MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  latlem12 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem latlem12 17275
Description: An element is less than or equal to a meet iff the element is less than or equal to each argument of the meet. (Contributed by NM, 21-Oct-2011.)
Hypotheses
Ref Expression
latmle.b 𝐵 = (Base‘𝐾)
latmle.l = (le‘𝐾)
latmle.m = (meet‘𝐾)
Assertion
Ref Expression
latlem12 ((𝐾 ∈ Lat ∧ (𝑋𝐵𝑌𝐵𝑍𝐵)) → ((𝑋 𝑌𝑋 𝑍) ↔ 𝑋 (𝑌 𝑍)))

Proof of Theorem latlem12
StepHypRef Expression
1 latmle.b . 2 𝐵 = (Base‘𝐾)
2 latmle.l . 2 = (le‘𝐾)
3 latmle.m . 2 = (meet‘𝐾)
4 latpos 17247 . . 3 (𝐾 ∈ Lat → 𝐾 ∈ Poset)
54adantr 472 . 2 ((𝐾 ∈ Lat ∧ (𝑋𝐵𝑌𝐵𝑍𝐵)) → 𝐾 ∈ Poset)
6 simpr2 1236 . 2 ((𝐾 ∈ Lat ∧ (𝑋𝐵𝑌𝐵𝑍𝐵)) → 𝑌𝐵)
7 simpr3 1238 . 2 ((𝐾 ∈ Lat ∧ (𝑋𝐵𝑌𝐵𝑍𝐵)) → 𝑍𝐵)
8 simpr1 1234 . 2 ((𝐾 ∈ Lat ∧ (𝑋𝐵𝑌𝐵𝑍𝐵)) → 𝑋𝐵)
9 eqid 2756 . . . 4 (join‘𝐾) = (join‘𝐾)
10 simpl 474 . . . 4 ((𝐾 ∈ Lat ∧ (𝑋𝐵𝑌𝐵𝑍𝐵)) → 𝐾 ∈ Lat)
111, 9, 3, 10, 6, 7latcl2 17245 . . 3 ((𝐾 ∈ Lat ∧ (𝑋𝐵𝑌𝐵𝑍𝐵)) → (⟨𝑌, 𝑍⟩ ∈ dom (join‘𝐾) ∧ ⟨𝑌, 𝑍⟩ ∈ dom ))
1211simprd 482 . 2 ((𝐾 ∈ Lat ∧ (𝑋𝐵𝑌𝐵𝑍𝐵)) → ⟨𝑌, 𝑍⟩ ∈ dom )
131, 2, 3, 5, 6, 7, 8, 12meetle 17225 1 ((𝐾 ∈ Lat ∧ (𝑋𝐵𝑌𝐵𝑍𝐵)) → ((𝑋 𝑌𝑋 𝑍) ↔ 𝑋 (𝑌 𝑍)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 196  wa 383  w3a 1072   = wceq 1628  wcel 2135  cop 4323   class class class wbr 4800  dom cdm 5262  cfv 6045  (class class class)co 6809  Basecbs 16055  lecple 16146  Posetcpo 17137  joincjn 17141  meetcmee 17142  Latclat 17242
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1867  ax-4 1882  ax-5 1984  ax-6 2050  ax-7 2086  ax-8 2137  ax-9 2144  ax-10 2164  ax-11 2179  ax-12 2192  ax-13 2387  ax-ext 2736  ax-rep 4919  ax-sep 4929  ax-nul 4937  ax-pow 4988  ax-pr 5051  ax-un 7110
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3an 1074  df-tru 1631  df-ex 1850  df-nf 1855  df-sb 2043  df-eu 2607  df-mo 2608  df-clab 2743  df-cleq 2749  df-clel 2752  df-nfc 2887  df-ne 2929  df-ral 3051  df-rex 3052  df-reu 3053  df-rab 3055  df-v 3338  df-sbc 3573  df-csb 3671  df-dif 3714  df-un 3716  df-in 3718  df-ss 3725  df-nul 4055  df-if 4227  df-pw 4300  df-sn 4318  df-pr 4320  df-op 4324  df-uni 4585  df-iun 4670  df-br 4801  df-opab 4861  df-mpt 4878  df-id 5170  df-xp 5268  df-rel 5269  df-cnv 5270  df-co 5271  df-dm 5272  df-rn 5273  df-res 5274  df-ima 5275  df-iota 6008  df-fun 6047  df-fn 6048  df-f 6049  df-f1 6050  df-fo 6051  df-f1o 6052  df-fv 6053  df-riota 6770  df-ov 6812  df-oprab 6813  df-poset 17143  df-glb 17172  df-meet 17174  df-lat 17243
This theorem is referenced by:  latleeqm1  17276  latmlem1  17278  latmidm  17283  latledi  17286  mod1ile  17302  oldmm1  35003  olm01  35022  cmtbr4N  35041  atnle  35103  atlatmstc  35105  hlrelat2  35188  cvrval5  35200  cvrexchlem  35204  2atjm  35230  atbtwn  35231  ps-2b  35267  2atm  35312  2llnm4  35355  2llnmeqat  35356  dalemcea  35445  dalem21  35479  dalem54  35511  dalem55  35512  dalem57  35514  2atm2atN  35570  2llnma1b  35571  cdlemblem  35578  dalawlem2  35657  dalawlem3  35658  dalawlem6  35661  dalawlem11  35666  dalawlem12  35667  lhpocnle  35801  lhpmcvr4N  35811  lhpat3  35831  4atexlemcnd  35857  lautm  35879  trlval3  35973  cdlemc5  35981  cdleme3  36023  cdleme7ga  36034  cdleme7  36035  cdleme11k  36054  cdleme16e  36068  cdleme16f  36069  cdlemednpq  36085  cdleme22aa  36125  cdleme22b  36127  cdleme22cN  36128  cdleme23c  36137  cdlemeg46req  36315  cdlemf2  36348  cdlemg10c  36425  cdlemg12f  36434  cdlemg17dALTN  36450  cdlemg19a  36469  cdlemg27b  36482  cdlemi  36606  cdlemk15  36641  cdlemk50  36738  dia2dimlem1  36851  dihopelvalcpre  37035  dihord5b  37046  dihmeetlem1N  37077  dihglblem5apreN  37078  dihglblem2N  37081  dihmeetlem3N  37092
  Copyright terms: Public domain W3C validator