MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  lbsextg Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem lbsextg 19285
Description: For any linearly independent subset 𝐶 of 𝑉, there is a basis containing the vectors in 𝐶. (Contributed by Mario Carneiro, 17-May-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
lbsex.j 𝐽 = (LBasis‘𝑊)
lbsex.v 𝑉 = (Base‘𝑊)
lbsex.n 𝑁 = (LSpan‘𝑊)
Assertion
Ref Expression
lbsextg (((𝑊 ∈ LVec ∧ 𝒫 𝑉 ∈ dom card) ∧ 𝐶𝑉 ∧ ∀𝑥𝐶 ¬ 𝑥 ∈ (𝑁‘(𝐶 ∖ {𝑥}))) → ∃𝑠𝐽 𝐶𝑠)
Distinct variable groups:   𝑥,𝑠,𝐶   𝐽,𝑠   𝑁,𝑠,𝑥   𝑉,𝑠   𝑊,𝑠,𝑥
Allowed substitution hints:   𝐽(𝑥)   𝑉(𝑥)

Proof of Theorem lbsextg
Dummy variables 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 lbsex.v . 2 𝑉 = (Base‘𝑊)
2 lbsex.j . 2 𝐽 = (LBasis‘𝑊)
3 lbsex.n . 2 𝑁 = (LSpan‘𝑊)
4 simp1l 1216 . 2 (((𝑊 ∈ LVec ∧ 𝒫 𝑉 ∈ dom card) ∧ 𝐶𝑉 ∧ ∀𝑥𝐶 ¬ 𝑥 ∈ (𝑁‘(𝐶 ∖ {𝑥}))) → 𝑊 ∈ LVec)
5 simp2 1129 . 2 (((𝑊 ∈ LVec ∧ 𝒫 𝑉 ∈ dom card) ∧ 𝐶𝑉 ∧ ∀𝑥𝐶 ¬ 𝑥 ∈ (𝑁‘(𝐶 ∖ {𝑥}))) → 𝐶𝑉)
6 simp3 1130 . . 3 (((𝑊 ∈ LVec ∧ 𝒫 𝑉 ∈ dom card) ∧ 𝐶𝑉 ∧ ∀𝑥𝐶 ¬ 𝑥 ∈ (𝑁‘(𝐶 ∖ {𝑥}))) → ∀𝑥𝐶 ¬ 𝑥 ∈ (𝑁‘(𝐶 ∖ {𝑥})))
7 id 22 . . . . . 6 (𝑥 = 𝑦𝑥 = 𝑦)
8 sneq 4295 . . . . . . . 8 (𝑥 = 𝑦 → {𝑥} = {𝑦})
98difeq2d 3836 . . . . . . 7 (𝑥 = 𝑦 → (𝐶 ∖ {𝑥}) = (𝐶 ∖ {𝑦}))
109fveq2d 6308 . . . . . 6 (𝑥 = 𝑦 → (𝑁‘(𝐶 ∖ {𝑥})) = (𝑁‘(𝐶 ∖ {𝑦})))
117, 10eleq12d 2797 . . . . 5 (𝑥 = 𝑦 → (𝑥 ∈ (𝑁‘(𝐶 ∖ {𝑥})) ↔ 𝑦 ∈ (𝑁‘(𝐶 ∖ {𝑦}))))
1211notbid 307 . . . 4 (𝑥 = 𝑦 → (¬ 𝑥 ∈ (𝑁‘(𝐶 ∖ {𝑥})) ↔ ¬ 𝑦 ∈ (𝑁‘(𝐶 ∖ {𝑦}))))
1312cbvralv 3274 . . 3 (∀𝑥𝐶 ¬ 𝑥 ∈ (𝑁‘(𝐶 ∖ {𝑥})) ↔ ∀𝑦𝐶 ¬ 𝑦 ∈ (𝑁‘(𝐶 ∖ {𝑦})))
146, 13sylib 208 . 2 (((𝑊 ∈ LVec ∧ 𝒫 𝑉 ∈ dom card) ∧ 𝐶𝑉 ∧ ∀𝑥𝐶 ¬ 𝑥 ∈ (𝑁‘(𝐶 ∖ {𝑥}))) → ∀𝑦𝐶 ¬ 𝑦 ∈ (𝑁‘(𝐶 ∖ {𝑦})))
158difeq2d 3836 . . . . . . . 8 (𝑥 = 𝑦 → (𝑧 ∖ {𝑥}) = (𝑧 ∖ {𝑦}))
1615fveq2d 6308 . . . . . . 7 (𝑥 = 𝑦 → (𝑁‘(𝑧 ∖ {𝑥})) = (𝑁‘(𝑧 ∖ {𝑦})))
177, 16eleq12d 2797 . . . . . 6 (𝑥 = 𝑦 → (𝑥 ∈ (𝑁‘(𝑧 ∖ {𝑥})) ↔ 𝑦 ∈ (𝑁‘(𝑧 ∖ {𝑦}))))
1817notbid 307 . . . . 5 (𝑥 = 𝑦 → (¬ 𝑥 ∈ (𝑁‘(𝑧 ∖ {𝑥})) ↔ ¬ 𝑦 ∈ (𝑁‘(𝑧 ∖ {𝑦}))))
1918cbvralv 3274 . . . 4 (∀𝑥𝑧 ¬ 𝑥 ∈ (𝑁‘(𝑧 ∖ {𝑥})) ↔ ∀𝑦𝑧 ¬ 𝑦 ∈ (𝑁‘(𝑧 ∖ {𝑦})))
2019anbi2i 732 . . 3 ((𝐶𝑧 ∧ ∀𝑥𝑧 ¬ 𝑥 ∈ (𝑁‘(𝑧 ∖ {𝑥}))) ↔ (𝐶𝑧 ∧ ∀𝑦𝑧 ¬ 𝑦 ∈ (𝑁‘(𝑧 ∖ {𝑦}))))
2120rabbii 3289 . 2 {𝑧 ∈ 𝒫 𝑉 ∣ (𝐶𝑧 ∧ ∀𝑥𝑧 ¬ 𝑥 ∈ (𝑁‘(𝑧 ∖ {𝑥})))} = {𝑧 ∈ 𝒫 𝑉 ∣ (𝐶𝑧 ∧ ∀𝑦𝑧 ¬ 𝑦 ∈ (𝑁‘(𝑧 ∖ {𝑦})))}
22 simp1r 1217 . 2 (((𝑊 ∈ LVec ∧ 𝒫 𝑉 ∈ dom card) ∧ 𝐶𝑉 ∧ ∀𝑥𝐶 ¬ 𝑥 ∈ (𝑁‘(𝐶 ∖ {𝑥}))) → 𝒫 𝑉 ∈ dom card)
231, 2, 3, 4, 5, 14, 21, 22lbsextlem4 19284 1 (((𝑊 ∈ LVec ∧ 𝒫 𝑉 ∈ dom card) ∧ 𝐶𝑉 ∧ ∀𝑥𝐶 ¬ 𝑥 ∈ (𝑁‘(𝐶 ∖ {𝑥}))) → ∃𝑠𝐽 𝐶𝑠)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wa 383  w3a 1072   = wceq 1596  wcel 2103  wral 3014  wrex 3015  {crab 3018  cdif 3677  wss 3680  𝒫 cpw 4266  {csn 4285  dom cdm 5218  cfv 6001  cardccrd 8874  Basecbs 15980  LSpanclspn 19094  LBasisclbs 19197  LVecclvec 19225
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1835  ax-4 1850  ax-5 1952  ax-6 2018  ax-7 2054  ax-8 2105  ax-9 2112  ax-10 2132  ax-11 2147  ax-12 2160  ax-13 2355  ax-ext 2704  ax-rep 4879  ax-sep 4889  ax-nul 4897  ax-pow 4948  ax-pr 5011  ax-un 7066  ax-cnex 10105  ax-resscn 10106  ax-1cn 10107  ax-icn 10108  ax-addcl 10109  ax-addrcl 10110  ax-mulcl 10111  ax-mulrcl 10112  ax-mulcom 10113  ax-addass 10114  ax-mulass 10115  ax-distr 10116  ax-i2m1 10117  ax-1ne0 10118  ax-1rid 10119  ax-rnegex 10120  ax-rrecex 10121  ax-cnre 10122  ax-pre-lttri 10123  ax-pre-lttrn 10124  ax-pre-ltadd 10125  ax-pre-mulgt0 10126
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3or 1073  df-3an 1074  df-tru 1599  df-ex 1818  df-nf 1823  df-sb 2011  df-eu 2575  df-mo 2576  df-clab 2711  df-cleq 2717  df-clel 2720  df-nfc 2855  df-ne 2897  df-nel 3000  df-ral 3019  df-rex 3020  df-reu 3021  df-rmo 3022  df-rab 3023  df-v 3306  df-sbc 3542  df-csb 3640  df-dif 3683  df-un 3685  df-in 3687  df-ss 3694  df-pss 3696  df-nul 4024  df-if 4195  df-pw 4268  df-sn 4286  df-pr 4288  df-tp 4290  df-op 4292  df-uni 4545  df-int 4584  df-iun 4630  df-br 4761  df-opab 4821  df-mpt 4838  df-tr 4861  df-id 5128  df-eprel 5133  df-po 5139  df-so 5140  df-fr 5177  df-se 5178  df-we 5179  df-xp 5224  df-rel 5225  df-cnv 5226  df-co 5227  df-dm 5228  df-rn 5229  df-res 5230  df-ima 5231  df-pred 5793  df-ord 5839  df-on 5840  df-lim 5841  df-suc 5842  df-iota 5964  df-fun 6003  df-fn 6004  df-f 6005  df-f1 6006  df-fo 6007  df-f1o 6008  df-fv 6009  df-isom 6010  df-riota 6726  df-ov 6768  df-oprab 6769  df-mpt2 6770  df-rpss 7054  df-om 7183  df-1st 7285  df-2nd 7286  df-tpos 7472  df-wrecs 7527  df-recs 7588  df-rdg 7626  df-1o 7680  df-oadd 7684  df-er 7862  df-en 8073  df-dom 8074  df-sdom 8075  df-fin 8076  df-card 8878  df-cda 9103  df-pnf 10189  df-mnf 10190  df-xr 10191  df-ltxr 10192  df-le 10193  df-sub 10381  df-neg 10382  df-nn 11134  df-2 11192  df-3 11193  df-ndx 15983  df-slot 15984  df-base 15986  df-sets 15987  df-ress 15988  df-plusg 16077  df-mulr 16078  df-0g 16225  df-mgm 17364  df-sgrp 17406  df-mnd 17417  df-grp 17547  df-minusg 17548  df-sbg 17549  df-cmn 18316  df-abl 18317  df-mgp 18611  df-ur 18623  df-ring 18670  df-oppr 18744  df-dvdsr 18762  df-unit 18763  df-invr 18793  df-drng 18872  df-lmod 18988  df-lss 19056  df-lsp 19095  df-lbs 19198  df-lvec 19226
This theorem is referenced by:  lbsext  19286  lbsexg  19287
  Copyright terms: Public domain W3C validator