Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  lcd0vvalN Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem lcd0vvalN 36417
Description: Value of the zero functional at any vector. (Contributed by NM, 28-Mar-2015.) (New usage is discouraged.)
Hypotheses
Ref Expression
lcd0vval.h 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
lcd0vval.u 𝑈 = ((DVecH‘𝐾)‘𝑊)
lcd0vval.v 𝑉 = (Base‘𝑈)
lcd0vval.s 𝑆 = (Scalar‘𝑈)
lcd0vval.z 0 = (0g𝑆)
lcd0vval.c 𝐶 = ((LCDual‘𝐾)‘𝑊)
lcd0vval.o 𝑂 = (0g𝐶)
lcd0vval.k (𝜑 → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻))
lcd0vval.x (𝜑𝑋𝑉)
Assertion
Ref Expression
lcd0vvalN (𝜑 → (𝑂𝑋) = 0 )

Proof of Theorem lcd0vvalN
StepHypRef Expression
1 lcd0vval.h . . . 4 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
2 lcd0vval.u . . . 4 𝑈 = ((DVecH‘𝐾)‘𝑊)
3 lcd0vval.v . . . 4 𝑉 = (Base‘𝑈)
4 lcd0vval.s . . . 4 𝑆 = (Scalar‘𝑈)
5 lcd0vval.z . . . 4 0 = (0g𝑆)
6 lcd0vval.c . . . 4 𝐶 = ((LCDual‘𝐾)‘𝑊)
7 lcd0vval.o . . . 4 𝑂 = (0g𝐶)
8 lcd0vval.k . . . 4 (𝜑 → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻))
91, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8lcd0v 36415 . . 3 (𝜑𝑂 = (𝑉 × { 0 }))
109fveq1d 6155 . 2 (𝜑 → (𝑂𝑋) = ((𝑉 × { 0 })‘𝑋))
11 lcd0vval.x . . 3 (𝜑𝑋𝑉)
12 fvex 6163 . . . . 5 (0g𝑆) ∈ V
135, 12eqeltri 2694 . . . 4 0 ∈ V
1413fvconst2 6429 . . 3 (𝑋𝑉 → ((𝑉 × { 0 })‘𝑋) = 0 )
1511, 14syl 17 . 2 (𝜑 → ((𝑉 × { 0 })‘𝑋) = 0 )
1610, 15eqtrd 2655 1 (𝜑 → (𝑂𝑋) = 0 )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 384   = wceq 1480  wcel 1987  Vcvv 3189  {csn 4153   × cxp 5077  cfv 5852  Basecbs 15792  Scalarcsca 15876  0gc0g 16032  HLchlt 34152  LHypclh 34785  DVecHcdvh 35882  LCDualclcd 36390
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1719  ax-4 1734  ax-5 1836  ax-6 1885  ax-7 1932  ax-8 1989  ax-9 1996  ax-10 2016  ax-11 2031  ax-12 2044  ax-13 2245  ax-ext 2601  ax-rep 4736  ax-sep 4746  ax-nul 4754  ax-pow 4808  ax-pr 4872  ax-un 6909  ax-cnex 9944  ax-resscn 9945  ax-1cn 9946  ax-icn 9947  ax-addcl 9948  ax-addrcl 9949  ax-mulcl 9950  ax-mulrcl 9951  ax-mulcom 9952  ax-addass 9953  ax-mulass 9954  ax-distr 9955  ax-i2m1 9956  ax-1ne0 9957  ax-1rid 9958  ax-rnegex 9959  ax-rrecex 9960  ax-cnre 9961  ax-pre-lttri 9962  ax-pre-lttrn 9963  ax-pre-ltadd 9964  ax-pre-mulgt0 9965  ax-riotaBAD 33754
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1037  df-3an 1038  df-tru 1483  df-fal 1486  df-ex 1702  df-nf 1707  df-sb 1878  df-eu 2473  df-mo 2474  df-clab 2608  df-cleq 2614  df-clel 2617  df-nfc 2750  df-ne 2791  df-nel 2894  df-ral 2912  df-rex 2913  df-reu 2914  df-rmo 2915  df-rab 2916  df-v 3191  df-sbc 3422  df-csb 3519  df-dif 3562  df-un 3564  df-in 3566  df-ss 3573  df-pss 3575  df-nul 3897  df-if 4064  df-pw 4137  df-sn 4154  df-pr 4156  df-tp 4158  df-op 4160  df-uni 4408  df-int 4446  df-iun 4492  df-iin 4493  df-br 4619  df-opab 4679  df-mpt 4680  df-tr 4718  df-eprel 4990  df-id 4994  df-po 5000  df-so 5001  df-fr 5038  df-we 5040  df-xp 5085  df-rel 5086  df-cnv 5087  df-co 5088  df-dm 5089  df-rn 5090  df-res 5091  df-ima 5092  df-pred 5644  df-ord 5690  df-on 5691  df-lim 5692  df-suc 5693  df-iota 5815  df-fun 5854  df-fn 5855  df-f 5856  df-f1 5857  df-fo 5858  df-f1o 5859  df-fv 5860  df-riota 6571  df-ov 6613  df-oprab 6614  df-mpt2 6615  df-of 6857  df-om 7020  df-1st 7120  df-2nd 7121  df-tpos 7304  df-undef 7351  df-wrecs 7359  df-recs 7420  df-rdg 7458  df-1o 7512  df-oadd 7516  df-er 7694  df-map 7811  df-en 7908  df-dom 7909  df-sdom 7910  df-fin 7911  df-pnf 10028  df-mnf 10029  df-xr 10030  df-ltxr 10031  df-le 10032  df-sub 10220  df-neg 10221  df-nn 10973  df-2 11031  df-3 11032  df-4 11033  df-5 11034  df-6 11035  df-n0 11245  df-z 11330  df-uz 11640  df-fz 12277  df-struct 15794  df-ndx 15795  df-slot 15796  df-base 15797  df-sets 15798  df-ress 15799  df-plusg 15886  df-mulr 15887  df-sca 15889  df-vsca 15890  df-0g 16034  df-mre 16178  df-mrc 16179  df-acs 16181  df-preset 16860  df-poset 16878  df-plt 16890  df-lub 16906  df-glb 16907  df-join 16908  df-meet 16909  df-p0 16971  df-p1 16972  df-lat 16978  df-clat 17040  df-mgm 17174  df-sgrp 17216  df-mnd 17227  df-submnd 17268  df-grp 17357  df-minusg 17358  df-sbg 17359  df-subg 17523  df-cntz 17682  df-oppg 17708  df-lsm 17983  df-cmn 18127  df-abl 18128  df-mgp 18422  df-ur 18434  df-ring 18481  df-oppr 18555  df-dvdsr 18573  df-unit 18574  df-invr 18604  df-dvr 18615  df-drng 18681  df-lmod 18797  df-lss 18865  df-lsp 18904  df-lvec 19035  df-lsatoms 33778  df-lshyp 33779  df-lcv 33821  df-lfl 33860  df-lkr 33888  df-ldual 33926  df-oposet 33978  df-ol 33980  df-oml 33981  df-covers 34068  df-ats 34069  df-atl 34100  df-cvlat 34124  df-hlat 34153  df-llines 34299  df-lplanes 34300  df-lvols 34301  df-lines 34302  df-psubsp 34304  df-pmap 34305  df-padd 34597  df-lhyp 34789  df-laut 34790  df-ldil 34905  df-ltrn 34906  df-trl 34961  df-tgrp 35546  df-tendo 35558  df-edring 35560  df-dveca 35806  df-disoa 35833  df-dvech 35883  df-dib 35943  df-dic 35977  df-dih 36033  df-doch 36152  df-djh 36199  df-lcdual 36391
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator