Mathbox for Norm Megill < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  lcfl6lem Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem lcfl6lem 36306
 Description: Lemma for lcfl6 36308. A functional 𝐺 (whose kernel is closed by dochsnkr 36280) is comletely determined by a vector 𝑋 in the orthocomplement in its kernel at which the functional value is 1. Note that the ∖ { 0 } in the 𝑋 hypothesis is redundant by the last hypothesis but allows easier use of other theorems. (Contributed by NM, 3-Jan-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
lcfl6lem.h 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
lcfl6lem.o = ((ocH‘𝐾)‘𝑊)
lcfl6lem.u 𝑈 = ((DVecH‘𝐾)‘𝑊)
lcfl6lem.v 𝑉 = (Base‘𝑈)
lcfl6lem.a + = (+g𝑈)
lcfl6lem.t · = ( ·𝑠𝑈)
lcfl6lem.s 𝑆 = (Scalar‘𝑈)
lcfl6lem.i 1 = (1r𝑆)
lcfl6lem.r 𝑅 = (Base‘𝑆)
lcfl6lem.z 0 = (0g𝑈)
lcfl6lem.f 𝐹 = (LFnl‘𝑈)
lcfl6lem.l 𝐿 = (LKer‘𝑈)
lcfl6lem.k (𝜑 → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻))
lcfl6lem.g (𝜑𝐺𝐹)
lcfl6lem.x (𝜑𝑋 ∈ (( ‘(𝐿𝐺)) ∖ { 0 }))
lcfl6lem.y (𝜑 → (𝐺𝑋) = 1 )
Assertion
Ref Expression
lcfl6lem (𝜑𝐺 = (𝑣𝑉 ↦ (𝑘𝑅𝑤 ∈ ( ‘{𝑋})𝑣 = (𝑤 + (𝑘 · 𝑋)))))
Distinct variable groups:   𝑣,𝑘,𝑤, +   1 ,𝑘,𝑤   ,𝑘,𝑣,𝑤   𝑅,𝑘,𝑣   𝑆,𝑘   · ,𝑘,𝑣,𝑤   𝑣,𝑉   𝑘,𝑋,𝑣,𝑤   𝑤, 0
Allowed substitution hints:   𝜑(𝑤,𝑣,𝑘)   𝑅(𝑤)   𝑆(𝑤,𝑣)   𝑈(𝑤,𝑣,𝑘)   1 (𝑣)   𝐹(𝑤,𝑣,𝑘)   𝐺(𝑤,𝑣,𝑘)   𝐻(𝑤,𝑣,𝑘)   𝐾(𝑤,𝑣,𝑘)   𝐿(𝑤,𝑣,𝑘)   𝑉(𝑤,𝑘)   𝑊(𝑤,𝑣,𝑘)   0 (𝑣,𝑘)

Proof of Theorem lcfl6lem
StepHypRef Expression
1 lcfl6lem.v . 2 𝑉 = (Base‘𝑈)
2 lcfl6lem.s . 2 𝑆 = (Scalar‘𝑈)
3 lcfl6lem.r . 2 𝑅 = (Base‘𝑆)
4 eqid 2621 . 2 (0g𝑆) = (0g𝑆)
5 lcfl6lem.f . 2 𝐹 = (LFnl‘𝑈)
6 lcfl6lem.l . 2 𝐿 = (LKer‘𝑈)
7 lcfl6lem.h . . 3 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
8 lcfl6lem.u . . 3 𝑈 = ((DVecH‘𝐾)‘𝑊)
9 lcfl6lem.k . . 3 (𝜑 → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻))
107, 8, 9dvhlvec 35917 . 2 (𝜑𝑈 ∈ LVec)
117, 8, 9dvhlmod 35918 . . . . 5 (𝜑𝑈 ∈ LMod)
12 lcfl6lem.g . . . . 5 (𝜑𝐺𝐹)
131, 5, 6, 11, 12lkrssv 33902 . . . 4 (𝜑 → (𝐿𝐺) ⊆ 𝑉)
14 lcfl6lem.o . . . . 5 = ((ocH‘𝐾)‘𝑊)
157, 8, 1, 14dochssv 36163 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝐿𝐺) ⊆ 𝑉) → ( ‘(𝐿𝐺)) ⊆ 𝑉)
169, 13, 15syl2anc 692 . . 3 (𝜑 → ( ‘(𝐿𝐺)) ⊆ 𝑉)
17 lcfl6lem.x . . . 4 (𝜑𝑋 ∈ (( ‘(𝐿𝐺)) ∖ { 0 }))
1817eldifad 3572 . . 3 (𝜑𝑋 ∈ ( ‘(𝐿𝐺)))
1916, 18sseldd 3589 . 2 (𝜑𝑋𝑉)
20 lcfl6lem.z . . 3 0 = (0g𝑈)
21 lcfl6lem.a . . 3 + = (+g𝑈)
22 lcfl6lem.t . . 3 · = ( ·𝑠𝑈)
23 eqid 2621 . . 3 (𝑣𝑉 ↦ (𝑘𝑅𝑤 ∈ ( ‘{𝑋})𝑣 = (𝑤 + (𝑘 · 𝑋)))) = (𝑣𝑉 ↦ (𝑘𝑅𝑤 ∈ ( ‘{𝑋})𝑣 = (𝑤 + (𝑘 · 𝑋))))
24 eldifsni 4296 . . . . 5 (𝑋 ∈ (( ‘(𝐿𝐺)) ∖ { 0 }) → 𝑋0 )
2517, 24syl 17 . . . 4 (𝜑𝑋0 )
26 eldifsn 4294 . . . 4 (𝑋 ∈ (𝑉 ∖ { 0 }) ↔ (𝑋𝑉𝑋0 ))
2719, 25, 26sylanbrc 697 . . 3 (𝜑𝑋 ∈ (𝑉 ∖ { 0 }))
287, 14, 8, 1, 20, 21, 22, 5, 2, 3, 23, 9, 27dochflcl 36283 . 2 (𝜑 → (𝑣𝑉 ↦ (𝑘𝑅𝑤 ∈ ( ‘{𝑋})𝑣 = (𝑤 + (𝑘 · 𝑋)))) ∈ 𝐹)
297, 14, 8, 1, 20, 5, 6, 9, 12, 17dochsnkr 36280 . . 3 (𝜑 → (𝐿𝐺) = ( ‘{𝑋}))
307, 14, 8, 1, 20, 21, 22, 6, 2, 3, 23, 9, 27dochsnkr2 36281 . . 3 (𝜑 → (𝐿‘(𝑣𝑉 ↦ (𝑘𝑅𝑤 ∈ ( ‘{𝑋})𝑣 = (𝑤 + (𝑘 · 𝑋))))) = ( ‘{𝑋}))
3129, 30eqtr4d 2658 . 2 (𝜑 → (𝐿𝐺) = (𝐿‘(𝑣𝑉 ↦ (𝑘𝑅𝑤 ∈ ( ‘{𝑋})𝑣 = (𝑤 + (𝑘 · 𝑋))))))
32 lcfl6lem.y . . 3 (𝜑 → (𝐺𝑋) = 1 )
33 lcfl6lem.i . . . 4 1 = (1r𝑆)
347, 14, 8, 1, 21, 22, 20, 2, 3, 33, 9, 27, 23dochfl1 36284 . . 3 (𝜑 → ((𝑣𝑉 ↦ (𝑘𝑅𝑤 ∈ ( ‘{𝑋})𝑣 = (𝑤 + (𝑘 · 𝑋))))‘𝑋) = 1 )
3532, 34eqtr4d 2658 . 2 (𝜑 → (𝐺𝑋) = ((𝑣𝑉 ↦ (𝑘𝑅𝑤 ∈ ( ‘{𝑋})𝑣 = (𝑤 + (𝑘 · 𝑋))))‘𝑋))
367, 14, 8, 1, 2, 4, 20, 5, 6, 9, 12, 17dochfln0 36285 . 2 (𝜑 → (𝐺𝑋) ≠ (0g𝑆))
371, 2, 3, 4, 5, 6, 10, 19, 12, 28, 31, 35, 36eqlkr3 33907 1 (𝜑𝐺 = (𝑣𝑉 ↦ (𝑘𝑅𝑤 ∈ ( ‘{𝑋})𝑣 = (𝑤 + (𝑘 · 𝑋)))))
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 384   = wceq 1480   ∈ wcel 1987   ≠ wne 2790  ∃wrex 2909   ∖ cdif 3557   ⊆ wss 3560  {csn 4155   ↦ cmpt 4683  ‘cfv 5857  ℩crio 6575  (class class class)co 6615  Basecbs 15800  +gcplusg 15881  Scalarcsca 15884   ·𝑠 cvsca 15885  0gc0g 16040  1rcur 18441  LFnlclfn 33863  LKerclk 33891  HLchlt 34156  LHypclh 34789  DVecHcdvh 35886  ocHcoch 36155 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1719  ax-4 1734  ax-5 1836  ax-6 1885  ax-7 1932  ax-8 1989  ax-9 1996  ax-10 2016  ax-11 2031  ax-12 2044  ax-13 2245  ax-ext 2601  ax-rep 4741  ax-sep 4751  ax-nul 4759  ax-pow 4813  ax-pr 4877  ax-un 6914  ax-cnex 9952  ax-resscn 9953  ax-1cn 9954  ax-icn 9955  ax-addcl 9956  ax-addrcl 9957  ax-mulcl 9958  ax-mulrcl 9959  ax-mulcom 9960  ax-addass 9961  ax-mulass 9962  ax-distr 9963  ax-i2m1 9964  ax-1ne0 9965  ax-1rid 9966  ax-rnegex 9967  ax-rrecex 9968  ax-cnre 9969  ax-pre-lttri 9970  ax-pre-lttrn 9971  ax-pre-ltadd 9972  ax-pre-mulgt0 9973  ax-riotaBAD 33758 This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1037  df-3an 1038  df-tru 1483  df-fal 1486  df-ex 1702  df-nf 1707  df-sb 1878  df-eu 2473  df-mo 2474  df-clab 2608  df-cleq 2614  df-clel 2617  df-nfc 2750  df-ne 2791  df-nel 2894  df-ral 2913  df-rex 2914  df-reu 2915  df-rmo 2916  df-rab 2917  df-v 3192  df-sbc 3423  df-csb 3520  df-dif 3563  df-un 3565  df-in 3567  df-ss 3574  df-pss 3576  df-nul 3898  df-if 4065  df-pw 4138  df-sn 4156  df-pr 4158  df-tp 4160  df-op 4162  df-uni 4410  df-int 4448  df-iun 4494  df-iin 4495  df-br 4624  df-opab 4684  df-mpt 4685  df-tr 4723  df-eprel 4995  df-id 4999  df-po 5005  df-so 5006  df-fr 5043  df-we 5045  df-xp 5090  df-rel 5091  df-cnv 5092  df-co 5093  df-dm 5094  df-rn 5095  df-res 5096  df-ima 5097  df-pred 5649  df-ord 5695  df-on 5696  df-lim 5697  df-suc 5698  df-iota 5820  df-fun 5859  df-fn 5860  df-f 5861  df-f1 5862  df-fo 5863  df-f1o 5864  df-fv 5865  df-riota 6576  df-ov 6618  df-oprab 6619  df-mpt2 6620  df-om 7028  df-1st 7128  df-2nd 7129  df-tpos 7312  df-undef 7359  df-wrecs 7367  df-recs 7428  df-rdg 7466  df-1o 7520  df-oadd 7524  df-er 7702  df-map 7819  df-en 7916  df-dom 7917  df-sdom 7918  df-fin 7919  df-pnf 10036  df-mnf 10037  df-xr 10038  df-ltxr 10039  df-le 10040  df-sub 10228  df-neg 10229  df-nn 10981  df-2 11039  df-3 11040  df-4 11041  df-5 11042  df-6 11043  df-n0 11253  df-z 11338  df-uz 11648  df-fz 12285  df-struct 15802  df-ndx 15803  df-slot 15804  df-base 15805  df-sets 15806  df-ress 15807  df-plusg 15894  df-mulr 15895  df-sca 15897  df-vsca 15898  df-0g 16042  df-preset 16868  df-poset 16886  df-plt 16898  df-lub 16914  df-glb 16915  df-join 16916  df-meet 16917  df-p0 16979  df-p1 16980  df-lat 16986  df-clat 17048  df-mgm 17182  df-sgrp 17224  df-mnd 17235  df-submnd 17276  df-grp 17365  df-minusg 17366  df-sbg 17367  df-subg 17531  df-cntz 17690  df-lsm 17991  df-cmn 18135  df-abl 18136  df-mgp 18430  df-ur 18442  df-ring 18489  df-oppr 18563  df-dvdsr 18581  df-unit 18582  df-invr 18612  df-dvr 18623  df-drng 18689  df-lmod 18805  df-lss 18873  df-lsp 18912  df-lvec 19043  df-lsatoms 33782  df-lshyp 33783  df-lfl 33864  df-lkr 33892  df-oposet 33982  df-ol 33984  df-oml 33985  df-covers 34072  df-ats 34073  df-atl 34104  df-cvlat 34128  df-hlat 34157  df-llines 34303  df-lplanes 34304  df-lvols 34305  df-lines 34306  df-psubsp 34308  df-pmap 34309  df-padd 34601  df-lhyp 34793  df-laut 34794  df-ldil 34909  df-ltrn 34910  df-trl 34965  df-tgrp 35550  df-tendo 35562  df-edring 35564  df-dveca 35810  df-disoa 35837  df-dvech 35887  df-dib 35947  df-dic 35981  df-dih 36037  df-doch 36156  df-djh 36203 This theorem is referenced by:  lcfl6  36308
 Copyright terms: Public domain W3C validator