MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  latmle2 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem latmle2 17675
Description: A meet is less than or equal to its second argument. (Contributed by NM, 21-Oct-2011.)
Hypotheses
Ref Expression
latmle.b 𝐵 = (Base‘𝐾)
latmle.l = (le‘𝐾)
latmle.m = (meet‘𝐾)
Assertion
Ref Expression
latmle2 ((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑋𝐵𝑌𝐵) → (𝑋 𝑌) 𝑌)

Proof of Theorem latmle2
StepHypRef Expression
1 latmle.b . 2 𝐵 = (Base‘𝐾)
2 latmle.l . 2 = (le‘𝐾)
3 latmle.m . 2 = (meet‘𝐾)
4 simp1 1128 . 2 ((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑋𝐵𝑌𝐵) → 𝐾 ∈ Lat)
5 simp2 1129 . 2 ((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑋𝐵𝑌𝐵) → 𝑋𝐵)
6 simp3 1130 . 2 ((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑋𝐵𝑌𝐵) → 𝑌𝐵)
7 eqid 2818 . . . 4 (join‘𝐾) = (join‘𝐾)
81, 7, 3, 4, 5, 6latcl2 17646 . . 3 ((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑋𝐵𝑌𝐵) → (⟨𝑋, 𝑌⟩ ∈ dom (join‘𝐾) ∧ ⟨𝑋, 𝑌⟩ ∈ dom ))
98simprd 496 . 2 ((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑋𝐵𝑌𝐵) → ⟨𝑋, 𝑌⟩ ∈ dom )
101, 2, 3, 4, 5, 6, 9lemeet2 17625 1 ((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑋𝐵𝑌𝐵) → (𝑋 𝑌) 𝑌)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  w3a 1079   = wceq 1528  wcel 2105  cop 4563   class class class wbr 5057  dom cdm 5548  cfv 6348  (class class class)co 7145  Basecbs 16471  lecple 16560  joincjn 17542  meetcmee 17543  Latclat 17643
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1787  ax-4 1801  ax-5 1902  ax-6 1961  ax-7 2006  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2136  ax-11 2151  ax-12 2167  ax-ext 2790  ax-rep 5181  ax-sep 5194  ax-nul 5201  ax-pow 5257  ax-pr 5320  ax-un 7450
This theorem depends on definitions:  df-bi 208  df-an 397  df-or 842  df-3an 1081  df-tru 1531  df-ex 1772  df-nf 1776  df-sb 2061  df-mo 2615  df-eu 2647  df-clab 2797  df-cleq 2811  df-clel 2890  df-nfc 2960  df-ne 3014  df-ral 3140  df-rex 3141  df-reu 3142  df-rab 3144  df-v 3494  df-sbc 3770  df-csb 3881  df-dif 3936  df-un 3938  df-in 3940  df-ss 3949  df-nul 4289  df-if 4464  df-pw 4537  df-sn 4558  df-pr 4560  df-op 4564  df-uni 4831  df-iun 4912  df-br 5058  df-opab 5120  df-mpt 5138  df-id 5453  df-xp 5554  df-rel 5555  df-cnv 5556  df-co 5557  df-dm 5558  df-rn 5559  df-res 5560  df-ima 5561  df-iota 6307  df-fun 6350  df-fn 6351  df-f 6352  df-f1 6353  df-fo 6354  df-f1o 6355  df-fv 6356  df-riota 7103  df-ov 7148  df-oprab 7149  df-glb 17573  df-meet 17575  df-lat 17644
This theorem is referenced by:  latmlem1  17679  latledi  17687  mod1ile  17703  oldmm1  36233  olm01  36252  cmtcomlemN  36264  cmtbr4N  36271  meetat  36312  cvrexchlem  36435  cvrat4  36459  2llnmj  36576  2lplnmj  36638  dalem25  36714  dalem54  36742  dalem57  36745  cdlema1N  36807  cdlemb  36810  llnexchb2lem  36884  llnexch2N  36886  dalawlem1  36887  dalawlem3  36889  pl42lem1N  36995  lhpelim  37053  lhpat3  37062  4atexlemunv  37082  4atexlemtlw  37083  4atexlemnclw  37086  4atexlemex2  37087  lautm  37110  trlle  37200  cdlemc2  37208  cdlemc5  37211  cdlemd2  37215  cdleme0b  37228  cdleme0c  37229  cdleme0fN  37234  cdleme01N  37237  cdleme0ex1N  37239  cdleme2  37244  cdleme3b  37245  cdleme3c  37246  cdleme3g  37250  cdleme3h  37251  cdleme7aa  37258  cdleme7c  37261  cdleme7d  37262  cdleme7e  37263  cdleme7ga  37264  cdleme11fN  37280  cdleme11k  37284  cdleme15d  37293  cdleme16f  37299  cdlemednpq  37315  cdleme19c  37321  cdleme20aN  37325  cdleme20c  37327  cdleme20j  37334  cdleme21c  37343  cdleme21ct  37345  cdleme22cN  37358  cdleme22f  37362  cdleme23a  37365  cdleme28a  37386  cdleme35d  37468  cdleme35f  37470  cdlemeg46frv  37541  cdlemeg46rgv  37544  cdlemeg46req  37545  cdlemg2fv2  37616  cdlemg2m  37620  cdlemg4  37633  cdlemg10bALTN  37652  cdlemg31b  37714  trlcolem  37742  cdlemk14  37870  dia2dimlem1  38080  docaclN  38140  doca2N  38142  djajN  38153  dihjustlem  38232  dihord1  38234  dihord2a  38235  dihord2b  38236  dihord2cN  38237  dihord11b  38238  dihord11c  38240  dihord2pre  38241  dihlsscpre  38250  dihvalcq2  38263  dihopelvalcpre  38264  dihord6apre  38272  dihord5b  38275  dihord5apre  38278  dihmeetlem1N  38306  dihglblem5apreN  38307  dihglblem3N  38311  dihmeetbclemN  38320  dihmeetlem4preN  38322  dihmeetlem7N  38326  dihmeetlem9N  38331  dihjatcclem4  38437
  Copyright terms: Public domain W3C validator