MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  lbfzo0 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem lbfzo0 13065
Description: An integer is strictly greater than zero iff it is a member of . (Contributed by Mario Carneiro, 29-Sep-2015.)
Assertion
Ref Expression
lbfzo0 (0 ∈ (0..^𝐴) ↔ 𝐴 ∈ ℕ)

Proof of Theorem lbfzo0
StepHypRef Expression
1 0z 11980 . . 3 0 ∈ ℤ
2 3anass 1087 . . 3 ((0 ∈ ℤ ∧ 𝐴 ∈ ℤ ∧ 0 < 𝐴) ↔ (0 ∈ ℤ ∧ (𝐴 ∈ ℤ ∧ 0 < 𝐴)))
31, 2mpbiran 705 . 2 ((0 ∈ ℤ ∧ 𝐴 ∈ ℤ ∧ 0 < 𝐴) ↔ (𝐴 ∈ ℤ ∧ 0 < 𝐴))
4 fzolb 13032 . 2 (0 ∈ (0..^𝐴) ↔ (0 ∈ ℤ ∧ 𝐴 ∈ ℤ ∧ 0 < 𝐴))
5 elnnz 11979 . 2 (𝐴 ∈ ℕ ↔ (𝐴 ∈ ℤ ∧ 0 < 𝐴))
63, 4, 53bitr4i 304 1 (0 ∈ (0..^𝐴) ↔ 𝐴 ∈ ℕ)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wb 207  wa 396  w3a 1079  wcel 2105   class class class wbr 5057  (class class class)co 7145  0cc0 10525   < clt 10663  cn 11626  cz 11969  ..^cfzo 13021
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1787  ax-4 1801  ax-5 1902  ax-6 1961  ax-7 2006  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2136  ax-11 2151  ax-12 2167  ax-ext 2790  ax-sep 5194  ax-nul 5201  ax-pow 5257  ax-pr 5320  ax-un 7450  ax-cnex 10581  ax-resscn 10582  ax-1cn 10583  ax-icn 10584  ax-addcl 10585  ax-addrcl 10586  ax-mulcl 10587  ax-mulrcl 10588  ax-mulcom 10589  ax-addass 10590  ax-mulass 10591  ax-distr 10592  ax-i2m1 10593  ax-1ne0 10594  ax-1rid 10595  ax-rnegex 10596  ax-rrecex 10597  ax-cnre 10598  ax-pre-lttri 10599  ax-pre-lttrn 10600  ax-pre-ltadd 10601  ax-pre-mulgt0 10602
This theorem depends on definitions:  df-bi 208  df-an 397  df-or 842  df-3or 1080  df-3an 1081  df-tru 1531  df-ex 1772  df-nf 1776  df-sb 2061  df-mo 2615  df-eu 2647  df-clab 2797  df-cleq 2811  df-clel 2890  df-nfc 2960  df-ne 3014  df-nel 3121  df-ral 3140  df-rex 3141  df-reu 3142  df-rab 3144  df-v 3494  df-sbc 3770  df-csb 3881  df-dif 3936  df-un 3938  df-in 3940  df-ss 3949  df-pss 3951  df-nul 4289  df-if 4464  df-pw 4537  df-sn 4558  df-pr 4560  df-tp 4562  df-op 4564  df-uni 4831  df-iun 4912  df-br 5058  df-opab 5120  df-mpt 5138  df-tr 5164  df-id 5453  df-eprel 5458  df-po 5467  df-so 5468  df-fr 5507  df-we 5509  df-xp 5554  df-rel 5555  df-cnv 5556  df-co 5557  df-dm 5558  df-rn 5559  df-res 5560  df-ima 5561  df-pred 6141  df-ord 6187  df-on 6188  df-lim 6189  df-suc 6190  df-iota 6307  df-fun 6350  df-fn 6351  df-f 6352  df-f1 6353  df-fo 6354  df-f1o 6355  df-fv 6356  df-riota 7103  df-ov 7148  df-oprab 7149  df-mpo 7150  df-om 7570  df-1st 7678  df-2nd 7679  df-wrecs 7936  df-recs 7997  df-rdg 8035  df-er 8278  df-en 8498  df-dom 8499  df-sdom 8500  df-pnf 10665  df-mnf 10666  df-xr 10667  df-ltxr 10668  df-le 10669  df-sub 10860  df-neg 10861  df-nn 11627  df-n0 11886  df-z 11970  df-uz 12232  df-fz 12881  df-fzo 13022
This theorem is referenced by:  elfzo0  13066  fzo0n0  13077  fzo0end  13117  wrdsymb1  13893  ccatfv0  13925  ccat1st1st  13972  ccat2s1p1  13973  ccat2s1p1OLD  13975  lswccats1fst  13982  swrdfv0  13999  pfxn0  14036  pfxfv0  14042  pfxtrcfv0  14044  pfx1  14053  cats1un  14071  revs1  14115  repswfsts  14131  cshwidx0mod  14155  cshw1  14172  scshwfzeqfzo  14176  cats1fvn  14208  pfx2  14297  nnnn0modprm0  16131  cshwrepswhash1  16424  efgsval2  18788  efgs1b  18791  efgsp1  18792  efgsres  18793  efgredlemd  18799  efgredlem  18802  efgrelexlemb  18805  pgpfaclem1  19132  dchrisumlem3  25994  tgcgr4  26244  wlkonl1iedg  27374  usgr2pthlem  27471  pthdlem2lem  27475  lfgrn1cycl  27510  uspgrn2crct  27513  crctcshwlkn0lem6  27520  0enwwlksnge1  27569  wwlksm1edg  27586  wwlksnwwlksnon  27621  clwlkclwwlklem2  27705  clwlkclwwlkf1lem3  27711  clwwlkel  27752  clwwlkf1  27755  umgr2cwwk2dif  27770  clwwlknonwwlknonb  27812  upgr3v3e3cycl  27886  upgr4cycl4dv4e  27891  2clwwlk2clwwlk  28056  cycpmco2lem4  30698  cycpmco2lem5  30699  cycpmrn  30712  lmatcl  30980  fib0  31556  signsvtn0  31739  reprpmtf1o  31796  poimirlem3  34776  amgm2d  40429  amgm3d  40430  amgm4d  40431  iccpartigtl  43460  iccpartlt  43461  amgmw2d  44833
  Copyright terms: Public domain W3C validator