MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  lbsacsbs Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem lbsacsbs 19075
Description: Being a basis in a vector space is equivalent to being a basis in the associated algebraic closure system. Equivalent to islbs2 19073. (Contributed by David Moews, 1-May-2017.)
Hypotheses
Ref Expression
lbsacsbs.1 𝐴 = (LSubSp‘𝑊)
lbsacsbs.2 𝑁 = (mrCls‘𝐴)
lbsacsbs.3 𝑋 = (Base‘𝑊)
lbsacsbs.4 𝐼 = (mrInd‘𝐴)
lbsacsbs.5 𝐽 = (LBasis‘𝑊)
Assertion
Ref Expression
lbsacsbs (𝑊 ∈ LVec → (𝑆𝐽 ↔ (𝑆𝐼 ∧ (𝑁𝑆) = 𝑋)))

Proof of Theorem lbsacsbs
Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 lbsacsbs.3 . . 3 𝑋 = (Base‘𝑊)
2 lbsacsbs.5 . . 3 𝐽 = (LBasis‘𝑊)
3 eqid 2621 . . 3 (LSpan‘𝑊) = (LSpan‘𝑊)
41, 2, 3islbs2 19073 . 2 (𝑊 ∈ LVec → (𝑆𝐽 ↔ (𝑆𝑋 ∧ ((LSpan‘𝑊)‘𝑆) = 𝑋 ∧ ∀𝑥𝑆 ¬ 𝑥 ∈ ((LSpan‘𝑊)‘(𝑆 ∖ {𝑥})))))
5 lveclmod 19025 . . . . . 6 (𝑊 ∈ LVec → 𝑊 ∈ LMod)
6 lbsacsbs.1 . . . . . . 7 𝐴 = (LSubSp‘𝑊)
7 lbsacsbs.2 . . . . . . 7 𝑁 = (mrCls‘𝐴)
86, 3, 7mrclsp 18908 . . . . . 6 (𝑊 ∈ LMod → (LSpan‘𝑊) = 𝑁)
95, 8syl 17 . . . . 5 (𝑊 ∈ LVec → (LSpan‘𝑊) = 𝑁)
109fveq1d 6150 . . . 4 (𝑊 ∈ LVec → ((LSpan‘𝑊)‘𝑆) = (𝑁𝑆))
1110eqeq1d 2623 . . 3 (𝑊 ∈ LVec → (((LSpan‘𝑊)‘𝑆) = 𝑋 ↔ (𝑁𝑆) = 𝑋))
129fveq1d 6150 . . . . . 6 (𝑊 ∈ LVec → ((LSpan‘𝑊)‘(𝑆 ∖ {𝑥})) = (𝑁‘(𝑆 ∖ {𝑥})))
1312eleq2d 2684 . . . . 5 (𝑊 ∈ LVec → (𝑥 ∈ ((LSpan‘𝑊)‘(𝑆 ∖ {𝑥})) ↔ 𝑥 ∈ (𝑁‘(𝑆 ∖ {𝑥}))))
1413notbid 308 . . . 4 (𝑊 ∈ LVec → (¬ 𝑥 ∈ ((LSpan‘𝑊)‘(𝑆 ∖ {𝑥})) ↔ ¬ 𝑥 ∈ (𝑁‘(𝑆 ∖ {𝑥}))))
1514ralbidv 2980 . . 3 (𝑊 ∈ LVec → (∀𝑥𝑆 ¬ 𝑥 ∈ ((LSpan‘𝑊)‘(𝑆 ∖ {𝑥})) ↔ ∀𝑥𝑆 ¬ 𝑥 ∈ (𝑁‘(𝑆 ∖ {𝑥}))))
1611, 153anbi23d 1399 . 2 (𝑊 ∈ LVec → ((𝑆𝑋 ∧ ((LSpan‘𝑊)‘𝑆) = 𝑋 ∧ ∀𝑥𝑆 ¬ 𝑥 ∈ ((LSpan‘𝑊)‘(𝑆 ∖ {𝑥}))) ↔ (𝑆𝑋 ∧ (𝑁𝑆) = 𝑋 ∧ ∀𝑥𝑆 ¬ 𝑥 ∈ (𝑁‘(𝑆 ∖ {𝑥})))))
171, 6lssmre 18885 . . . . 5 (𝑊 ∈ LMod → 𝐴 ∈ (Moore‘𝑋))
18 lbsacsbs.4 . . . . . 6 𝐼 = (mrInd‘𝐴)
197, 18ismri 16212 . . . . 5 (𝐴 ∈ (Moore‘𝑋) → (𝑆𝐼 ↔ (𝑆𝑋 ∧ ∀𝑥𝑆 ¬ 𝑥 ∈ (𝑁‘(𝑆 ∖ {𝑥})))))
205, 17, 193syl 18 . . . 4 (𝑊 ∈ LVec → (𝑆𝐼 ↔ (𝑆𝑋 ∧ ∀𝑥𝑆 ¬ 𝑥 ∈ (𝑁‘(𝑆 ∖ {𝑥})))))
2120anbi1d 740 . . 3 (𝑊 ∈ LVec → ((𝑆𝐼 ∧ (𝑁𝑆) = 𝑋) ↔ ((𝑆𝑋 ∧ ∀𝑥𝑆 ¬ 𝑥 ∈ (𝑁‘(𝑆 ∖ {𝑥}))) ∧ (𝑁𝑆) = 𝑋)))
22 3anan32 1048 . . 3 ((𝑆𝑋 ∧ (𝑁𝑆) = 𝑋 ∧ ∀𝑥𝑆 ¬ 𝑥 ∈ (𝑁‘(𝑆 ∖ {𝑥}))) ↔ ((𝑆𝑋 ∧ ∀𝑥𝑆 ¬ 𝑥 ∈ (𝑁‘(𝑆 ∖ {𝑥}))) ∧ (𝑁𝑆) = 𝑋))
2321, 22syl6rbbr 279 . 2 (𝑊 ∈ LVec → ((𝑆𝑋 ∧ (𝑁𝑆) = 𝑋 ∧ ∀𝑥𝑆 ¬ 𝑥 ∈ (𝑁‘(𝑆 ∖ {𝑥}))) ↔ (𝑆𝐼 ∧ (𝑁𝑆) = 𝑋)))
244, 16, 233bitrd 294 1 (𝑊 ∈ LVec → (𝑆𝐽 ↔ (𝑆𝐼 ∧ (𝑁𝑆) = 𝑋)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wb 196  wa 384  w3a 1036   = wceq 1480  wcel 1987  wral 2907  cdif 3552  wss 3555  {csn 4148  cfv 5847  Basecbs 15781  Moorecmre 16163  mrClscmrc 16164  mrIndcmri 16165  LModclmod 18784  LSubSpclss 18851  LSpanclspn 18890  LBasisclbs 18993  LVecclvec 19021
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1719  ax-4 1734  ax-5 1836  ax-6 1885  ax-7 1932  ax-8 1989  ax-9 1996  ax-10 2016  ax-11 2031  ax-12 2044  ax-13 2245  ax-ext 2601  ax-rep 4731  ax-sep 4741  ax-nul 4749  ax-pow 4803  ax-pr 4867  ax-un 6902  ax-cnex 9936  ax-resscn 9937  ax-1cn 9938  ax-icn 9939  ax-addcl 9940  ax-addrcl 9941  ax-mulcl 9942  ax-mulrcl 9943  ax-mulcom 9944  ax-addass 9945  ax-mulass 9946  ax-distr 9947  ax-i2m1 9948  ax-1ne0 9949  ax-1rid 9950  ax-rnegex 9951  ax-rrecex 9952  ax-cnre 9953  ax-pre-lttri 9954  ax-pre-lttrn 9955  ax-pre-ltadd 9956  ax-pre-mulgt0 9957
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1037  df-3an 1038  df-tru 1483  df-ex 1702  df-nf 1707  df-sb 1878  df-eu 2473  df-mo 2474  df-clab 2608  df-cleq 2614  df-clel 2617  df-nfc 2750  df-ne 2791  df-nel 2894  df-ral 2912  df-rex 2913  df-reu 2914  df-rmo 2915  df-rab 2916  df-v 3188  df-sbc 3418  df-csb 3515  df-dif 3558  df-un 3560  df-in 3562  df-ss 3569  df-pss 3571  df-nul 3892  df-if 4059  df-pw 4132  df-sn 4149  df-pr 4151  df-tp 4153  df-op 4155  df-uni 4403  df-int 4441  df-iun 4487  df-br 4614  df-opab 4674  df-mpt 4675  df-tr 4713  df-eprel 4985  df-id 4989  df-po 4995  df-so 4996  df-fr 5033  df-we 5035  df-xp 5080  df-rel 5081  df-cnv 5082  df-co 5083  df-dm 5084  df-rn 5085  df-res 5086  df-ima 5087  df-pred 5639  df-ord 5685  df-on 5686  df-lim 5687  df-suc 5688  df-iota 5810  df-fun 5849  df-fn 5850  df-f 5851  df-f1 5852  df-fo 5853  df-f1o 5854  df-fv 5855  df-riota 6565  df-ov 6607  df-oprab 6608  df-mpt2 6609  df-om 7013  df-1st 7113  df-2nd 7114  df-tpos 7297  df-wrecs 7352  df-recs 7413  df-rdg 7451  df-er 7687  df-en 7900  df-dom 7901  df-sdom 7902  df-pnf 10020  df-mnf 10021  df-xr 10022  df-ltxr 10023  df-le 10024  df-sub 10212  df-neg 10213  df-nn 10965  df-2 11023  df-3 11024  df-ndx 15784  df-slot 15785  df-base 15786  df-sets 15787  df-ress 15788  df-plusg 15875  df-mulr 15876  df-0g 16023  df-mre 16167  df-mrc 16168  df-mri 16169  df-mgm 17163  df-sgrp 17205  df-mnd 17216  df-grp 17346  df-minusg 17347  df-sbg 17348  df-mgp 18411  df-ur 18423  df-ring 18470  df-oppr 18544  df-dvdsr 18562  df-unit 18563  df-invr 18593  df-drng 18670  df-lmod 18786  df-lss 18852  df-lsp 18891  df-lbs 18994  df-lvec 19022
This theorem is referenced by:  lvecdim  19076
  Copyright terms: Public domain W3C validator