MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  lbsexg Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem lbsexg 19083
Description: Every vector space has a basis. This theorem is an AC equivalent; this is the forward implication. (Contributed by Mario Carneiro, 17-May-2015.)
Hypothesis
Ref Expression
lbsex.j 𝐽 = (LBasis‘𝑊)
Assertion
Ref Expression
lbsexg ((CHOICE𝑊 ∈ LVec) → 𝐽 ≠ ∅)

Proof of Theorem lbsexg
Dummy variables 𝑥 𝑠 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 id 22 . . 3 (𝑊 ∈ LVec → 𝑊 ∈ LVec)
2 fvex 6158 . . . . 5 (Base‘𝑊) ∈ V
32pwex 4808 . . . 4 𝒫 (Base‘𝑊) ∈ V
4 dfac10 8903 . . . . 5 (CHOICE ↔ dom card = V)
54biimpi 206 . . . 4 (CHOICE → dom card = V)
63, 5syl5eleqr 2705 . . 3 (CHOICE → 𝒫 (Base‘𝑊) ∈ dom card)
7 0ss 3944 . . . 4 ∅ ⊆ (Base‘𝑊)
8 ral0 4048 . . . 4 𝑥 ∈ ∅ ¬ 𝑥 ∈ ((LSpan‘𝑊)‘(∅ ∖ {𝑥}))
9 lbsex.j . . . . 5 𝐽 = (LBasis‘𝑊)
10 eqid 2621 . . . . 5 (Base‘𝑊) = (Base‘𝑊)
11 eqid 2621 . . . . 5 (LSpan‘𝑊) = (LSpan‘𝑊)
129, 10, 11lbsextg 19081 . . . 4 (((𝑊 ∈ LVec ∧ 𝒫 (Base‘𝑊) ∈ dom card) ∧ ∅ ⊆ (Base‘𝑊) ∧ ∀𝑥 ∈ ∅ ¬ 𝑥 ∈ ((LSpan‘𝑊)‘(∅ ∖ {𝑥}))) → ∃𝑠𝐽 ∅ ⊆ 𝑠)
137, 8, 12mp3an23 1413 . . 3 ((𝑊 ∈ LVec ∧ 𝒫 (Base‘𝑊) ∈ dom card) → ∃𝑠𝐽 ∅ ⊆ 𝑠)
141, 6, 13syl2anr 495 . 2 ((CHOICE𝑊 ∈ LVec) → ∃𝑠𝐽 ∅ ⊆ 𝑠)
15 rexn0 4046 . 2 (∃𝑠𝐽 ∅ ⊆ 𝑠𝐽 ≠ ∅)
1614, 15syl 17 1 ((CHOICE𝑊 ∈ LVec) → 𝐽 ≠ ∅)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wa 384   = wceq 1480  wcel 1987  wne 2790  wral 2907  wrex 2908  Vcvv 3186  cdif 3552  wss 3555  c0 3891  𝒫 cpw 4130  {csn 4148  dom cdm 5074  cfv 5847  cardccrd 8705  CHOICEwac 8882  Basecbs 15781  LSpanclspn 18890  LBasisclbs 18993  LVecclvec 19021
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1719  ax-4 1734  ax-5 1836  ax-6 1885  ax-7 1932  ax-8 1989  ax-9 1996  ax-10 2016  ax-11 2031  ax-12 2044  ax-13 2245  ax-ext 2601  ax-rep 4731  ax-sep 4741  ax-nul 4749  ax-pow 4803  ax-pr 4867  ax-un 6902  ax-cnex 9936  ax-resscn 9937  ax-1cn 9938  ax-icn 9939  ax-addcl 9940  ax-addrcl 9941  ax-mulcl 9942  ax-mulrcl 9943  ax-mulcom 9944  ax-addass 9945  ax-mulass 9946  ax-distr 9947  ax-i2m1 9948  ax-1ne0 9949  ax-1rid 9950  ax-rnegex 9951  ax-rrecex 9952  ax-cnre 9953  ax-pre-lttri 9954  ax-pre-lttrn 9955  ax-pre-ltadd 9956  ax-pre-mulgt0 9957
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1037  df-3an 1038  df-tru 1483  df-ex 1702  df-nf 1707  df-sb 1878  df-eu 2473  df-mo 2474  df-clab 2608  df-cleq 2614  df-clel 2617  df-nfc 2750  df-ne 2791  df-nel 2894  df-ral 2912  df-rex 2913  df-reu 2914  df-rmo 2915  df-rab 2916  df-v 3188  df-sbc 3418  df-csb 3515  df-dif 3558  df-un 3560  df-in 3562  df-ss 3569  df-pss 3571  df-nul 3892  df-if 4059  df-pw 4132  df-sn 4149  df-pr 4151  df-tp 4153  df-op 4155  df-uni 4403  df-int 4441  df-iun 4487  df-br 4614  df-opab 4674  df-mpt 4675  df-tr 4713  df-eprel 4985  df-id 4989  df-po 4995  df-so 4996  df-fr 5033  df-se 5034  df-we 5035  df-xp 5080  df-rel 5081  df-cnv 5082  df-co 5083  df-dm 5084  df-rn 5085  df-res 5086  df-ima 5087  df-pred 5639  df-ord 5685  df-on 5686  df-lim 5687  df-suc 5688  df-iota 5810  df-fun 5849  df-fn 5850  df-f 5851  df-f1 5852  df-fo 5853  df-f1o 5854  df-fv 5855  df-isom 5856  df-riota 6565  df-ov 6607  df-oprab 6608  df-mpt2 6609  df-rpss 6890  df-om 7013  df-1st 7113  df-2nd 7114  df-tpos 7297  df-wrecs 7352  df-recs 7413  df-rdg 7451  df-1o 7505  df-oadd 7509  df-er 7687  df-en 7900  df-dom 7901  df-sdom 7902  df-fin 7903  df-card 8709  df-ac 8883  df-cda 8934  df-pnf 10020  df-mnf 10021  df-xr 10022  df-ltxr 10023  df-le 10024  df-sub 10212  df-neg 10213  df-nn 10965  df-2 11023  df-3 11024  df-ndx 15784  df-slot 15785  df-base 15786  df-sets 15787  df-ress 15788  df-plusg 15875  df-mulr 15876  df-0g 16023  df-mgm 17163  df-sgrp 17205  df-mnd 17216  df-grp 17346  df-minusg 17347  df-sbg 17348  df-cmn 18116  df-abl 18117  df-mgp 18411  df-ur 18423  df-ring 18470  df-oppr 18544  df-dvdsr 18562  df-unit 18563  df-invr 18593  df-drng 18670  df-lmod 18786  df-lss 18852  df-lsp 18891  df-lbs 18994  df-lvec 19022
This theorem is referenced by:  lbsex  19084
  Copyright terms: Public domain W3C validator