MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  latmidm Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem latmidm 17684
Description: Lattice join is idempotent. (inidm 4192 analog.) (Contributed by NM, 8-Nov-2011.)
Hypotheses
Ref Expression
latmidm.b 𝐵 = (Base‘𝐾)
latmidm.m = (meet‘𝐾)
Assertion
Ref Expression
latmidm ((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑋𝐵) → (𝑋 𝑋) = 𝑋)

Proof of Theorem latmidm
StepHypRef Expression
1 latmidm.b . 2 𝐵 = (Base‘𝐾)
2 eqid 2818 . 2 (le‘𝐾) = (le‘𝐾)
3 simpl 483 . 2 ((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑋𝐵) → 𝐾 ∈ Lat)
4 latmidm.m . . . 4 = (meet‘𝐾)
51, 4latmcl 17650 . . 3 ((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑋𝐵𝑋𝐵) → (𝑋 𝑋) ∈ 𝐵)
653anidm23 1413 . 2 ((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑋𝐵) → (𝑋 𝑋) ∈ 𝐵)
7 simpr 485 . 2 ((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑋𝐵) → 𝑋𝐵)
81, 2, 4latmle1 17674 . . 3 ((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑋𝐵𝑋𝐵) → (𝑋 𝑋)(le‘𝐾)𝑋)
983anidm23 1413 . 2 ((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑋𝐵) → (𝑋 𝑋)(le‘𝐾)𝑋)
101, 2latref 17651 . . 3 ((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑋𝐵) → 𝑋(le‘𝐾)𝑋)
111, 2, 4latlem12 17676 . . . 4 ((𝐾 ∈ Lat ∧ (𝑋𝐵𝑋𝐵𝑋𝐵)) → ((𝑋(le‘𝐾)𝑋𝑋(le‘𝐾)𝑋) ↔ 𝑋(le‘𝐾)(𝑋 𝑋)))
123, 7, 7, 7, 11syl13anc 1364 . . 3 ((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑋𝐵) → ((𝑋(le‘𝐾)𝑋𝑋(le‘𝐾)𝑋) ↔ 𝑋(le‘𝐾)(𝑋 𝑋)))
1310, 10, 12mpbi2and 708 . 2 ((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑋𝐵) → 𝑋(le‘𝐾)(𝑋 𝑋))
141, 2, 3, 6, 7, 9, 13latasymd 17655 1 ((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑋𝐵) → (𝑋 𝑋) = 𝑋)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 207  wa 396   = wceq 1528  wcel 2105   class class class wbr 5057  cfv 6348  (class class class)co 7145  Basecbs 16471  lecple 16560  meetcmee 17543  Latclat 17643
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1787  ax-4 1801  ax-5 1902  ax-6 1961  ax-7 2006  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2136  ax-11 2151  ax-12 2167  ax-ext 2790  ax-rep 5181  ax-sep 5194  ax-nul 5201  ax-pow 5257  ax-pr 5320  ax-un 7450
This theorem depends on definitions:  df-bi 208  df-an 397  df-or 842  df-3an 1081  df-tru 1531  df-ex 1772  df-nf 1776  df-sb 2061  df-mo 2615  df-eu 2647  df-clab 2797  df-cleq 2811  df-clel 2890  df-nfc 2960  df-ne 3014  df-ral 3140  df-rex 3141  df-reu 3142  df-rab 3144  df-v 3494  df-sbc 3770  df-csb 3881  df-dif 3936  df-un 3938  df-in 3940  df-ss 3949  df-nul 4289  df-if 4464  df-pw 4537  df-sn 4558  df-pr 4560  df-op 4564  df-uni 4831  df-iun 4912  df-br 5058  df-opab 5120  df-mpt 5138  df-id 5453  df-xp 5554  df-rel 5555  df-cnv 5556  df-co 5557  df-dm 5558  df-rn 5559  df-res 5560  df-ima 5561  df-iota 6307  df-fun 6350  df-fn 6351  df-f 6352  df-f1 6353  df-fo 6354  df-f1o 6355  df-fv 6356  df-riota 7103  df-ov 7148  df-oprab 7149  df-proset 17526  df-poset 17544  df-lub 17572  df-glb 17573  df-join 17574  df-meet 17575  df-lat 17644
This theorem is referenced by:  latmmdiN  36250  latmmdir  36251  2llnm3N  36585
  Copyright terms: Public domain W3C validator