Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  lautcl Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem lautcl 37103
Description: A lattice automorphism value belongs to the base set. (Contributed by NM, 20-May-2012.)
Hypotheses
Ref Expression
laut1o.b 𝐵 = (Base‘𝐾)
laut1o.i 𝐼 = (LAut‘𝐾)
Assertion
Ref Expression
lautcl (((𝐾𝑉𝐹𝐼) ∧ 𝑋𝐵) → (𝐹𝑋) ∈ 𝐵)

Proof of Theorem lautcl
StepHypRef Expression
1 laut1o.b . . . 4 𝐵 = (Base‘𝐾)
2 laut1o.i . . . 4 𝐼 = (LAut‘𝐾)
31, 2laut1o 37101 . . 3 ((𝐾𝑉𝐹𝐼) → 𝐹:𝐵1-1-onto𝐵)
4 f1of 6608 . . 3 (𝐹:𝐵1-1-onto𝐵𝐹:𝐵𝐵)
53, 4syl 17 . 2 ((𝐾𝑉𝐹𝐼) → 𝐹:𝐵𝐵)
65ffvelrnda 6843 1 (((𝐾𝑉𝐹𝐼) ∧ 𝑋𝐵) → (𝐹𝑋) ∈ 𝐵)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 396   = wceq 1528  wcel 2105  wf 6344  1-1-ontowf1o 6347  cfv 6348  Basecbs 16471  LAutclaut 37001
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1787  ax-4 1801  ax-5 1902  ax-6 1961  ax-7 2006  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2136  ax-11 2151  ax-12 2167  ax-ext 2790  ax-rep 5181  ax-sep 5194  ax-nul 5201  ax-pow 5257  ax-pr 5320  ax-un 7450
This theorem depends on definitions:  df-bi 208  df-an 397  df-or 842  df-3an 1081  df-tru 1531  df-ex 1772  df-nf 1776  df-sb 2061  df-mo 2615  df-eu 2647  df-clab 2797  df-cleq 2811  df-clel 2890  df-nfc 2960  df-ne 3014  df-ral 3140  df-rex 3141  df-reu 3142  df-rab 3144  df-v 3494  df-sbc 3770  df-csb 3881  df-dif 3936  df-un 3938  df-in 3940  df-ss 3949  df-nul 4289  df-if 4464  df-pw 4537  df-sn 4558  df-pr 4560  df-op 4564  df-uni 4831  df-iun 4912  df-br 5058  df-opab 5120  df-mpt 5138  df-id 5453  df-xp 5554  df-rel 5555  df-cnv 5556  df-co 5557  df-dm 5558  df-rn 5559  df-res 5560  df-ima 5561  df-iota 6307  df-fun 6350  df-fn 6351  df-f 6352  df-f1 6353  df-fo 6354  df-f1o 6355  df-fv 6356  df-ov 7148  df-oprab 7149  df-mpo 7150  df-map 8397  df-laut 37005
This theorem is referenced by:  lautlt  37107  lautcvr  37108  lautj  37109  lautm  37110  lauteq  37111  lautco  37113  ltrncl  37141
  Copyright terms: Public domain W3C validator