MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  latref Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem latref 17175
Description: A lattice ordering is reflexive. (ssid 3730 analog.) (Contributed by NM, 8-Oct-2011.)
Hypotheses
Ref Expression
latref.b 𝐵 = (Base‘𝐾)
latref.l = (le‘𝐾)
Assertion
Ref Expression
latref ((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑋𝐵) → 𝑋 𝑋)

Proof of Theorem latref
StepHypRef Expression
1 latpos 17172 . 2 (𝐾 ∈ Lat → 𝐾 ∈ Poset)
2 latref.b . . 3 𝐵 = (Base‘𝐾)
3 latref.l . . 3 = (le‘𝐾)
42, 3posref 17073 . 2 ((𝐾 ∈ Poset ∧ 𝑋𝐵) → 𝑋 𝑋)
51, 4sylan 489 1 ((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑋𝐵) → 𝑋 𝑋)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 383   = wceq 1596  wcel 2103   class class class wbr 4760  cfv 6001  Basecbs 15980  lecple 16071  Posetcpo 17062  Latclat 17167
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1835  ax-4 1850  ax-5 1952  ax-6 2018  ax-7 2054  ax-9 2112  ax-10 2132  ax-11 2147  ax-12 2160  ax-13 2355  ax-ext 2704  ax-nul 4897
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3an 1074  df-tru 1599  df-ex 1818  df-nf 1823  df-sb 2011  df-eu 2575  df-clab 2711  df-cleq 2717  df-clel 2720  df-nfc 2855  df-ral 3019  df-rex 3020  df-rab 3023  df-v 3306  df-sbc 3542  df-dif 3683  df-un 3685  df-in 3687  df-ss 3694  df-nul 4024  df-if 4195  df-sn 4286  df-pr 4288  df-op 4292  df-uni 4545  df-br 4761  df-opab 4821  df-xp 5224  df-dm 5228  df-iota 5964  df-fv 6009  df-preset 17050  df-poset 17068  df-lat 17168
This theorem is referenced by:  latleeqj1  17185  latjidm  17196  latleeqm1  17201  latmidm  17208  olj01  34932  olm01  34943  cmtidN  34964  ps-1  35183  3at  35196  llnneat  35220  2atnelpln  35250  lplnneat  35251  lplnnelln  35252  3atnelvolN  35292  lvolneatN  35294  lvolnelln  35295  lvolnelpln  35296  4at  35319  lplncvrlvol  35322  lncmp  35489  lhpocnle  35722  ltrnel  35845  ltrncnvel  35848  ltrnmwOLD  35858  tendoidcl  36476  cdlemk39u  36675  dia1eldmN  36749  dia1N  36761  dihwN  36997  dihglblem5apreN  36999  dihmeetbclemN  37012
  Copyright terms: Public domain W3C validator