Theorem latmcom 17679

Description: The join of a lattice commutes. (Contributed by NM, 6-Nov-2011.)

Hypotheses

Ref	Expression
latmcom.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝐾)
latmcom.m	⊢ ∧ = (meet‘𝐾)

Assertion

Ref	Expression
latmcom	⊢ ((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → (𝑋 ∧ 𝑌) = (𝑌 ∧ 𝑋))

Proof of Theorem latmcom

Step	Hyp	Ref	Expression
1		opelxpi 5587	. . . . 5 ⊢ ((𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → ⟨𝑋, 𝑌⟩ ∈ (𝐵 × 𝐵))
2	1	3adant1 1126	. . . 4 ⊢ ((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → ⟨𝑋, 𝑌⟩ ∈ (𝐵 × 𝐵))
3		latmcom.b	. . . . . . 7 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝐾)
4		eqid 2821	. . . . . . 7 ⊢ (join‘𝐾) = (join‘𝐾)
5		latmcom.m	. . . . . . 7 ⊢ ∧ = (meet‘𝐾)
6	3, 4, 5	islat 17651	. . . . . 6 ⊢ (𝐾 ∈ Lat ↔ (𝐾 ∈ Poset ∧ (dom (join‘𝐾) = (𝐵 × 𝐵) ∧ dom ∧ = (𝐵 × 𝐵))))
7		simprr 771	. . . . . 6 ⊢ ((𝐾 ∈ Poset ∧ (dom (join‘𝐾) = (𝐵 × 𝐵) ∧ dom ∧ = (𝐵 × 𝐵))) → dom ∧ = (𝐵 × 𝐵))
8	6, 7	sylbi 219	. . . . 5 ⊢ (𝐾 ∈ Lat → dom ∧ = (𝐵 × 𝐵))
9	8	3ad2ant1 1129	. . . 4 ⊢ ((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → dom ∧ = (𝐵 × 𝐵))
10	2, 9	eleqtrrd 2916	. . 3 ⊢ ((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → ⟨𝑋, 𝑌⟩ ∈ dom ∧ )
11		opelxpi 5587	. . . . . 6 ⊢ ((𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → ⟨𝑌, 𝑋⟩ ∈ (𝐵 × 𝐵))
12	11	ancoms 461	. . . . 5 ⊢ ((𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → ⟨𝑌, 𝑋⟩ ∈ (𝐵 × 𝐵))
13	12	3adant1 1126	. . . 4 ⊢ ((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → ⟨𝑌, 𝑋⟩ ∈ (𝐵 × 𝐵))
14	13, 9	eleqtrrd 2916	. . 3 ⊢ ((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → ⟨𝑌, 𝑋⟩ ∈ dom ∧ )
15	10, 14	jca 514	. 2 ⊢ ((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → (⟨𝑋, 𝑌⟩ ∈ dom ∧ ∧ ⟨𝑌, 𝑋⟩ ∈ dom ∧ ))
16		latpos 17654	. . 3 ⊢ (𝐾 ∈ Lat → 𝐾 ∈ Poset)
17	3, 5	meetcom 17636	. . 3 ⊢ (((𝐾 ∈ Poset ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) ∧ (⟨𝑋, 𝑌⟩ ∈ dom ∧ ∧ ⟨𝑌, 𝑋⟩ ∈ dom ∧ )) → (𝑋 ∧ 𝑌) = (𝑌 ∧ 𝑋))
18	16, 17	syl3anl1 1408	. 2 ⊢ (((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) ∧ (⟨𝑋, 𝑌⟩ ∈ dom ∧ ∧ ⟨𝑌, 𝑋⟩ ∈ dom ∧ )) → (𝑋 ∧ 𝑌) = (𝑌 ∧ 𝑋))
19	15, 18	mpdan 685	1 ⊢ ((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → (𝑋 ∧ 𝑌) = (𝑌 ∧ 𝑋))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 398   ∧ w3a 1083   = wceq 1533   ∈ wcel 2110  ⟨cop 4567   × cxp 5548  dom cdm 5550  ‘cfv 6350  (class class class)co 7150  Basecbs 16477  Posetcpo 17544  joincjn 17548  meetcmee 17549  Latclat 17649

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1792  ax-4 1806  ax-5 1907  ax-6 1966  ax-7 2011  ax-8 2112  ax-9 2120  ax-10 2141  ax-11 2156  ax-12 2172  ax-ext 2793  ax-rep 5183  ax-sep 5196  ax-nul 5203  ax-pow 5259  ax-pr 5322  ax-un 7455

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 399  df-or 844  df-3an 1085  df-tru 1536  df-ex 1777  df-nf 1781  df-sb 2066  df-mo 2618  df-eu 2650  df-clab 2800  df-cleq 2814  df-clel 2893  df-nfc 2963  df-ne 3017  df-ral 3143  df-rex 3144  df-reu 3145  df-rab 3147  df-v 3497  df-sbc 3773  df-csb 3884  df-dif 3939  df-un 3941  df-in 3943  df-ss 3952  df-nul 4292  df-if 4468  df-pw 4541  df-sn 4562  df-pr 4564  df-op 4568  df-uni 4833  df-iun 4914  df-br 5060  df-opab 5122  df-mpt 5140  df-id 5455  df-xp 5556  df-rel 5557  df-cnv 5558  df-co 5559  df-dm 5560  df-rn 5561  df-res 5562  df-ima 5563  df-iota 6309  df-fun 6352  df-fn 6353  df-f 6354  df-f1 6355  df-fo 6356  df-f1o 6357  df-fv 6358  df-riota 7108  df-ov 7153  df-oprab 7154  df-glb 17579  df-meet 17581  df-lat 17650

This theorem is referenced by:  latleeqm2  17684  latmlem2  17686  latmlej21  17696  latmlej22  17697  mod2ile  17710  olm12  36358  latm12  36360  latm32  36361  latmrot  36362  olm02  36367  omllaw2N  36374  cmtcomlemN  36378  cmtbr3N  36384  omlfh1N  36388  omlmod1i2N  36390  omlspjN  36391  cvlcvrp  36470  intnatN  36537  cvrexch  36550  cvrat4  36573  2atjm  36575  1cvrat  36606  2at0mat0  36655  dalem4  36795  dalem56  36858  atmod2i1  36991  atmod2i2  36992  llnmod2i2  36993  atmod3i1  36994  atmod3i2  36995  llnexchb2lem  36998  dalawlem3  37003  dalawlem4  37004  dalawlem6  37006  dalawlem9  37009  dalawlem11  37011  dalawlem12  37012  dalawlem15  37015  lhpmcvr  37153  4atexlemc  37199  cdleme20zN  37431  cdleme20d  37442  cdleme20l  37452  cdleme20m  37453  cdlemg12  37780  cdlemg17  37807  cdlemg19  37814  cdlemg44a  37861  dihmeetlem17N  38453  dihmeetlem20N  38456  dihmeetALTN  38457