Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  lbinf Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem lbinf 11014
 Description: If a set of reals contains a lower bound, the lower bound is its infimum. (Contributed by NM, 9-Oct-2005.) (Revised by AV, 4-Sep-2020.)
Assertion
Ref Expression
lbinf ((𝑆 ⊆ ℝ ∧ ∃𝑥𝑆𝑦𝑆 𝑥𝑦) → inf(𝑆, ℝ, < ) = (𝑥𝑆𝑦𝑆 𝑥𝑦))
Distinct variable group:   𝑥,𝑆,𝑦

Proof of Theorem lbinf
Dummy variable 𝑧 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 ltso 10156 . . 3 < Or ℝ
21a1i 11 . 2 ((𝑆 ⊆ ℝ ∧ ∃𝑥𝑆𝑦𝑆 𝑥𝑦) → < Or ℝ)
3 lbcl 11012 . . 3 ((𝑆 ⊆ ℝ ∧ ∃𝑥𝑆𝑦𝑆 𝑥𝑦) → (𝑥𝑆𝑦𝑆 𝑥𝑦) ∈ 𝑆)
4 ssel 3630 . . . 4 (𝑆 ⊆ ℝ → ((𝑥𝑆𝑦𝑆 𝑥𝑦) ∈ 𝑆 → (𝑥𝑆𝑦𝑆 𝑥𝑦) ∈ ℝ))
54adantr 480 . . 3 ((𝑆 ⊆ ℝ ∧ ∃𝑥𝑆𝑦𝑆 𝑥𝑦) → ((𝑥𝑆𝑦𝑆 𝑥𝑦) ∈ 𝑆 → (𝑥𝑆𝑦𝑆 𝑥𝑦) ∈ ℝ))
63, 5mpd 15 . 2 ((𝑆 ⊆ ℝ ∧ ∃𝑥𝑆𝑦𝑆 𝑥𝑦) → (𝑥𝑆𝑦𝑆 𝑥𝑦) ∈ ℝ)
76adantr 480 . . 3 (((𝑆 ⊆ ℝ ∧ ∃𝑥𝑆𝑦𝑆 𝑥𝑦) ∧ 𝑧𝑆) → (𝑥𝑆𝑦𝑆 𝑥𝑦) ∈ ℝ)
8 ssel2 3631 . . . 4 ((𝑆 ⊆ ℝ ∧ 𝑧𝑆) → 𝑧 ∈ ℝ)
98adantlr 751 . . 3 (((𝑆 ⊆ ℝ ∧ ∃𝑥𝑆𝑦𝑆 𝑥𝑦) ∧ 𝑧𝑆) → 𝑧 ∈ ℝ)
10 lble 11013 . . . 4 ((𝑆 ⊆ ℝ ∧ ∃𝑥𝑆𝑦𝑆 𝑥𝑦𝑧𝑆) → (𝑥𝑆𝑦𝑆 𝑥𝑦) ≤ 𝑧)
11103expa 1284 . . 3 (((𝑆 ⊆ ℝ ∧ ∃𝑥𝑆𝑦𝑆 𝑥𝑦) ∧ 𝑧𝑆) → (𝑥𝑆𝑦𝑆 𝑥𝑦) ≤ 𝑧)
127, 9, 11lensymd 10226 . 2 (((𝑆 ⊆ ℝ ∧ ∃𝑥𝑆𝑦𝑆 𝑥𝑦) ∧ 𝑧𝑆) → ¬ 𝑧 < (𝑥𝑆𝑦𝑆 𝑥𝑦))
132, 6, 3, 12infmin 8441 1 ((𝑆 ⊆ ℝ ∧ ∃𝑥𝑆𝑦𝑆 𝑥𝑦) → inf(𝑆, ℝ, < ) = (𝑥𝑆𝑦𝑆 𝑥𝑦))
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 383   = wceq 1523   ∈ wcel 2030  ∀wral 2941  ∃wrex 2942   ⊆ wss 3607   class class class wbr 4685   Or wor 5063  ℩crio 6650  infcinf 8388  ℝcr 9973   < clt 10112   ≤ cle 10113 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1762  ax-4 1777  ax-5 1879  ax-6 1945  ax-7 1981  ax-8 2032  ax-9 2039  ax-10 2059  ax-11 2074  ax-12 2087  ax-13 2282  ax-ext 2631  ax-sep 4814  ax-nul 4822  ax-pow 4873  ax-pr 4936  ax-un 6991  ax-resscn 10031  ax-pre-lttri 10048  ax-pre-lttrn 10049 This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3or 1055  df-3an 1056  df-tru 1526  df-ex 1745  df-nf 1750  df-sb 1938  df-eu 2502  df-mo 2503  df-clab 2638  df-cleq 2644  df-clel 2647  df-nfc 2782  df-ne 2824  df-nel 2927  df-ral 2946  df-rex 2947  df-reu 2948  df-rmo 2949  df-rab 2950  df-v 3233  df-sbc 3469  df-csb 3567  df-dif 3610  df-un 3612  df-in 3614  df-ss 3621  df-nul 3949  df-if 4120  df-pw 4193  df-sn 4211  df-pr 4213  df-op 4217  df-uni 4469  df-br 4686  df-opab 4746  df-mpt 4763  df-id 5053  df-po 5064  df-so 5065  df-xp 5149  df-rel 5150  df-cnv 5151  df-co 5152  df-dm 5153  df-rn 5154  df-res 5155  df-ima 5156  df-iota 5889  df-fun 5928  df-fn 5929  df-f 5930  df-f1 5931  df-fo 5932  df-f1o 5933  df-fv 5934  df-riota 6651  df-er 7787  df-en 7998  df-dom 7999  df-sdom 8000  df-sup 8389  df-inf 8390  df-pnf 10114  df-mnf 10115  df-xr 10116  df-ltxr 10117  df-le 10118 This theorem is referenced by:  lbinfcl  11015  lbinfle  11016
 Copyright terms: Public domain W3C validator