MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  latlem12 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem latlem12 16999
Description: An element is less than or equal to a meet iff the element is less than or equal to each argument of the meet. (Contributed by NM, 21-Oct-2011.)
Hypotheses
Ref Expression
latmle.b 𝐵 = (Base‘𝐾)
latmle.l = (le‘𝐾)
latmle.m = (meet‘𝐾)
Assertion
Ref Expression
latlem12 ((𝐾 ∈ Lat ∧ (𝑋𝐵𝑌𝐵𝑍𝐵)) → ((𝑋 𝑌𝑋 𝑍) ↔ 𝑋 (𝑌 𝑍)))

Proof of Theorem latlem12
StepHypRef Expression
1 latmle.b . 2 𝐵 = (Base‘𝐾)
2 latmle.l . 2 = (le‘𝐾)
3 latmle.m . 2 = (meet‘𝐾)
4 latpos 16971 . . 3 (𝐾 ∈ Lat → 𝐾 ∈ Poset)
54adantr 481 . 2 ((𝐾 ∈ Lat ∧ (𝑋𝐵𝑌𝐵𝑍𝐵)) → 𝐾 ∈ Poset)
6 simpr2 1066 . 2 ((𝐾 ∈ Lat ∧ (𝑋𝐵𝑌𝐵𝑍𝐵)) → 𝑌𝐵)
7 simpr3 1067 . 2 ((𝐾 ∈ Lat ∧ (𝑋𝐵𝑌𝐵𝑍𝐵)) → 𝑍𝐵)
8 simpr1 1065 . 2 ((𝐾 ∈ Lat ∧ (𝑋𝐵𝑌𝐵𝑍𝐵)) → 𝑋𝐵)
9 eqid 2621 . . . 4 (join‘𝐾) = (join‘𝐾)
10 simpl 473 . . . 4 ((𝐾 ∈ Lat ∧ (𝑋𝐵𝑌𝐵𝑍𝐵)) → 𝐾 ∈ Lat)
111, 9, 3, 10, 6, 7latcl2 16969 . . 3 ((𝐾 ∈ Lat ∧ (𝑋𝐵𝑌𝐵𝑍𝐵)) → (⟨𝑌, 𝑍⟩ ∈ dom (join‘𝐾) ∧ ⟨𝑌, 𝑍⟩ ∈ dom ))
1211simprd 479 . 2 ((𝐾 ∈ Lat ∧ (𝑋𝐵𝑌𝐵𝑍𝐵)) → ⟨𝑌, 𝑍⟩ ∈ dom )
131, 2, 3, 5, 6, 7, 8, 12meetle 16949 1 ((𝐾 ∈ Lat ∧ (𝑋𝐵𝑌𝐵𝑍𝐵)) → ((𝑋 𝑌𝑋 𝑍) ↔ 𝑋 (𝑌 𝑍)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 196  wa 384  w3a 1036   = wceq 1480  wcel 1987  cop 4154   class class class wbr 4613  dom cdm 5074  cfv 5847  (class class class)co 6604  Basecbs 15781  lecple 15869  Posetcpo 16861  joincjn 16865  meetcmee 16866  Latclat 16966
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1719  ax-4 1734  ax-5 1836  ax-6 1885  ax-7 1932  ax-8 1989  ax-9 1996  ax-10 2016  ax-11 2031  ax-12 2044  ax-13 2245  ax-ext 2601  ax-rep 4731  ax-sep 4741  ax-nul 4749  ax-pow 4803  ax-pr 4867  ax-un 6902
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3an 1038  df-tru 1483  df-ex 1702  df-nf 1707  df-sb 1878  df-eu 2473  df-mo 2474  df-clab 2608  df-cleq 2614  df-clel 2617  df-nfc 2750  df-ne 2791  df-ral 2912  df-rex 2913  df-reu 2914  df-rab 2916  df-v 3188  df-sbc 3418  df-csb 3515  df-dif 3558  df-un 3560  df-in 3562  df-ss 3569  df-nul 3892  df-if 4059  df-pw 4132  df-sn 4149  df-pr 4151  df-op 4155  df-uni 4403  df-iun 4487  df-br 4614  df-opab 4674  df-mpt 4675  df-id 4989  df-xp 5080  df-rel 5081  df-cnv 5082  df-co 5083  df-dm 5084  df-rn 5085  df-res 5086  df-ima 5087  df-iota 5810  df-fun 5849  df-fn 5850  df-f 5851  df-f1 5852  df-fo 5853  df-f1o 5854  df-fv 5855  df-riota 6565  df-ov 6607  df-oprab 6608  df-poset 16867  df-glb 16896  df-meet 16898  df-lat 16967
This theorem is referenced by:  latleeqm1  17000  latmlem1  17002  latmidm  17007  latledi  17010  mod1ile  17026  oldmm1  33981  olm01  34000  cmtbr4N  34019  atnle  34081  atlatmstc  34083  hlrelat2  34166  cvrval5  34178  cvrexchlem  34182  2atjm  34208  atbtwn  34209  ps-2b  34245  2atm  34290  2llnm4  34333  2llnmeqat  34334  dalemcea  34423  dalem21  34457  dalem54  34489  dalem55  34490  dalem57  34492  2atm2atN  34548  2llnma1b  34549  cdlemblem  34556  dalawlem2  34635  dalawlem3  34636  dalawlem6  34639  dalawlem11  34644  dalawlem12  34645  lhpocnle  34779  lhpmcvr4N  34789  lhpat3  34809  4atexlemcnd  34835  lautm  34857  trlval3  34951  cdlemc5  34959  cdleme3  35001  cdleme7ga  35012  cdleme7  35013  cdleme11k  35032  cdleme16e  35046  cdleme16f  35047  cdlemednpq  35063  cdleme22aa  35104  cdleme22b  35106  cdleme22cN  35107  cdleme23c  35116  cdlemeg46req  35294  cdlemf2  35327  cdlemg10c  35404  cdlemg12f  35413  cdlemg17dALTN  35429  cdlemg19a  35448  cdlemg27b  35461  cdlemi  35585  cdlemk15  35620  cdlemk50  35717  dia2dimlem1  35830  dihopelvalcpre  36014  dihord5b  36025  dihmeetlem1N  36056  dihglblem5apreN  36057  dihglblem2N  36060  dihmeetlem3N  36071
  Copyright terms: Public domain W3C validator