Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  latmmdiN Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem latmmdiN 34993
Description: Lattice meet distributes over itself. (inindi 3961 analog.) (Contributed by NM, 8-Nov-2011.) (New usage is discouraged.)
Hypotheses
Ref Expression
olmass.b 𝐵 = (Base‘𝐾)
olmass.m = (meet‘𝐾)
Assertion
Ref Expression
latmmdiN ((𝐾 ∈ OL ∧ (𝑋𝐵𝑌𝐵𝑍𝐵)) → (𝑋 (𝑌 𝑍)) = ((𝑋 𝑌) (𝑋 𝑍)))

Proof of Theorem latmmdiN
StepHypRef Expression
1 ollat 34972 . . . . 5 (𝐾 ∈ OL → 𝐾 ∈ Lat)
21adantr 472 . . . 4 ((𝐾 ∈ OL ∧ (𝑋𝐵𝑌𝐵𝑍𝐵)) → 𝐾 ∈ Lat)
3 simpr1 1210 . . . 4 ((𝐾 ∈ OL ∧ (𝑋𝐵𝑌𝐵𝑍𝐵)) → 𝑋𝐵)
4 olmass.b . . . . 5 𝐵 = (Base‘𝐾)
5 olmass.m . . . . 5 = (meet‘𝐾)
64, 5latmidm 17258 . . . 4 ((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑋𝐵) → (𝑋 𝑋) = 𝑋)
72, 3, 6syl2anc 696 . . 3 ((𝐾 ∈ OL ∧ (𝑋𝐵𝑌𝐵𝑍𝐵)) → (𝑋 𝑋) = 𝑋)
87oveq1d 6816 . 2 ((𝐾 ∈ OL ∧ (𝑋𝐵𝑌𝐵𝑍𝐵)) → ((𝑋 𝑋) (𝑌 𝑍)) = (𝑋 (𝑌 𝑍)))
9 simpl 474 . . 3 ((𝐾 ∈ OL ∧ (𝑋𝐵𝑌𝐵𝑍𝐵)) → 𝐾 ∈ OL)
10 simpr2 1212 . . 3 ((𝐾 ∈ OL ∧ (𝑋𝐵𝑌𝐵𝑍𝐵)) → 𝑌𝐵)
11 simpr3 1214 . . 3 ((𝐾 ∈ OL ∧ (𝑋𝐵𝑌𝐵𝑍𝐵)) → 𝑍𝐵)
124, 5latm4 34992 . . 3 ((𝐾 ∈ OL ∧ (𝑋𝐵𝑋𝐵) ∧ (𝑌𝐵𝑍𝐵)) → ((𝑋 𝑋) (𝑌 𝑍)) = ((𝑋 𝑌) (𝑋 𝑍)))
139, 3, 3, 10, 11, 12syl122anc 1472 . 2 ((𝐾 ∈ OL ∧ (𝑋𝐵𝑌𝐵𝑍𝐵)) → ((𝑋 𝑋) (𝑌 𝑍)) = ((𝑋 𝑌) (𝑋 𝑍)))
148, 13eqtr3d 2784 1 ((𝐾 ∈ OL ∧ (𝑋𝐵𝑌𝐵𝑍𝐵)) → (𝑋 (𝑌 𝑍)) = ((𝑋 𝑌) (𝑋 𝑍)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 383  w3a 1072   = wceq 1620  wcel 2127  cfv 6037  (class class class)co 6801  Basecbs 16030  meetcmee 17117  Latclat 17217  OLcol 34933
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1859  ax-4 1874  ax-5 1976  ax-6 2042  ax-7 2078  ax-8 2129  ax-9 2136  ax-10 2156  ax-11 2171  ax-12 2184  ax-13 2379  ax-ext 2728  ax-rep 4911  ax-sep 4921  ax-nul 4929  ax-pow 4980  ax-pr 5043  ax-un 7102
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3an 1074  df-tru 1623  df-ex 1842  df-nf 1847  df-sb 2035  df-eu 2599  df-mo 2600  df-clab 2735  df-cleq 2741  df-clel 2744  df-nfc 2879  df-ne 2921  df-ral 3043  df-rex 3044  df-reu 3045  df-rab 3047  df-v 3330  df-sbc 3565  df-csb 3663  df-dif 3706  df-un 3708  df-in 3710  df-ss 3717  df-nul 4047  df-if 4219  df-pw 4292  df-sn 4310  df-pr 4312  df-op 4316  df-uni 4577  df-iun 4662  df-br 4793  df-opab 4853  df-mpt 4870  df-id 5162  df-xp 5260  df-rel 5261  df-cnv 5262  df-co 5263  df-dm 5264  df-rn 5265  df-res 5266  df-ima 5267  df-iota 6000  df-fun 6039  df-fn 6040  df-f 6041  df-f1 6042  df-fo 6043  df-f1o 6044  df-fv 6045  df-riota 6762  df-ov 6804  df-oprab 6805  df-preset 17100  df-poset 17118  df-lub 17146  df-glb 17147  df-join 17148  df-meet 17149  df-lat 17218  df-oposet 34935  df-ol 34937
This theorem is referenced by:  omlfh1N  35017
  Copyright terms: Public domain W3C validator