MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  lbfzo0 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem lbfzo0 12547
Description: An integer is strictly greater than zero iff it is a member of . (Contributed by Mario Carneiro, 29-Sep-2015.)
Assertion
Ref Expression
lbfzo0 (0 ∈ (0..^𝐴) ↔ 𝐴 ∈ ℕ)

Proof of Theorem lbfzo0
StepHypRef Expression
1 0z 11426 . . 3 0 ∈ ℤ
2 3anass 1059 . . 3 ((0 ∈ ℤ ∧ 𝐴 ∈ ℤ ∧ 0 < 𝐴) ↔ (0 ∈ ℤ ∧ (𝐴 ∈ ℤ ∧ 0 < 𝐴)))
31, 2mpbiran 973 . 2 ((0 ∈ ℤ ∧ 𝐴 ∈ ℤ ∧ 0 < 𝐴) ↔ (𝐴 ∈ ℤ ∧ 0 < 𝐴))
4 fzolb 12515 . 2 (0 ∈ (0..^𝐴) ↔ (0 ∈ ℤ ∧ 𝐴 ∈ ℤ ∧ 0 < 𝐴))
5 elnnz 11425 . 2 (𝐴 ∈ ℕ ↔ (𝐴 ∈ ℤ ∧ 0 < 𝐴))
63, 4, 53bitr4i 292 1 (0 ∈ (0..^𝐴) ↔ 𝐴 ∈ ℕ)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wb 196  wa 383  w3a 1054  wcel 2030   class class class wbr 4685  (class class class)co 6690  0cc0 9974   < clt 10112  cn 11058  cz 11415  ..^cfzo 12504
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1762  ax-4 1777  ax-5 1879  ax-6 1945  ax-7 1981  ax-8 2032  ax-9 2039  ax-10 2059  ax-11 2074  ax-12 2087  ax-13 2282  ax-ext 2631  ax-sep 4814  ax-nul 4822  ax-pow 4873  ax-pr 4936  ax-un 6991  ax-cnex 10030  ax-resscn 10031  ax-1cn 10032  ax-icn 10033  ax-addcl 10034  ax-addrcl 10035  ax-mulcl 10036  ax-mulrcl 10037  ax-mulcom 10038  ax-addass 10039  ax-mulass 10040  ax-distr 10041  ax-i2m1 10042  ax-1ne0 10043  ax-1rid 10044  ax-rnegex 10045  ax-rrecex 10046  ax-cnre 10047  ax-pre-lttri 10048  ax-pre-lttrn 10049  ax-pre-ltadd 10050  ax-pre-mulgt0 10051
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3or 1055  df-3an 1056  df-tru 1526  df-ex 1745  df-nf 1750  df-sb 1938  df-eu 2502  df-mo 2503  df-clab 2638  df-cleq 2644  df-clel 2647  df-nfc 2782  df-ne 2824  df-nel 2927  df-ral 2946  df-rex 2947  df-reu 2948  df-rab 2950  df-v 3233  df-sbc 3469  df-csb 3567  df-dif 3610  df-un 3612  df-in 3614  df-ss 3621  df-pss 3623  df-nul 3949  df-if 4120  df-pw 4193  df-sn 4211  df-pr 4213  df-tp 4215  df-op 4217  df-uni 4469  df-iun 4554  df-br 4686  df-opab 4746  df-mpt 4763  df-tr 4786  df-id 5053  df-eprel 5058  df-po 5064  df-so 5065  df-fr 5102  df-we 5104  df-xp 5149  df-rel 5150  df-cnv 5151  df-co 5152  df-dm 5153  df-rn 5154  df-res 5155  df-ima 5156  df-pred 5718  df-ord 5764  df-on 5765  df-lim 5766  df-suc 5767  df-iota 5889  df-fun 5928  df-fn 5929  df-f 5930  df-f1 5931  df-fo 5932  df-f1o 5933  df-fv 5934  df-riota 6651  df-ov 6693  df-oprab 6694  df-mpt2 6695  df-om 7108  df-1st 7210  df-2nd 7211  df-wrecs 7452  df-recs 7513  df-rdg 7551  df-er 7787  df-en 7998  df-dom 7999  df-sdom 8000  df-pnf 10114  df-mnf 10115  df-xr 10116  df-ltxr 10117  df-le 10118  df-sub 10306  df-neg 10307  df-nn 11059  df-n0 11331  df-z 11416  df-uz 11726  df-fz 12365  df-fzo 12505
This theorem is referenced by:  elfzo0  12548  fzo0n0  12559  fzo0end  12600  wrdsymb1  13375  ccatfv0  13401  ccat1st1st  13448  ccat2s1p1  13449  lswccats1fst  13457  swrdfv0  13470  swrdn0  13476  swrd0fv0  13486  swrdtrcfv0  13488  cats1un  13521  revs1  13560  repswfsts  13574  cshwidx0mod  13597  cshw1  13614  scshwfzeqfzo  13618  cats1fvn  13649  nnnn0modprm0  15558  cshwrepswhash1  15856  efgsval2  18192  efgs1b  18195  efgsp1  18196  efgsres  18197  efgredlemd  18203  efgredlem  18206  efgrelexlemb  18209  pgpfaclem1  18526  dchrisumlem3  25225  tgcgr4  25471  wlkonl1iedg  26617  usgr2pthlem  26715  pthdlem2lem  26719  lfgrn1cycl  26753  uspgrn2crct  26756  crctcshwlkn0lem6  26763  0enwwlksnge1  26818  wwlksm1edg  26835  wwlksnwwlksnon  26878  wwlksnwwlksnonOLD  26880  clwlkclwwlklem2  26966  clwwlkel  27009  clwwlkf1  27012  umgr2cwwk2dif  27028  clwlksf1clwwlklem  27055  clwwlknonwwlknonb  27080  clwwlknonwwlknonbOLD  27081  upgr3v3e3cycl  27158  upgr4cycl4dv4e  27163  2clwwlk2clwwlk  27338  lmatcl  30010  fib0  30589  signsvtn0  30775  reprpmtf1o  30832  poimirlem3  33542  amgm2d  38818  amgm3d  38819  amgm4d  38820  iccpartigtl  41684  iccpartlt  41685  pfxfv0  41725  pfxtrcfv0  41727  pfx1  41736  pfx2  41737  amgmw2d  42878
  Copyright terms: Public domain W3C validator