MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  lattrd Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem lattrd 16979
Description: A lattice ordering is transitive. Deduction version of lattr 16977. (Contributed by NM, 3-Sep-2012.)
Hypotheses
Ref Expression
lattrd.b 𝐵 = (Base‘𝐾)
lattrd.l = (le‘𝐾)
lattrd.1 (𝜑𝐾 ∈ Lat)
lattrd.2 (𝜑𝑋𝐵)
lattrd.3 (𝜑𝑌𝐵)
lattrd.4 (𝜑𝑍𝐵)
lattrd.5 (𝜑𝑋 𝑌)
lattrd.6 (𝜑𝑌 𝑍)
Assertion
Ref Expression
lattrd (𝜑𝑋 𝑍)

Proof of Theorem lattrd
StepHypRef Expression
1 lattrd.5 . 2 (𝜑𝑋 𝑌)
2 lattrd.6 . 2 (𝜑𝑌 𝑍)
3 lattrd.1 . . 3 (𝜑𝐾 ∈ Lat)
4 lattrd.2 . . 3 (𝜑𝑋𝐵)
5 lattrd.3 . . 3 (𝜑𝑌𝐵)
6 lattrd.4 . . 3 (𝜑𝑍𝐵)
7 lattrd.b . . . 4 𝐵 = (Base‘𝐾)
8 lattrd.l . . . 4 = (le‘𝐾)
97, 8lattr 16977 . . 3 ((𝐾 ∈ Lat ∧ (𝑋𝐵𝑌𝐵𝑍𝐵)) → ((𝑋 𝑌𝑌 𝑍) → 𝑋 𝑍))
103, 4, 5, 6, 9syl13anc 1325 . 2 (𝜑 → ((𝑋 𝑌𝑌 𝑍) → 𝑋 𝑍))
111, 2, 10mp2and 714 1 (𝜑𝑋 𝑍)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 384   = wceq 1480  wcel 1987   class class class wbr 4613  cfv 5847  Basecbs 15781  lecple 15869  Latclat 16966
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1719  ax-4 1734  ax-5 1836  ax-6 1885  ax-7 1932  ax-9 1996  ax-10 2016  ax-11 2031  ax-12 2044  ax-13 2245  ax-ext 2601  ax-nul 4749
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3an 1038  df-tru 1483  df-ex 1702  df-nf 1707  df-sb 1878  df-eu 2473  df-clab 2608  df-cleq 2614  df-clel 2617  df-nfc 2750  df-ral 2912  df-rex 2913  df-rab 2916  df-v 3188  df-sbc 3418  df-dif 3558  df-un 3560  df-in 3562  df-ss 3569  df-nul 3892  df-if 4059  df-sn 4149  df-pr 4151  df-op 4155  df-uni 4403  df-br 4614  df-opab 4674  df-xp 5080  df-dm 5084  df-iota 5810  df-fv 5855  df-poset 16867  df-lat 16967
This theorem is referenced by:  latmlej11  17011  latjass  17016  lubun  17044  cvlcvr1  34106  exatleN  34170  2atjm  34211  2llnmat  34290  llnmlplnN  34305  2llnjaN  34332  2lplnja  34385  dalem5  34433  lncmp  34549  2lnat  34550  2llnma1b  34552  cdlema1N  34557  paddasslem5  34590  paddasslem12  34597  paddasslem13  34598  dalawlem3  34639  dalawlem5  34641  dalawlem6  34642  dalawlem7  34643  dalawlem8  34644  dalawlem11  34647  dalawlem12  34648  pl42lem1N  34745  lhpexle2lem  34775  lhpexle3lem  34777  4atexlemtlw  34833  4atexlemc  34835  cdleme15  35045  cdleme17b  35054  cdleme22e  35112  cdleme22eALTN  35113  cdleme23a  35117  cdleme28a  35138  cdleme30a  35146  cdleme32e  35213  cdleme35b  35218  trlord  35337  cdlemg10  35409  cdlemg11b  35410  cdlemg17a  35429  cdlemg35  35481  tendococl  35540  tendopltp  35548  cdlemi1  35586  cdlemk11  35617  cdlemk5u  35629  cdlemk11u  35639  cdlemk52  35722  dialss  35815  diaglbN  35824  diaintclN  35827  dia2dimlem1  35833  cdlemm10N  35887  djajN  35906  dibglbN  35935  dibintclN  35936  diblss  35939  cdlemn10  35975  dihord1  35987  dihord2pre2  35995  dihopelvalcpre  36017  dihord5apre  36031  dihmeetlem1N  36059  dihglblem2N  36063  dihmeetlem2N  36068  dihglbcpreN  36069  dihmeetlem3N  36074
  Copyright terms: Public domain W3C validator