MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  latlej1 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem latlej1 16981
Description: A join's first argument is less than or equal to the join. (chub1 28215 analog.) (Contributed by NM, 17-Sep-2011.)
Hypotheses
Ref Expression
latlej.b 𝐵 = (Base‘𝐾)
latlej.l = (le‘𝐾)
latlej.j = (join‘𝐾)
Assertion
Ref Expression
latlej1 ((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑋𝐵𝑌𝐵) → 𝑋 (𝑋 𝑌))

Proof of Theorem latlej1
StepHypRef Expression
1 latlej.b . 2 𝐵 = (Base‘𝐾)
2 latlej.l . 2 = (le‘𝐾)
3 latlej.j . 2 = (join‘𝐾)
4 simp1 1059 . 2 ((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑋𝐵𝑌𝐵) → 𝐾 ∈ Lat)
5 simp2 1060 . 2 ((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑋𝐵𝑌𝐵) → 𝑋𝐵)
6 simp3 1061 . 2 ((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑋𝐵𝑌𝐵) → 𝑌𝐵)
7 eqid 2621 . . . 4 (meet‘𝐾) = (meet‘𝐾)
81, 3, 7, 4, 5, 6latcl2 16969 . . 3 ((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑋𝐵𝑌𝐵) → (⟨𝑋, 𝑌⟩ ∈ dom ∧ ⟨𝑋, 𝑌⟩ ∈ dom (meet‘𝐾)))
98simpld 475 . 2 ((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑋𝐵𝑌𝐵) → ⟨𝑋, 𝑌⟩ ∈ dom )
101, 2, 3, 4, 5, 6, 9lejoin1 16933 1 ((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑋𝐵𝑌𝐵) → 𝑋 (𝑋 𝑌))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  w3a 1036   = wceq 1480  wcel 1987  cop 4154   class class class wbr 4613  dom cdm 5074  cfv 5847  (class class class)co 6604  Basecbs 15781  lecple 15869  joincjn 16865  meetcmee 16866  Latclat 16966
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1719  ax-4 1734  ax-5 1836  ax-6 1885  ax-7 1932  ax-8 1989  ax-9 1996  ax-10 2016  ax-11 2031  ax-12 2044  ax-13 2245  ax-ext 2601  ax-rep 4731  ax-sep 4741  ax-nul 4749  ax-pow 4803  ax-pr 4867  ax-un 6902
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3an 1038  df-tru 1483  df-ex 1702  df-nf 1707  df-sb 1878  df-eu 2473  df-mo 2474  df-clab 2608  df-cleq 2614  df-clel 2617  df-nfc 2750  df-ne 2791  df-ral 2912  df-rex 2913  df-reu 2914  df-rab 2916  df-v 3188  df-sbc 3418  df-csb 3515  df-dif 3558  df-un 3560  df-in 3562  df-ss 3569  df-nul 3892  df-if 4059  df-pw 4132  df-sn 4149  df-pr 4151  df-op 4155  df-uni 4403  df-iun 4487  df-br 4614  df-opab 4674  df-mpt 4675  df-id 4989  df-xp 5080  df-rel 5081  df-cnv 5082  df-co 5083  df-dm 5084  df-rn 5085  df-res 5086  df-ima 5087  df-iota 5810  df-fun 5849  df-fn 5850  df-f 5851  df-f1 5852  df-fo 5853  df-f1o 5854  df-fv 5855  df-riota 6565  df-ov 6607  df-oprab 6608  df-lub 16895  df-join 16897  df-lat 16967
This theorem is referenced by:  latjlej1  16986  latnlej  16989  latnlej2  16992  latjidm  16995  latnle  17006  latabs2  17009  latmlej11  17011  latjass  17016  mod1ile  17026  lubun  17044  oldmm1  33984  olj01  33992  omllaw5N  34014  cvlexchb1  34097  cvlsupr2  34110  cvlsupr7  34115  hlatlej1  34141  hlrelat5N  34167  2atjm  34211  2llnmj  34326  lplnexllnN  34330  2llnjaN  34332  2llnm2N  34334  4atlem3a  34363  2lplnja  34385  2lplnm2N  34387  2lplnmj  34388  dalemply  34420  dalemsly  34421  dalem10  34439  dalem13  34442  dalem21  34460  dalem55  34493  2llnma1b  34552  cdlema1N  34557  elpaddn0  34566  paddasslem12  34597  paddasslem13  34598  pmapjoin  34618  dalawlem2  34638  dalawlem7  34643  dalawlem11  34647  dalawlem12  34648  lhpmcvr3  34791  lhpmcvr5N  34793  lhpmcvr6N  34794  lautj  34859  trljat1  34933  cdlemc1  34958  cdlemc4  34961  cdleme1  34994  cdleme8  35017  cdleme11g  35032  cdleme22e  35112  cdleme22eALTN  35113  cdleme23b  35118  cdleme23c  35119  cdleme27N  35137  cdleme30a  35146  cdleme35fnpq  35217  cdleme35b  35218  cdleme35c  35219  cdleme42h  35250  cdleme42i  35251  cdleme48bw  35270  cdlemg2fv2  35368  cdlemg7fvbwN  35375  cdlemg8b  35396  cdlemg11b  35410  trlcolem  35494  trljco  35508  cdlemi1  35586  cdlemk48  35718  cdlemn2  35964  dihjustlem  35985  dihord1  35987  dihord5apre  36031  dihglbcpreN  36069  dihmeetlem3N  36074  dihmeetlem11N  36086
  Copyright terms: Public domain W3C validator