Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  latmlem1 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem latmlem1 17002
 Description: Add meet to both sides of a lattice ordering. (Contributed by NM, 10-Nov-2011.)
Hypotheses
Ref Expression
latmle.b 𝐵 = (Base‘𝐾)
latmle.l = (le‘𝐾)
latmle.m = (meet‘𝐾)
Assertion
Ref Expression
latmlem1 ((𝐾 ∈ Lat ∧ (𝑋𝐵𝑌𝐵𝑍𝐵)) → (𝑋 𝑌 → (𝑋 𝑍) (𝑌 𝑍)))

Proof of Theorem latmlem1
StepHypRef Expression
1 latmle.b . . . . . 6 𝐵 = (Base‘𝐾)
2 latmle.l . . . . . 6 = (le‘𝐾)
3 latmle.m . . . . . 6 = (meet‘𝐾)
41, 2, 3latmle1 16997 . . . . 5 ((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑋𝐵𝑍𝐵) → (𝑋 𝑍) 𝑋)
543adant3r2 1272 . . . 4 ((𝐾 ∈ Lat ∧ (𝑋𝐵𝑌𝐵𝑍𝐵)) → (𝑋 𝑍) 𝑋)
6 simpl 473 . . . . 5 ((𝐾 ∈ Lat ∧ (𝑋𝐵𝑌𝐵𝑍𝐵)) → 𝐾 ∈ Lat)
71, 3latmcl 16973 . . . . . 6 ((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑋𝐵𝑍𝐵) → (𝑋 𝑍) ∈ 𝐵)
873adant3r2 1272 . . . . 5 ((𝐾 ∈ Lat ∧ (𝑋𝐵𝑌𝐵𝑍𝐵)) → (𝑋 𝑍) ∈ 𝐵)
9 simpr1 1065 . . . . 5 ((𝐾 ∈ Lat ∧ (𝑋𝐵𝑌𝐵𝑍𝐵)) → 𝑋𝐵)
10 simpr2 1066 . . . . 5 ((𝐾 ∈ Lat ∧ (𝑋𝐵𝑌𝐵𝑍𝐵)) → 𝑌𝐵)
111, 2lattr 16977 . . . . 5 ((𝐾 ∈ Lat ∧ ((𝑋 𝑍) ∈ 𝐵𝑋𝐵𝑌𝐵)) → (((𝑋 𝑍) 𝑋𝑋 𝑌) → (𝑋 𝑍) 𝑌))
126, 8, 9, 10, 11syl13anc 1325 . . . 4 ((𝐾 ∈ Lat ∧ (𝑋𝐵𝑌𝐵𝑍𝐵)) → (((𝑋 𝑍) 𝑋𝑋 𝑌) → (𝑋 𝑍) 𝑌))
135, 12mpand 710 . . 3 ((𝐾 ∈ Lat ∧ (𝑋𝐵𝑌𝐵𝑍𝐵)) → (𝑋 𝑌 → (𝑋 𝑍) 𝑌))
141, 2, 3latmle2 16998 . . . 4 ((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑋𝐵𝑍𝐵) → (𝑋 𝑍) 𝑍)
15143adant3r2 1272 . . 3 ((𝐾 ∈ Lat ∧ (𝑋𝐵𝑌𝐵𝑍𝐵)) → (𝑋 𝑍) 𝑍)
1613, 15jctird 566 . 2 ((𝐾 ∈ Lat ∧ (𝑋𝐵𝑌𝐵𝑍𝐵)) → (𝑋 𝑌 → ((𝑋 𝑍) 𝑌 ∧ (𝑋 𝑍) 𝑍)))
17 simpr3 1067 . . . 4 ((𝐾 ∈ Lat ∧ (𝑋𝐵𝑌𝐵𝑍𝐵)) → 𝑍𝐵)
188, 10, 173jca 1240 . . 3 ((𝐾 ∈ Lat ∧ (𝑋𝐵𝑌𝐵𝑍𝐵)) → ((𝑋 𝑍) ∈ 𝐵𝑌𝐵𝑍𝐵))
191, 2, 3latlem12 16999 . . 3 ((𝐾 ∈ Lat ∧ ((𝑋 𝑍) ∈ 𝐵𝑌𝐵𝑍𝐵)) → (((𝑋 𝑍) 𝑌 ∧ (𝑋 𝑍) 𝑍) ↔ (𝑋 𝑍) (𝑌 𝑍)))
2018, 19syldan 487 . 2 ((𝐾 ∈ Lat ∧ (𝑋𝐵𝑌𝐵𝑍𝐵)) → (((𝑋 𝑍) 𝑌 ∧ (𝑋 𝑍) 𝑍) ↔ (𝑋 𝑍) (𝑌 𝑍)))
2116, 20sylibd 229 1 ((𝐾 ∈ Lat ∧ (𝑋𝐵𝑌𝐵𝑍𝐵)) → (𝑋 𝑌 → (𝑋 𝑍) (𝑌 𝑍)))
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 196   ∧ wa 384   ∧ w3a 1036   = wceq 1480   ∈ wcel 1987   class class class wbr 4613  ‘cfv 5847  (class class class)co 6604  Basecbs 15781  lecple 15869  meetcmee 16866  Latclat 16966 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1719  ax-4 1734  ax-5 1836  ax-6 1885  ax-7 1932  ax-8 1989  ax-9 1996  ax-10 2016  ax-11 2031  ax-12 2044  ax-13 2245  ax-ext 2601  ax-rep 4731  ax-sep 4741  ax-nul 4749  ax-pow 4803  ax-pr 4867  ax-un 6902 This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3an 1038  df-tru 1483  df-ex 1702  df-nf 1707  df-sb 1878  df-eu 2473  df-mo 2474  df-clab 2608  df-cleq 2614  df-clel 2617  df-nfc 2750  df-ne 2791  df-ral 2912  df-rex 2913  df-reu 2914  df-rab 2916  df-v 3188  df-sbc 3418  df-csb 3515  df-dif 3558  df-un 3560  df-in 3562  df-ss 3569  df-nul 3892  df-if 4059  df-pw 4132  df-sn 4149  df-pr 4151  df-op 4155  df-uni 4403  df-iun 4487  df-br 4614  df-opab 4674  df-mpt 4675  df-id 4989  df-xp 5080  df-rel 5081  df-cnv 5082  df-co 5083  df-dm 5084  df-rn 5085  df-res 5086  df-ima 5087  df-iota 5810  df-fun 5849  df-fn 5850  df-f 5851  df-f1 5852  df-fo 5853  df-f1o 5854  df-fv 5855  df-riota 6565  df-ov 6607  df-oprab 6608  df-poset 16867  df-lub 16895  df-glb 16896  df-join 16897  df-meet 16898  df-lat 16967 This theorem is referenced by:  latmlem2  17003  latmlem12  17004  dalem25  34464  dalawlem2  34638  dalawlem11  34647  dalawlem12  34648  cdleme22d  35111  cdleme30a  35146  cdleme32c  35211  cdleme32e  35213  trlcolem  35494  cdlemk5u  35629  cdlemk39  35684  cdlemm10N  35887  cdlemn2  35964  dihord1  35987
 Copyright terms: Public domain W3C validator