4154  df-pr 4156  df-op 4160  df-uni 4408  df-iun 4492  df-br 4619  df-opab 4679  df-mpt 4680  df-id 4994  df-xp 5085  df-rel 5086  df-cnv 5087  df-co 5088  df-dm 5089  df-rn 5090  df-res 5091  df-ima 5092  df-iota 5815  df-fun 5854  df-fn 5855  df-f 5856  df-f1 5857  df-fo 5858  df-f1o 5859  df-fv 5860  df-riota 6571  df-ov 6613  df-oprab 6614  df-poset 16874  df-lub 16902  df-join 16904  df-lat 16974
This theorem is referenced by:  latleeqj1  16991  latjlej1  16993  latjidm  17002  latledi  17017  latjass  17023  mod1ile  17033  lubun  17051  oldmm1  34011  olj01  34019  cvlexchb1  34124  cvlcvr1  34133  hlrelat  34195  hlrelat2  34196  exatleN  34197  hlrelat3  34205  cvrexchlem  34212  cvratlem  34214  cvrat  34215  atlelt  34231  ps-1  34270  hlatexch3N  34273  hlatexch4  34274  3atlem1  34276  3atlem2  34277  lplnexllnN  34357  2llnjaN  34359  4atlem3  34389  4atlem10  34399  4atlem11b  34401  4atlem11  34402  4atlem12b  34404  4atlem12  34405  2lplnja  34412  dalem1  34452  dalem3  34457  dalem8  34463  dalem16  34472  dalem17  34473  dalem21  34487  dalem25  34491  dalem39  34504  dalem54  34519  dalem60  34525  linepsubN  34545  pmapsub  34561  lneq2at  34571  2llnma3r  34581  cdlema1N  34584  cdlemblem  34586  paddasslem5  34617  paddasslem12  34624  paddasslem13  34625  llnexchb2  34662  dalawlem3  34666  dalawlem5  34668  dalawlem8  34671  dalawlem11  34674  dalawlem12  34675  lhp2lt  34794  lhpexle2lem  34802  lhpexle3lem  34804  4atexlemtlw  34860  4atexlemnclw  34863  lautj  34886  cdlemd3  34994  cdleme3g  35028  cdleme3h  35029  cdleme7d  35040  cdleme11c  35055  cdleme15d  35071  cdleme17b  35081  cdleme19a  35098  cdleme20j  35113  cdleme21c  35122  cdleme22b  35136  cdleme22d  35138  cdleme28a  35165  cdleme35a  35243  cdleme35fnpq  35244  cdleme35b  35245  cdleme35f  35249  cdleme42c  35267  cdleme42i  35278  cdlemf1  35356  cdlemg4c  35407  cdlemg6c  35415  cdlemg8b  35423  cdlemg10  35436  cdlemg11b  35437  cdlemg13a  35446  cdlemg17a  35456  cdlemg18b  35474  cdlemg27a  35487  cdlemg33b0  35496  cdlemg35  35508  cdlemg42  35524  cdlemg46  35530  trljco  35535  tendopltp  35575  cdlemk3  35628  cdlemk10  35638  cdlemk1u  35654  cdlemk39  35711  dialss  35842  dia2dimlem1  35860  dia2dimlem10  35869  dia2dimlem12  35871  cdlemm10N  35914  djajN  35933  diblss  35966  cdlemn2  35991  dihord2pre2  36022  dib2dim  36039  dih2dimb  36040  dih2dimbALTN  36041  dihmeetlem6  36105  dihjatcclem1  36214
  Copyright terms: Public domain W3C validator