MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  lattr Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem lattr 17654
Description: A lattice ordering is transitive. (sstr 3972 analog.) (Contributed by NM, 17-Nov-2011.)
Hypotheses
Ref Expression
latref.b 𝐵 = (Base‘𝐾)
latref.l = (le‘𝐾)
Assertion
Ref Expression
lattr ((𝐾 ∈ Lat ∧ (𝑋𝐵𝑌𝐵𝑍𝐵)) → ((𝑋 𝑌𝑌 𝑍) → 𝑋 𝑍))

Proof of Theorem lattr
StepHypRef Expression
1 latpos 17648 . 2 (𝐾 ∈ Lat → 𝐾 ∈ Poset)
2 latref.b . . 3 𝐵 = (Base‘𝐾)
3 latref.l . . 3 = (le‘𝐾)
42, 3postr 17551 . 2 ((𝐾 ∈ Poset ∧ (𝑋𝐵𝑌𝐵𝑍𝐵)) → ((𝑋 𝑌𝑌 𝑍) → 𝑋 𝑍))
51, 4sylan 580 1 ((𝐾 ∈ Lat ∧ (𝑋𝐵𝑌𝐵𝑍𝐵)) → ((𝑋 𝑌𝑌 𝑍) → 𝑋 𝑍))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 396  w3a 1079   = wceq 1528  wcel 2105   class class class wbr 5057  cfv 6348  Basecbs 16471  lecple 16560  Posetcpo 17538  Latclat 17643
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1787  ax-4 1801  ax-5 1902  ax-6 1961  ax-7 2006  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2136  ax-11 2151  ax-12 2167  ax-ext 2790  ax-nul 5201
This theorem depends on definitions:  df-bi 208  df-an 397  df-or 842  df-3an 1081  df-tru 1531  df-ex 1772  df-nf 1776  df-sb 2061  df-mo 2615  df-eu 2647  df-clab 2797  df-cleq 2811  df-clel 2890  df-nfc 2960  df-ral 3140  df-rex 3141  df-rab 3144  df-v 3494  df-sbc 3770  df-dif 3936  df-un 3938  df-in 3940  df-ss 3949  df-nul 4289  df-if 4464  df-sn 4558  df-pr 4560  df-op 4564  df-uni 4831  df-br 5058  df-opab 5120  df-xp 5554  df-dm 5558  df-iota 6307  df-fv 6356  df-poset 17544  df-lat 17644
This theorem is referenced by:  lattrd  17656  latjlej1  17663  latjlej12  17665  latnlej2  17669  latmlem1  17679  latmlem12  17681  clatleglb  17724  lecmtN  36272  hlrelat2  36419  ps-2  36494  dalem3  36680  dalem17  36696  dalem21  36710  dalem25  36714  linepsubN  36768  pmapsub  36784  cdlemblem  36809  pmapjoin  36868  lhpmcvr4N  37042  4atexlemnclw  37086  cdlemd3  37216  cdleme3g  37250  cdleme3h  37251  cdleme7d  37262  cdleme21c  37343  cdleme32b  37458  cdleme35fnpq  37465  cdleme35f  37470  cdleme48bw  37518  cdlemf1  37577  cdlemg2fv2  37616  cdlemg7fvbwN  37623  cdlemg4  37633  cdlemg6c  37636  cdlemg27a  37708  cdlemg33b0  37717  cdlemg33a  37722  cdlemk3  37849  dia2dimlem1  38080  dihord6b  38276  dihord5apre  38278  dihglbcpreN  38316
  Copyright terms: Public domain W3C validator