Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  lcdvsub Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem lcdvsub 38633
Description: The value of vector subtraction in the closed kernel dual space. (Contributed by NM, 22-Mar-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
lcdvsub.h 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
lcdvsub.u 𝑈 = ((DVecH‘𝐾)‘𝑊)
lcdvsub.s 𝑆 = (Scalar‘𝑈)
lcdvsub.n 𝑁 = (invg𝑆)
lcdvsub.e 1 = (1r𝑆)
lcdvsub.c 𝐶 = ((LCDual‘𝐾)‘𝑊)
lcdvsub.v 𝑉 = (Base‘𝐶)
lcdvsub.p + = (+g𝐶)
lcdvsub.t · = ( ·𝑠𝐶)
lcdvsub.m = (-g𝐶)
lcdvsub.k (𝜑 → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻))
lcdvsub.f (𝜑𝐹𝑉)
lcdvsub.g (𝜑𝐺𝑉)
Assertion
Ref Expression
lcdvsub (𝜑 → (𝐹 𝐺) = (𝐹 + ((𝑁1 ) · 𝐺)))

Proof of Theorem lcdvsub
StepHypRef Expression
1 lcdvsub.h . . . 4 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
2 lcdvsub.c . . . 4 𝐶 = ((LCDual‘𝐾)‘𝑊)
3 lcdvsub.k . . . 4 (𝜑 → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻))
41, 2, 3lcdlmod 38608 . . 3 (𝜑𝐶 ∈ LMod)
5 lcdvsub.f . . 3 (𝜑𝐹𝑉)
6 lcdvsub.g . . 3 (𝜑𝐺𝑉)
7 lcdvsub.v . . . 4 𝑉 = (Base‘𝐶)
8 lcdvsub.p . . . 4 + = (+g𝐶)
9 lcdvsub.m . . . 4 = (-g𝐶)
10 eqid 2818 . . . 4 (Scalar‘𝐶) = (Scalar‘𝐶)
11 lcdvsub.t . . . 4 · = ( ·𝑠𝐶)
12 eqid 2818 . . . 4 (invg‘(Scalar‘𝐶)) = (invg‘(Scalar‘𝐶))
13 eqid 2818 . . . 4 (1r‘(Scalar‘𝐶)) = (1r‘(Scalar‘𝐶))
147, 8, 9, 10, 11, 12, 13lmodvsubval2 19618 . . 3 ((𝐶 ∈ LMod ∧ 𝐹𝑉𝐺𝑉) → (𝐹 𝐺) = (𝐹 + (((invg‘(Scalar‘𝐶))‘(1r‘(Scalar‘𝐶))) · 𝐺)))
154, 5, 6, 14syl3anc 1363 . 2 (𝜑 → (𝐹 𝐺) = (𝐹 + (((invg‘(Scalar‘𝐶))‘(1r‘(Scalar‘𝐶))) · 𝐺)))
16 lcdvsub.u . . . . . . . 8 𝑈 = ((DVecH‘𝐾)‘𝑊)
17 lcdvsub.s . . . . . . . 8 𝑆 = (Scalar‘𝑈)
18 eqid 2818 . . . . . . . 8 (oppr𝑆) = (oppr𝑆)
191, 16, 17, 18, 2, 10, 3lcdsca 38615 . . . . . . 7 (𝜑 → (Scalar‘𝐶) = (oppr𝑆))
2019fveq2d 6667 . . . . . 6 (𝜑 → (invg‘(Scalar‘𝐶)) = (invg‘(oppr𝑆)))
21 lcdvsub.n . . . . . . 7 𝑁 = (invg𝑆)
2218, 21opprneg 19314 . . . . . 6 𝑁 = (invg‘(oppr𝑆))
2320, 22syl6reqr 2872 . . . . 5 (𝜑𝑁 = (invg‘(Scalar‘𝐶)))
2419fveq2d 6667 . . . . . 6 (𝜑 → (1r‘(Scalar‘𝐶)) = (1r‘(oppr𝑆)))
25 lcdvsub.e . . . . . . 7 1 = (1r𝑆)
2618, 25oppr1 19313 . . . . . 6 1 = (1r‘(oppr𝑆))
2724, 26syl6reqr 2872 . . . . 5 (𝜑1 = (1r‘(Scalar‘𝐶)))
2823, 27fveq12d 6670 . . . 4 (𝜑 → (𝑁1 ) = ((invg‘(Scalar‘𝐶))‘(1r‘(Scalar‘𝐶))))
2928oveq1d 7160 . . 3 (𝜑 → ((𝑁1 ) · 𝐺) = (((invg‘(Scalar‘𝐶))‘(1r‘(Scalar‘𝐶))) · 𝐺))
3029oveq2d 7161 . 2 (𝜑 → (𝐹 + ((𝑁1 ) · 𝐺)) = (𝐹 + (((invg‘(Scalar‘𝐶))‘(1r‘(Scalar‘𝐶))) · 𝐺)))
3115, 30eqtr4d 2856 1 (𝜑 → (𝐹 𝐺) = (𝐹 + ((𝑁1 ) · 𝐺)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 396   = wceq 1528  wcel 2105  cfv 6348  (class class class)co 7145  Basecbs 16471  +gcplusg 16553  Scalarcsca 16556   ·𝑠 cvsca 16557  invgcminusg 18042  -gcsg 18043  1rcur 19180  opprcoppr 19301  LModclmod 19563  HLchlt 36366  LHypclh 37000  DVecHcdvh 38094  LCDualclcd 38602
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1787  ax-4 1801  ax-5 1902  ax-6 1961  ax-7 2006  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2136  ax-11 2151  ax-12 2167  ax-ext 2790  ax-rep 5181  ax-sep 5194  ax-nul 5201  ax-pow 5257  ax-pr 5320  ax-un 7450  ax-cnex 10581  ax-resscn 10582  ax-1cn 10583  ax-icn 10584  ax-addcl 10585  ax-addrcl 10586  ax-mulcl 10587  ax-mulrcl 10588  ax-mulcom 10589  ax-addass 10590  ax-mulass 10591  ax-distr 10592  ax-i2m1 10593  ax-1ne0 10594  ax-1rid 10595  ax-rnegex 10596  ax-rrecex 10597  ax-cnre 10598  ax-pre-lttri 10599  ax-pre-lttrn 10600  ax-pre-ltadd 10601  ax-pre-mulgt0 10602  ax-riotaBAD 35969
This theorem depends on definitions:  df-bi 208  df-an 397  df-or 842  df-3or 1080  df-3an 1081  df-tru 1531  df-fal 1541  df-ex 1772  df-nf 1776  df-sb 2061  df-mo 2615  df-eu 2647  df-clab 2797  df-cleq 2811  df-clel 2890  df-nfc 2960  df-ne 3014  df-nel 3121  df-ral 3140  df-rex 3141  df-reu 3142  df-rmo 3143  df-rab 3144  df-v 3494  df-sbc 3770  df-csb 3881  df-dif 3936  df-un 3938  df-in 3940  df-ss 3949  df-pss 3951  df-nul 4289  df-if 4464  df-pw 4537  df-sn 4558  df-pr 4560  df-tp 4562  df-op 4564  df-uni 4831  df-int 4868  df-iun 4912  df-iin 4913  df-br 5058  df-opab 5120  df-mpt 5138  df-tr 5164  df-id 5453  df-eprel 5458  df-po 5467  df-so 5468  df-fr 5507  df-we 5509  df-xp 5554  df-rel 5555  df-cnv 5556  df-co 5557  df-dm 5558  df-rn 5559  df-res 5560  df-ima 5561  df-pred 6141  df-ord 6187  df-on 6188  df-lim 6189  df-suc 6190  df-iota 6307  df-fun 6350  df-fn 6351  df-f 6352  df-f1 6353  df-fo 6354  df-f1o 6355  df-fv 6356  df-riota 7103  df-ov 7148  df-oprab 7149  df-mpo 7150  df-of 7398  df-om 7570  df-1st 7678  df-2nd 7679  df-tpos 7881  df-undef 7928  df-wrecs 7936  df-recs 7997  df-rdg 8035  df-1o 8091  df-oadd 8095  df-er 8278  df-map 8397  df-en 8498  df-dom 8499  df-sdom 8500  df-fin 8501  df-pnf 10665  df-mnf 10666  df-xr 10667  df-ltxr 10668  df-le 10669  df-sub 10860  df-neg 10861  df-nn 11627  df-2 11688  df-3 11689  df-4 11690  df-5 11691  df-6 11692  df-n0 11886  df-z 11970  df-uz 12232  df-fz 12881  df-struct 16473  df-ndx 16474  df-slot 16475  df-base 16477  df-sets 16478  df-ress 16479  df-plusg 16566  df-mulr 16567  df-sca 16569  df-vsca 16570  df-0g 16703  df-mre 16845  df-mrc 16846  df-acs 16848  df-proset 17526  df-poset 17544  df-plt 17556  df-lub 17572  df-glb 17573  df-join 17574  df-meet 17575  df-p0 17637  df-p1 17638  df-lat 17644  df-clat 17706  df-mgm 17840  df-sgrp 17889  df-mnd 17900  df-submnd 17945  df-grp 18044  df-minusg 18045  df-sbg 18046  df-subg 18214  df-cntz 18385  df-oppg 18412  df-lsm 18690  df-cmn 18837  df-abl 18838  df-mgp 19169  df-ur 19181  df-ring 19228  df-oppr 19302  df-dvdsr 19320  df-unit 19321  df-invr 19351  df-dvr 19362  df-drng 19433  df-lmod 19565  df-lss 19633  df-lsp 19673  df-lvec 19804  df-lsatoms 35992  df-lshyp 35993  df-lcv 36035  df-lfl 36074  df-lkr 36102  df-ldual 36140  df-oposet 36192  df-ol 36194  df-oml 36195  df-covers 36282  df-ats 36283  df-atl 36314  df-cvlat 36338  df-hlat 36367  df-llines 36514  df-lplanes 36515  df-lvols 36516  df-lines 36517  df-psubsp 36519  df-pmap 36520  df-padd 36812  df-lhyp 37004  df-laut 37005  df-ldil 37120  df-ltrn 37121  df-trl 37175  df-tgrp 37759  df-tendo 37771  df-edring 37773  df-dveca 38019  df-disoa 38045  df-dvech 38095  df-dib 38155  df-dic 38189  df-dih 38245  df-doch 38364  df-djh 38411  df-lcdual 38603
This theorem is referenced by:  mapdpglem30  38718
  Copyright terms: Public domain W3C validator