MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  lattrd Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem lattrd 17279
Description: A lattice ordering is transitive. Deduction version of lattr 17277. (Contributed by NM, 3-Sep-2012.)
Hypotheses
Ref Expression
lattrd.b 𝐵 = (Base‘𝐾)
lattrd.l = (le‘𝐾)
lattrd.1 (𝜑𝐾 ∈ Lat)
lattrd.2 (𝜑𝑋𝐵)
lattrd.3 (𝜑𝑌𝐵)
lattrd.4 (𝜑𝑍𝐵)
lattrd.5 (𝜑𝑋 𝑌)
lattrd.6 (𝜑𝑌 𝑍)
Assertion
Ref Expression
lattrd (𝜑𝑋 𝑍)

Proof of Theorem lattrd
StepHypRef Expression
1 lattrd.5 . 2 (𝜑𝑋 𝑌)
2 lattrd.6 . 2 (𝜑𝑌 𝑍)
3 lattrd.1 . . 3 (𝜑𝐾 ∈ Lat)
4 lattrd.2 . . 3 (𝜑𝑋𝐵)
5 lattrd.3 . . 3 (𝜑𝑌𝐵)
6 lattrd.4 . . 3 (𝜑𝑍𝐵)
7 lattrd.b . . . 4 𝐵 = (Base‘𝐾)
8 lattrd.l . . . 4 = (le‘𝐾)
97, 8lattr 17277 . . 3 ((𝐾 ∈ Lat ∧ (𝑋𝐵𝑌𝐵𝑍𝐵)) → ((𝑋 𝑌𝑌 𝑍) → 𝑋 𝑍))
103, 4, 5, 6, 9syl13anc 1479 . 2 (𝜑 → ((𝑋 𝑌𝑌 𝑍) → 𝑋 𝑍))
111, 2, 10mp2and 717 1 (𝜑𝑋 𝑍)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 383   = wceq 1632  wcel 2139   class class class wbr 4804  cfv 6049  Basecbs 16079  lecple 16170  Latclat 17266
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1871  ax-4 1886  ax-5 1988  ax-6 2054  ax-7 2090  ax-9 2148  ax-10 2168  ax-11 2183  ax-12 2196  ax-13 2391  ax-ext 2740  ax-nul 4941
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3an 1074  df-tru 1635  df-ex 1854  df-nf 1859  df-sb 2047  df-eu 2611  df-clab 2747  df-cleq 2753  df-clel 2756  df-nfc 2891  df-ral 3055  df-rex 3056  df-rab 3059  df-v 3342  df-sbc 3577  df-dif 3718  df-un 3720  df-in 3722  df-ss 3729  df-nul 4059  df-if 4231  df-sn 4322  df-pr 4324  df-op 4328  df-uni 4589  df-br 4805  df-opab 4865  df-xp 5272  df-dm 5276  df-iota 6012  df-fv 6057  df-poset 17167  df-lat 17267
This theorem is referenced by:  latmlej11  17311  latjass  17316  lubun  17344  cvlcvr1  35147  exatleN  35211  2atjm  35252  2llnmat  35331  llnmlplnN  35346  2llnjaN  35373  2lplnja  35426  dalem5  35474  lncmp  35590  2lnat  35591  2llnma1b  35593  cdlema1N  35598  paddasslem5  35631  paddasslem12  35638  paddasslem13  35639  dalawlem3  35680  dalawlem5  35682  dalawlem6  35683  dalawlem7  35684  dalawlem8  35685  dalawlem11  35688  dalawlem12  35689  pl42lem1N  35786  lhpexle2lem  35816  lhpexle3lem  35818  4atexlemtlw  35874  4atexlemc  35876  cdleme15  36086  cdleme17b  36095  cdleme22e  36152  cdleme22eALTN  36153  cdleme23a  36157  cdleme28a  36178  cdleme30a  36186  cdleme32e  36253  cdleme35b  36258  trlord  36377  cdlemg10  36449  cdlemg11b  36450  cdlemg17a  36469  cdlemg35  36521  tendococl  36580  tendopltp  36588  cdlemi1  36626  cdlemk11  36657  cdlemk5u  36669  cdlemk11u  36679  cdlemk52  36762  dialss  36855  diaglbN  36864  diaintclN  36867  dia2dimlem1  36873  cdlemm10N  36927  djajN  36946  dibglbN  36975  dibintclN  36976  diblss  36979  cdlemn10  37015  dihord1  37027  dihord2pre2  37035  dihopelvalcpre  37057  dihord5apre  37071  dihmeetlem1N  37099  dihglblem2N  37103  dihmeetlem2N  37108  dihglbcpreN  37109  dihmeetlem3N  37114
  Copyright terms: Public domain W3C validator