Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  laut1o Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem laut1o 37103
Description: A lattice automorphism is one-to-one and onto. (Contributed by NM, 19-May-2012.)
Hypotheses
Ref Expression
laut1o.b 𝐵 = (Base‘𝐾)
laut1o.i 𝐼 = (LAut‘𝐾)
Assertion
Ref Expression
laut1o ((𝐾𝐴𝐹𝐼) → 𝐹:𝐵1-1-onto𝐵)

Proof of Theorem laut1o
Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 laut1o.b . . 3 𝐵 = (Base‘𝐾)
2 eqid 2821 . . 3 (le‘𝐾) = (le‘𝐾)
3 laut1o.i . . 3 𝐼 = (LAut‘𝐾)
41, 2, 3islaut 37101 . 2 (𝐾𝐴 → (𝐹𝐼 ↔ (𝐹:𝐵1-1-onto𝐵 ∧ ∀𝑥𝐵𝑦𝐵 (𝑥(le‘𝐾)𝑦 ↔ (𝐹𝑥)(le‘𝐾)(𝐹𝑦)))))
54simprbda 499 1 ((𝐾𝐴𝐹𝐼) → 𝐹:𝐵1-1-onto𝐵)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 207  wa 396   = wceq 1528  wcel 2105  wral 3138   class class class wbr 5058  1-1-ontowf1o 6348  cfv 6349  Basecbs 16473  lecple 16562  LAutclaut 37003
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1787  ax-4 1801  ax-5 1902  ax-6 1961  ax-7 2006  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2136  ax-11 2151  ax-12 2167  ax-ext 2793  ax-rep 5182  ax-sep 5195  ax-nul 5202  ax-pow 5258  ax-pr 5321  ax-un 7450
This theorem depends on definitions:  df-bi 208  df-an 397  df-or 842  df-3an 1081  df-tru 1531  df-ex 1772  df-nf 1776  df-sb 2061  df-mo 2618  df-eu 2650  df-clab 2800  df-cleq 2814  df-clel 2893  df-nfc 2963  df-ne 3017  df-ral 3143  df-rex 3144  df-reu 3145  df-rab 3147  df-v 3497  df-sbc 3772  df-csb 3883  df-dif 3938  df-un 3940  df-in 3942  df-ss 3951  df-nul 4291  df-if 4466  df-pw 4539  df-sn 4560  df-pr 4562  df-op 4566  df-uni 4833  df-iun 4914  df-br 5059  df-opab 5121  df-mpt 5139  df-id 5454  df-xp 5555  df-rel 5556  df-cnv 5557  df-co 5558  df-dm 5559  df-rn 5560  df-res 5561  df-ima 5562  df-iota 6308  df-fun 6351  df-fn 6352  df-f 6353  df-f1 6354  df-fo 6355  df-f1o 6356  df-fv 6357  df-ov 7148  df-oprab 7149  df-mpo 7150  df-map 8398  df-laut 37007
This theorem is referenced by:  laut11  37104  lautcl  37105  lautcnvclN  37106  lautcnvle  37107  lautcnv  37108  lautcvr  37110  lautj  37111  lautm  37112  lautco  37115  ldil1o  37130  ltrn1o  37142
  Copyright terms: Public domain W3C validator