Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  laut1o Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem laut1o 34837
Description: A lattice automorphism is one-to-one and onto. (Contributed by NM, 19-May-2012.)
Hypotheses
Ref Expression
laut1o.b 𝐵 = (Base‘𝐾)
laut1o.i 𝐼 = (LAut‘𝐾)
Assertion
Ref Expression
laut1o ((𝐾𝐴𝐹𝐼) → 𝐹:𝐵1-1-onto𝐵)

Proof of Theorem laut1o
Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 laut1o.b . . 3 𝐵 = (Base‘𝐾)
2 eqid 2626 . . 3 (le‘𝐾) = (le‘𝐾)
3 laut1o.i . . 3 𝐼 = (LAut‘𝐾)
41, 2, 3islaut 34835 . 2 (𝐾𝐴 → (𝐹𝐼 ↔ (𝐹:𝐵1-1-onto𝐵 ∧ ∀𝑥𝐵𝑦𝐵 (𝑥(le‘𝐾)𝑦 ↔ (𝐹𝑥)(le‘𝐾)(𝐹𝑦)))))
54simprbda 652 1 ((𝐾𝐴𝐹𝐼) → 𝐹:𝐵1-1-onto𝐵)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 196  wa 384   = wceq 1480  wcel 1992  wral 2912   class class class wbr 4618  1-1-ontowf1o 5849  cfv 5850  Basecbs 15776  lecple 15864  LAutclaut 34737
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1719  ax-4 1734  ax-5 1841  ax-6 1890  ax-7 1937  ax-8 1994  ax-9 2001  ax-10 2021  ax-11 2036  ax-12 2049  ax-13 2250  ax-ext 2606  ax-rep 4736  ax-sep 4746  ax-nul 4754  ax-pow 4808  ax-pr 4872  ax-un 6903
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3an 1038  df-tru 1483  df-ex 1702  df-nf 1707  df-sb 1883  df-eu 2478  df-mo 2479  df-clab 2613  df-cleq 2619  df-clel 2622  df-nfc 2756  df-ne 2797  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rab 2921  df-v 3193  df-sbc 3423  df-csb 3520  df-dif 3563  df-un 3565  df-in 3567  df-ss 3574  df-nul 3897  df-if 4064  df-pw 4137  df-sn 4154  df-pr 4156  df-op 4160  df-uni 4408  df-iun 4492  df-br 4619  df-opab 4679  df-mpt 4680  df-id 4994  df-xp 5085  df-rel 5086  df-cnv 5087  df-co 5088  df-dm 5089  df-rn 5090  df-res 5091  df-ima 5092  df-iota 5813  df-fun 5852  df-fn 5853  df-f 5854  df-f1 5855  df-fo 5856  df-f1o 5857  df-fv 5858  df-ov 6608  df-oprab 6609  df-mpt2 6610  df-map 7805  df-laut 34741
This theorem is referenced by:  laut11  34838  lautcl  34839  lautcnvclN  34840  lautcnvle  34841  lautcnv  34842  lautcvr  34844  lautj  34845  lautm  34846  lautco  34849  ldil1o  34864  ltrn1o  34876
  Copyright terms: Public domain W3C validator