MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  latlej2 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem latlej2 16985
Description: A join's second argument is less than or equal to the join. (chub2 28228 analog.) (Contributed by NM, 17-Sep-2011.)
Hypotheses
Ref Expression
latlej.b 𝐵 = (Base‘𝐾)
latlej.l = (le‘𝐾)
latlej.j = (join‘𝐾)
Assertion
Ref Expression
latlej2 ((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑋𝐵𝑌𝐵) → 𝑌 (𝑋 𝑌))

Proof of Theorem latlej2
StepHypRef Expression
1 latlej.b . 2 𝐵 = (Base‘𝐾)
2 latlej.l . 2 = (le‘𝐾)
3 latlej.j . 2 = (join‘𝐾)
4 simp1 1059 . 2 ((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑋𝐵𝑌𝐵) → 𝐾 ∈ Lat)
5 simp2 1060 . 2 ((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑋𝐵𝑌𝐵) → 𝑋𝐵)
6 simp3 1061 . 2 ((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑋𝐵𝑌𝐵) → 𝑌𝐵)
7 eqid 2621 . . . 4 (meet‘𝐾) = (meet‘𝐾)
81, 3, 7, 4, 5, 6latcl2 16972 . . 3 ((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑋𝐵𝑌𝐵) → (⟨𝑋, 𝑌⟩ ∈ dom ∧ ⟨𝑋, 𝑌⟩ ∈ dom (meet‘𝐾)))
98simpld 475 . 2 ((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑋𝐵𝑌𝐵) → ⟨𝑋, 𝑌⟩ ∈ dom )
101, 2, 3, 4, 5, 6, 9lejoin2 16937 1 ((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑋𝐵𝑌𝐵) → 𝑌 (𝑋 𝑌))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  w3a 1036   = wceq 1480  wcel 1987  cop 4156   class class class wbr 4615  dom cdm 5076  cfv 5849  (class class class)co 6607  Basecbs 15784  lecple 15872  joincjn 16868  meetcmee 16869  Latclat 16969
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1719  ax-4 1734  ax-5 1836  ax-6 1885  ax-7 1932  ax-8 1989  ax-9 1996  ax-10 2016  ax-11 2031  ax-12 2044  ax-13 2245  ax-ext 2601  ax-rep 4733  ax-sep 4743  ax-nul 4751  ax-pow 4805  ax-pr 4869  ax-un 6905
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3an 1038  df-tru 1483  df-ex 1702  df-nf 1707  df-sb 1878  df-eu 2473  df-mo 2474  df-clab 2608  df-cleq 2614  df-clel 2617  df-nfc 2750  df-ne 2791  df-ral 2912  df-rex 2913  df-reu 2914  df-rab 2916  df-v 3188  df-sbc 3419  df-csb 3516  df-dif 3559  df-un 3561  df-in 3563  df-ss 3570  df-nul 3894  df-if 4061  df-pw 4134  df-sn 4151  df-pr 4153  df-op 4157  df-uni 4405  df-iun 4489  df-br 4616  df-opab 4676  df-mpt 4677  df-id 4991  df-xp 5082  df-rel 5083  df-cnv 5084  df-co 5085  df-dm 5086  df-rn 5087  df-res 5088  df-ima 5089  df-iota 5812  df-fun 5851  df-fn 5852  df-f 5853  df-f1 5854  df-fo 5855  df-f1o 5856  df-fv 5857  df-riota 6568  df-ov 6610  df-oprab 6611  df-lub 16898  df-join 16900  df-lat 16970
This theorem is referenced by:  latleeqj1  16987  latjlej1  16989  latnlej  16992  latnlej2  16995  latjass  17019  lubun  17047  oldmm1  34005  cmtcomlemN  34036  cmtbr4N  34043  cvlexchb1  34118  cvlatexch1  34124  cvrval5  34202  2llnjaN  34353  4atlem3b  34385  2lplnja  34406  dalem5  34454  dalem17  34467  dalem39  34498  dalem43  34502  elpaddn0  34587  pmapjoin  34639  dalawlem2  34659  dalawlem11  34668  dalawlem12  34669  lautj  34880  trljat2  34955  cdleme0cq  35003  cdleme1  35015  cdleme3  35025  cdleme5  35028  cdleme7ga  35036  cdleme10  35042  cdleme15b  35063  cdleme16b  35067  cdleme20k  35108  cdleme22e  35133  cdleme22eALTN  35134  cdleme23c  35140  cdleme28a  35159  cdleme32e  35234  cdleme35a  35237  cdlemg4c  35401  cdlemg6c  35409  trlcolem  35515  cdlemi1  35607  dia2dimlem2  35855  cdlemm10N  35908  dihord2pre2  36016  dihord5apre  36052  dihjatc1  36101
  Copyright terms: Public domain W3C validator