MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  lbslcic Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem lbslcic 19941
Description: A module with a basis is isomorphic to a free module with the same cardinality. (Contributed by Stefan O'Rear, 26-Feb-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
lbslcic.f 𝐹 = (Scalar‘𝑊)
lbslcic.j 𝐽 = (LBasis‘𝑊)
Assertion
Ref Expression
lbslcic ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝐵𝐽𝐼𝐵) → 𝑊𝑚 (𝐹 freeLMod 𝐼))

Proof of Theorem lbslcic
Dummy variables 𝑒 𝑥 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 simp3 1055 . . 3 ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝐵𝐽𝐼𝐵) → 𝐼𝐵)
2 bren 7827 . . 3 (𝐼𝐵 ↔ ∃𝑒 𝑒:𝐼1-1-onto𝐵)
31, 2sylib 206 . 2 ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝐵𝐽𝐼𝐵) → ∃𝑒 𝑒:𝐼1-1-onto𝐵)
4 eqid 2609 . . . 4 (𝐹 freeLMod 𝐼) = (𝐹 freeLMod 𝐼)
5 eqid 2609 . . . 4 (Base‘(𝐹 freeLMod 𝐼)) = (Base‘(𝐹 freeLMod 𝐼))
6 eqid 2609 . . . 4 (Base‘𝑊) = (Base‘𝑊)
7 eqid 2609 . . . 4 ( ·𝑠𝑊) = ( ·𝑠𝑊)
8 eqid 2609 . . . 4 (LSpan‘𝑊) = (LSpan‘𝑊)
9 eqid 2609 . . . 4 (𝑥 ∈ (Base‘(𝐹 freeLMod 𝐼)) ↦ (𝑊 Σg (𝑥𝑓 ( ·𝑠𝑊)𝑒))) = (𝑥 ∈ (Base‘(𝐹 freeLMod 𝐼)) ↦ (𝑊 Σg (𝑥𝑓 ( ·𝑠𝑊)𝑒)))
10 simpl1 1056 . . . 4 (((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝐵𝐽𝐼𝐵) ∧ 𝑒:𝐼1-1-onto𝐵) → 𝑊 ∈ LMod)
11 relen 7823 . . . . . . 7 Rel ≈
1211brrelexi 5072 . . . . . 6 (𝐼𝐵𝐼 ∈ V)
13123ad2ant3 1076 . . . . 5 ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝐵𝐽𝐼𝐵) → 𝐼 ∈ V)
1413adantr 479 . . . 4 (((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝐵𝐽𝐼𝐵) ∧ 𝑒:𝐼1-1-onto𝐵) → 𝐼 ∈ V)
15 lbslcic.f . . . . 5 𝐹 = (Scalar‘𝑊)
1615a1i 11 . . . 4 (((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝐵𝐽𝐼𝐵) ∧ 𝑒:𝐼1-1-onto𝐵) → 𝐹 = (Scalar‘𝑊))
17 f1ofo 6042 . . . . 5 (𝑒:𝐼1-1-onto𝐵𝑒:𝐼onto𝐵)
1817adantl 480 . . . 4 (((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝐵𝐽𝐼𝐵) ∧ 𝑒:𝐼1-1-onto𝐵) → 𝑒:𝐼onto𝐵)
19 lbslcic.j . . . . . . . . 9 𝐽 = (LBasis‘𝑊)
2019lbslinds 19933 . . . . . . . 8 𝐽 ⊆ (LIndS‘𝑊)
2120sseli 3563 . . . . . . 7 (𝐵𝐽𝐵 ∈ (LIndS‘𝑊))
22213ad2ant2 1075 . . . . . 6 ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝐵𝐽𝐼𝐵) → 𝐵 ∈ (LIndS‘𝑊))
2322adantr 479 . . . . 5 (((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝐵𝐽𝐼𝐵) ∧ 𝑒:𝐼1-1-onto𝐵) → 𝐵 ∈ (LIndS‘𝑊))
24 f1of1 6034 . . . . . 6 (𝑒:𝐼1-1-onto𝐵𝑒:𝐼1-1𝐵)
2524adantl 480 . . . . 5 (((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝐵𝐽𝐼𝐵) ∧ 𝑒:𝐼1-1-onto𝐵) → 𝑒:𝐼1-1𝐵)
26 f1linds 19925 . . . . 5 ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝐵 ∈ (LIndS‘𝑊) ∧ 𝑒:𝐼1-1𝐵) → 𝑒 LIndF 𝑊)
2710, 23, 25, 26syl3anc 1317 . . . 4 (((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝐵𝐽𝐼𝐵) ∧ 𝑒:𝐼1-1-onto𝐵) → 𝑒 LIndF 𝑊)
286, 19, 8lbssp 18846 . . . . . 6 (𝐵𝐽 → ((LSpan‘𝑊)‘𝐵) = (Base‘𝑊))
29283ad2ant2 1075 . . . . 5 ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝐵𝐽𝐼𝐵) → ((LSpan‘𝑊)‘𝐵) = (Base‘𝑊))
3029adantr 479 . . . 4 (((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝐵𝐽𝐼𝐵) ∧ 𝑒:𝐼1-1-onto𝐵) → ((LSpan‘𝑊)‘𝐵) = (Base‘𝑊))
314, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 14, 16, 18, 27, 30indlcim 19940 . . 3 (((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝐵𝐽𝐼𝐵) ∧ 𝑒:𝐼1-1-onto𝐵) → (𝑥 ∈ (Base‘(𝐹 freeLMod 𝐼)) ↦ (𝑊 Σg (𝑥𝑓 ( ·𝑠𝑊)𝑒))) ∈ ((𝐹 freeLMod 𝐼) LMIso 𝑊))
32 lmimcnv 18834 . . 3 ((𝑥 ∈ (Base‘(𝐹 freeLMod 𝐼)) ↦ (𝑊 Σg (𝑥𝑓 ( ·𝑠𝑊)𝑒))) ∈ ((𝐹 freeLMod 𝐼) LMIso 𝑊) → (𝑥 ∈ (Base‘(𝐹 freeLMod 𝐼)) ↦ (𝑊 Σg (𝑥𝑓 ( ·𝑠𝑊)𝑒))) ∈ (𝑊 LMIso (𝐹 freeLMod 𝐼)))
33 brlmici 18836 . . 3 ((𝑥 ∈ (Base‘(𝐹 freeLMod 𝐼)) ↦ (𝑊 Σg (𝑥𝑓 ( ·𝑠𝑊)𝑒))) ∈ (𝑊 LMIso (𝐹 freeLMod 𝐼)) → 𝑊𝑚 (𝐹 freeLMod 𝐼))
3431, 32, 333syl 18 . 2 (((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝐵𝐽𝐼𝐵) ∧ 𝑒:𝐼1-1-onto𝐵) → 𝑊𝑚 (𝐹 freeLMod 𝐼))
353, 34exlimddv 1849 1 ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝐵𝐽𝐼𝐵) → 𝑊𝑚 (𝐹 freeLMod 𝐼))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 382  w3a 1030   = wceq 1474  wex 1694  wcel 1976  Vcvv 3172   class class class wbr 4577  cmpt 4637  ccnv 5027  1-1wf1 5787  ontowfo 5788  1-1-ontowf1o 5789  cfv 5790  (class class class)co 6527  𝑓 cof 6770  cen 7815  Basecbs 15641  Scalarcsca 15717   ·𝑠 cvsca 15718   Σg cgsu 15870  LModclmod 18632  LSpanclspn 18738   LMIso clmim 18787  𝑚 clmic 18788  LBasisclbs 18841   freeLMod cfrlm 19851   LIndF clindf 19904  LIndSclinds 19905
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1712  ax-4 1727  ax-5 1826  ax-6 1874  ax-7 1921  ax-8 1978  ax-9 1985  ax-10 2005  ax-11 2020  ax-12 2033  ax-13 2233  ax-ext 2589  ax-rep 4693  ax-sep 4703  ax-nul 4712  ax-pow 4764  ax-pr 4828  ax-un 6824  ax-inf2 8398  ax-cnex 9848  ax-resscn 9849  ax-1cn 9850  ax-icn 9851  ax-addcl 9852  ax-addrcl 9853  ax-mulcl 9854  ax-mulrcl 9855  ax-mulcom 9856  ax-addass 9857  ax-mulass 9858  ax-distr 9859  ax-i2m1 9860  ax-1ne0 9861  ax-1rid 9862  ax-rnegex 9863  ax-rrecex 9864  ax-cnre 9865  ax-pre-lttri 9866  ax-pre-lttrn 9867  ax-pre-ltadd 9868  ax-pre-mulgt0 9869
This theorem depends on definitions:  df-bi 195  df-or 383  df-an 384  df-3or 1031  df-3an 1032  df-tru 1477  df-ex 1695  df-nf 1700  df-sb 1867  df-eu 2461  df-mo 2462  df-clab 2596  df-cleq 2602  df-clel 2605  df-nfc 2739  df-ne 2781  df-nel 2782  df-ral 2900  df-rex 2901  df-reu 2902  df-rmo 2903  df-rab 2904  df-v 3174  df-sbc 3402  df-csb 3499  df-dif 3542  df-un 3544  df-in 3546  df-ss 3553  df-pss 3555  df-nul 3874  df-if 4036  df-pw 4109  df-sn 4125  df-pr 4127  df-tp 4129  df-op 4131  df-uni 4367  df-int 4405  df-iun 4451  df-iin 4452  df-br 4578  df-opab 4638  df-mpt 4639  df-tr 4675  df-eprel 4939  df-id 4943  df-po 4949  df-so 4950  df-fr 4987  df-se 4988  df-we 4989  df-xp 5034  df-rel 5035  df-cnv 5036  df-co 5037  df-dm 5038  df-rn 5039  df-res 5040  df-ima 5041  df-pred 5583  df-ord 5629  df-on 5630  df-lim 5631  df-suc 5632  df-iota 5754  df-fun 5792  df-fn 5793  df-f 5794  df-f1 5795  df-fo 5796  df-f1o 5797  df-fv 5798  df-isom 5799  df-riota 6489  df-ov 6530  df-oprab 6531  df-mpt2 6532  df-of 6772  df-om 6935  df-1st 7036  df-2nd 7037  df-supp 7160  df-wrecs 7271  df-recs 7332  df-rdg 7370  df-1o 7424  df-oadd 7428  df-er 7606  df-map 7723  df-ixp 7772  df-en 7819  df-dom 7820  df-sdom 7821  df-fin 7822  df-fsupp 8136  df-sup 8208  df-oi 8275  df-card 8625  df-pnf 9932  df-mnf 9933  df-xr 9934  df-ltxr 9935  df-le 9936  df-sub 10119  df-neg 10120  df-nn 10868  df-2 10926  df-3 10927  df-4 10928  df-5 10929  df-6 10930  df-7 10931  df-8 10932  df-9 10933  df-n0 11140  df-z 11211  df-dec 11326  df-uz 11520  df-fz 12153  df-fzo 12290  df-seq 12619  df-hash 12935  df-struct 15643  df-ndx 15644  df-slot 15645  df-base 15646  df-sets 15647  df-ress 15648  df-plusg 15727  df-mulr 15728  df-sca 15730  df-vsca 15731  df-ip 15732  df-tset 15733  df-ple 15734  df-ds 15737  df-hom 15739  df-cco 15740  df-0g 15871  df-gsum 15872  df-prds 15877  df-pws 15879  df-mre 16015  df-mrc 16016  df-acs 16018  df-mgm 17011  df-sgrp 17053  df-mnd 17064  df-mhm 17104  df-submnd 17105  df-grp 17194  df-minusg 17195  df-sbg 17196  df-mulg 17310  df-subg 17360  df-ghm 17427  df-cntz 17519  df-cmn 17964  df-abl 17965  df-mgp 18259  df-ur 18271  df-ring 18318  df-subrg 18547  df-lmod 18634  df-lss 18700  df-lsp 18739  df-lmhm 18789  df-lmim 18790  df-lmic 18791  df-lbs 18842  df-sra 18939  df-rgmod 18940  df-nzr 19025  df-dsmm 19837  df-frlm 19852  df-uvc 19883  df-lindf 19906  df-linds 19907
This theorem is referenced by:  lmisfree  19942  frlmisfrlm  19948
  Copyright terms: Public domain W3C validator