MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  latlej1 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem latlej1 17261
Description: A join's first argument is less than or equal to the join. (chub1 28675 analog.) (Contributed by NM, 17-Sep-2011.)
Hypotheses
Ref Expression
latlej.b 𝐵 = (Base‘𝐾)
latlej.l = (le‘𝐾)
latlej.j = (join‘𝐾)
Assertion
Ref Expression
latlej1 ((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑋𝐵𝑌𝐵) → 𝑋 (𝑋 𝑌))

Proof of Theorem latlej1
StepHypRef Expression
1 latlej.b . 2 𝐵 = (Base‘𝐾)
2 latlej.l . 2 = (le‘𝐾)
3 latlej.j . 2 = (join‘𝐾)
4 simp1 1131 . 2 ((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑋𝐵𝑌𝐵) → 𝐾 ∈ Lat)
5 simp2 1132 . 2 ((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑋𝐵𝑌𝐵) → 𝑋𝐵)
6 simp3 1133 . 2 ((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑋𝐵𝑌𝐵) → 𝑌𝐵)
7 eqid 2760 . . . 4 (meet‘𝐾) = (meet‘𝐾)
81, 3, 7, 4, 5, 6latcl2 17249 . . 3 ((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑋𝐵𝑌𝐵) → (⟨𝑋, 𝑌⟩ ∈ dom ∧ ⟨𝑋, 𝑌⟩ ∈ dom (meet‘𝐾)))
98simpld 477 . 2 ((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑋𝐵𝑌𝐵) → ⟨𝑋, 𝑌⟩ ∈ dom )
101, 2, 3, 4, 5, 6, 9lejoin1 17213 1 ((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑋𝐵𝑌𝐵) → 𝑋 (𝑋 𝑌))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  w3a 1072   = wceq 1632  wcel 2139  cop 4327   class class class wbr 4804  dom cdm 5266  cfv 6049  (class class class)co 6813  Basecbs 16059  lecple 16150  joincjn 17145  meetcmee 17146  Latclat 17246
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1871  ax-4 1886  ax-5 1988  ax-6 2054  ax-7 2090  ax-8 2141  ax-9 2148  ax-10 2168  ax-11 2183  ax-12 2196  ax-13 2391  ax-ext 2740  ax-rep 4923  ax-sep 4933  ax-nul 4941  ax-pow 4992  ax-pr 5055  ax-un 7114
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3an 1074  df-tru 1635  df-ex 1854  df-nf 1859  df-sb 2047  df-eu 2611  df-mo 2612  df-clab 2747  df-cleq 2753  df-clel 2756  df-nfc 2891  df-ne 2933  df-ral 3055  df-rex 3056  df-reu 3057  df-rab 3059  df-v 3342  df-sbc 3577  df-csb 3675  df-dif 3718  df-un 3720  df-in 3722  df-ss 3729  df-nul 4059  df-if 4231  df-pw 4304  df-sn 4322  df-pr 4324  df-op 4328  df-uni 4589  df-iun 4674  df-br 4805  df-opab 4865  df-mpt 4882  df-id 5174  df-xp 5272  df-rel 5273  df-cnv 5274  df-co 5275  df-dm 5276  df-rn 5277  df-res 5278  df-ima 5279  df-iota 6012  df-fun 6051  df-fn 6052  df-f 6053  df-f1 6054  df-fo 6055  df-f1o 6056  df-fv 6057  df-riota 6774  df-ov 6816  df-oprab 6817  df-lub 17175  df-join 17177  df-lat 17247
This theorem is referenced by:  latjlej1  17266  latnlej  17269  latnlej2  17272  latjidm  17275  latnle  17286  latabs2  17289  latmlej11  17291  latjass  17296  mod1ile  17306  lubun  17324  oldmm1  35007  olj01  35015  omllaw5N  35037  cvlexchb1  35120  cvlsupr2  35133  cvlsupr7  35138  hlatlej1  35164  hlrelat5N  35190  2atjm  35234  2llnmj  35349  lplnexllnN  35353  2llnjaN  35355  2llnm2N  35357  4atlem3a  35386  2lplnja  35408  2lplnm2N  35410  2lplnmj  35411  dalemply  35443  dalemsly  35444  dalem10  35462  dalem13  35465  dalem21  35483  dalem55  35516  2llnma1b  35575  cdlema1N  35580  elpaddn0  35589  paddasslem12  35620  paddasslem13  35621  pmapjoin  35641  dalawlem2  35661  dalawlem7  35666  dalawlem11  35670  dalawlem12  35671  lhpmcvr3  35814  lhpmcvr5N  35816  lhpmcvr6N  35817  lautj  35882  trljat1  35956  cdlemc1  35981  cdlemc4  35984  cdleme1  36017  cdleme8  36040  cdleme11g  36055  cdleme22e  36134  cdleme22eALTN  36135  cdleme23b  36140  cdleme23c  36141  cdleme27N  36159  cdleme30a  36168  cdleme35fnpq  36239  cdleme35b  36240  cdleme35c  36241  cdleme42h  36272  cdleme42i  36273  cdleme48bw  36292  cdlemg2fv2  36390  cdlemg7fvbwN  36397  cdlemg8b  36418  cdlemg11b  36432  trlcolem  36516  trljco  36530  cdlemi1  36608  cdlemk48  36740  cdlemn2  36986  dihjustlem  37007  dihord1  37009  dihord5apre  37053  dihglbcpreN  37091  dihmeetlem3N  37096  dihmeetlem11N  37108
  Copyright terms: Public domain W3C validator