MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  latref Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem latref 16974
Description: A lattice ordering is reflexive. (ssid 3603 analog.) (Contributed by NM, 8-Oct-2011.)
Hypotheses
Ref Expression
latref.b 𝐵 = (Base‘𝐾)
latref.l = (le‘𝐾)
Assertion
Ref Expression
latref ((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑋𝐵) → 𝑋 𝑋)

Proof of Theorem latref
StepHypRef Expression
1 latpos 16971 . 2 (𝐾 ∈ Lat → 𝐾 ∈ Poset)
2 latref.b . . 3 𝐵 = (Base‘𝐾)
3 latref.l . . 3 = (le‘𝐾)
42, 3posref 16872 . 2 ((𝐾 ∈ Poset ∧ 𝑋𝐵) → 𝑋 𝑋)
51, 4sylan 488 1 ((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑋𝐵) → 𝑋 𝑋)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 384   = wceq 1480  wcel 1987   class class class wbr 4613  cfv 5847  Basecbs 15781  lecple 15869  Posetcpo 16861  Latclat 16966
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1719  ax-4 1734  ax-5 1836  ax-6 1885  ax-7 1932  ax-9 1996  ax-10 2016  ax-11 2031  ax-12 2044  ax-13 2245  ax-ext 2601  ax-nul 4749
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3an 1038  df-tru 1483  df-ex 1702  df-nf 1707  df-sb 1878  df-eu 2473  df-clab 2608  df-cleq 2614  df-clel 2617  df-nfc 2750  df-ral 2912  df-rex 2913  df-rab 2916  df-v 3188  df-sbc 3418  df-dif 3558  df-un 3560  df-in 3562  df-ss 3569  df-nul 3892  df-if 4059  df-sn 4149  df-pr 4151  df-op 4155  df-uni 4403  df-br 4614  df-opab 4674  df-xp 5080  df-dm 5084  df-iota 5810  df-fv 5855  df-preset 16849  df-poset 16867  df-lat 16967
This theorem is referenced by:  latleeqj1  16984  latjidm  16995  latleeqm1  17000  latmidm  17007  olj01  33989  olm01  34000  cmtidN  34021  ps-1  34240  3at  34253  llnneat  34277  2atnelpln  34307  lplnneat  34308  lplnnelln  34309  3atnelvolN  34349  lvolneatN  34351  lvolnelln  34352  lvolnelpln  34353  4at  34376  lplncvrlvol  34379  lncmp  34546  lhpocnle  34779  ltrnel  34902  ltrncnvel  34905  ltrnmwOLD  34915  tendoidcl  35534  cdlemk39u  35733  dia1eldmN  35807  dia1N  35819  dihwN  36055  dihglblem5apreN  36057  dihmeetbclemN  36070
  Copyright terms: Public domain W3C validator