Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  lcdvbase Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem lcdvbase 35699
Description: Vector base set of a dual vector space of functionals with closed kernels. (Contributed by NM, 13-Mar-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
lcdvbase.h 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
lcdvbase.o = ((ocH‘𝐾)‘𝑊)
lcdvbase.c 𝐶 = ((LCDual‘𝐾)‘𝑊)
lcdvbase.v 𝑉 = (Base‘𝐶)
lcdvbase.u 𝑈 = ((DVecH‘𝐾)‘𝑊)
lcdvbase.f 𝐹 = (LFnl‘𝑈)
lcdvbase.l 𝐿 = (LKer‘𝑈)
lcdvbase.b 𝐵 = {𝑓𝐹 ∣ ( ‘( ‘(𝐿𝑓))) = (𝐿𝑓)}
lcdvbase.k (𝜑 → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻))
Assertion
Ref Expression
lcdvbase (𝜑𝑉 = 𝐵)
Distinct variable groups:   𝑓,𝐹   𝑓,𝐾   𝑓,𝑊
Allowed substitution hints:   𝜑(𝑓)   𝐵(𝑓)   𝐶(𝑓)   𝑈(𝑓)   𝐻(𝑓)   𝐿(𝑓)   (𝑓)   𝑉(𝑓)

Proof of Theorem lcdvbase
StepHypRef Expression
1 lcdvbase.v . . 3 𝑉 = (Base‘𝐶)
2 lcdvbase.h . . . . 5 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
3 lcdvbase.o . . . . 5 = ((ocH‘𝐾)‘𝑊)
4 lcdvbase.c . . . . 5 𝐶 = ((LCDual‘𝐾)‘𝑊)
5 lcdvbase.u . . . . 5 𝑈 = ((DVecH‘𝐾)‘𝑊)
6 lcdvbase.f . . . . 5 𝐹 = (LFnl‘𝑈)
7 lcdvbase.l . . . . 5 𝐿 = (LKer‘𝑈)
8 eqid 2605 . . . . 5 (LDual‘𝑈) = (LDual‘𝑈)
9 lcdvbase.k . . . . 5 (𝜑 → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻))
10 lcdvbase.b . . . . 5 𝐵 = {𝑓𝐹 ∣ ( ‘( ‘(𝐿𝑓))) = (𝐿𝑓)}
112, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10lcdval2 35696 . . . 4 (𝜑𝐶 = ((LDual‘𝑈) ↾s 𝐵))
1211fveq2d 6088 . . 3 (𝜑 → (Base‘𝐶) = (Base‘((LDual‘𝑈) ↾s 𝐵)))
131, 12syl5eq 2651 . 2 (𝜑𝑉 = (Base‘((LDual‘𝑈) ↾s 𝐵)))
14 ssrab2 3645 . . . . 5 {𝑓𝐹 ∣ ( ‘( ‘(𝐿𝑓))) = (𝐿𝑓)} ⊆ 𝐹
1510, 14eqsstri 3593 . . . 4 𝐵𝐹
16 eqid 2605 . . . . 5 (Base‘(LDual‘𝑈)) = (Base‘(LDual‘𝑈))
172, 5, 9dvhlmod 35216 . . . . 5 (𝜑𝑈 ∈ LMod)
186, 8, 16, 17ldualvbase 33230 . . . 4 (𝜑 → (Base‘(LDual‘𝑈)) = 𝐹)
1915, 18syl5sseqr 3612 . . 3 (𝜑𝐵 ⊆ (Base‘(LDual‘𝑈)))
20 eqid 2605 . . . 4 ((LDual‘𝑈) ↾s 𝐵) = ((LDual‘𝑈) ↾s 𝐵)
2120, 16ressbas2 15700 . . 3 (𝐵 ⊆ (Base‘(LDual‘𝑈)) → 𝐵 = (Base‘((LDual‘𝑈) ↾s 𝐵)))
2219, 21syl 17 . 2 (𝜑𝐵 = (Base‘((LDual‘𝑈) ↾s 𝐵)))
2313, 22eqtr4d 2642 1 (𝜑𝑉 = 𝐵)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 382   = wceq 1474  wcel 1975  {crab 2895  wss 3535  cfv 5786  (class class class)co 6523  Basecbs 15637  s cress 15638  LModclmod 18628  LFnlclfn 33161  LKerclk 33189  LDualcld 33227  HLchlt 33454  LHypclh 34087  DVecHcdvh 35184  ocHcoch 35453  LCDualclcd 35692
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1711  ax-4 1726  ax-5 1825  ax-6 1873  ax-7 1920  ax-8 1977  ax-9 1984  ax-10 2004  ax-11 2019  ax-12 2031  ax-13 2228  ax-ext 2585  ax-rep 4689  ax-sep 4699  ax-nul 4708  ax-pow 4760  ax-pr 4824  ax-un 6820  ax-cnex 9844  ax-resscn 9845  ax-1cn 9846  ax-icn 9847  ax-addcl 9848  ax-addrcl 9849  ax-mulcl 9850  ax-mulrcl 9851  ax-mulcom 9852  ax-addass 9853  ax-mulass 9854  ax-distr 9855  ax-i2m1 9856  ax-1ne0 9857  ax-1rid 9858  ax-rnegex 9859  ax-rrecex 9860  ax-cnre 9861  ax-pre-lttri 9862  ax-pre-lttrn 9863  ax-pre-ltadd 9864  ax-pre-mulgt0 9865  ax-riotaBAD 33056
This theorem depends on definitions:  df-bi 195  df-or 383  df-an 384  df-3or 1031  df-3an 1032  df-tru 1477  df-fal 1480  df-ex 1695  df-nf 1700  df-sb 1866  df-eu 2457  df-mo 2458  df-clab 2592  df-cleq 2598  df-clel 2601  df-nfc 2735  df-ne 2777  df-nel 2778  df-ral 2896  df-rex 2897  df-reu 2898  df-rmo 2899  df-rab 2900  df-v 3170  df-sbc 3398  df-csb 3495  df-dif 3538  df-un 3540  df-in 3542  df-ss 3549  df-pss 3551  df-nul 3870  df-if 4032  df-pw 4105  df-sn 4121  df-pr 4123  df-tp 4125  df-op 4127  df-uni 4363  df-int 4401  df-iun 4447  df-iin 4448  df-br 4574  df-opab 4634  df-mpt 4635  df-tr 4671  df-eprel 4935  df-id 4939  df-po 4945  df-so 4946  df-fr 4983  df-we 4985  df-xp 5030  df-rel 5031  df-cnv 5032  df-co 5033  df-dm 5034  df-rn 5035  df-res 5036  df-ima 5037  df-pred 5579  df-ord 5625  df-on 5626  df-lim 5627  df-suc 5628  df-iota 5750  df-fun 5788  df-fn 5789  df-f 5790  df-f1 5791  df-fo 5792  df-f1o 5793  df-fv 5794  df-riota 6485  df-ov 6526  df-oprab 6527  df-mpt2 6528  df-of 6768  df-om 6931  df-1st 7032  df-2nd 7033  df-tpos 7212  df-undef 7259  df-wrecs 7267  df-recs 7328  df-rdg 7366  df-1o 7420  df-oadd 7424  df-er 7602  df-map 7719  df-en 7815  df-dom 7816  df-sdom 7817  df-fin 7818  df-pnf 9928  df-mnf 9929  df-xr 9930  df-ltxr 9931  df-le 9932  df-sub 10115  df-neg 10116  df-nn 10864  df-2 10922  df-3 10923  df-4 10924  df-5 10925  df-6 10926  df-n0 11136  df-z 11207  df-uz 11516  df-fz 12149  df-struct 15639  df-ndx 15640  df-slot 15641  df-base 15642  df-sets 15643  df-ress 15644  df-plusg 15723  df-mulr 15724  df-sca 15726  df-vsca 15727  df-0g 15867  df-preset 16693  df-poset 16711  df-plt 16723  df-lub 16739  df-glb 16740  df-join 16741  df-meet 16742  df-p0 16804  df-p1 16805  df-lat 16811  df-clat 16873  df-mgm 17007  df-sgrp 17049  df-mnd 17060  df-grp 17190  df-minusg 17191  df-mgp 18255  df-ur 18267  df-ring 18314  df-oppr 18388  df-dvdsr 18406  df-unit 18407  df-invr 18437  df-dvr 18448  df-drng 18514  df-lmod 18630  df-lvec 18866  df-ldual 33228  df-oposet 33280  df-ol 33282  df-oml 33283  df-covers 33370  df-ats 33371  df-atl 33402  df-cvlat 33426  df-hlat 33455  df-llines 33601  df-lplanes 33602  df-lvols 33603  df-lines 33604  df-psubsp 33606  df-pmap 33607  df-padd 33899  df-lhyp 34091  df-laut 34092  df-ldil 34207  df-ltrn 34208  df-trl 34263  df-tendo 34860  df-edring 34862  df-dvech 35185  df-lcdual 35693
This theorem is referenced by:  lcdvbasess  35700  lcdlss2N  35726  lcdlsp  35727  hvmap1o2  35871
  Copyright terms: Public domain W3C validator