Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  lcfl8 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem lcfl8 36271
Description: Property of a functional with a closed kernel. (Contributed by NM, 17-Jan-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
lcfl8.h 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
lcfl8.o = ((ocH‘𝐾)‘𝑊)
lcfl8.u 𝑈 = ((DVecH‘𝐾)‘𝑊)
lcfl8.v 𝑉 = (Base‘𝑈)
lcfl8.f 𝐹 = (LFnl‘𝑈)
lcfl8.l 𝐿 = (LKer‘𝑈)
lcfl8.c 𝐶 = {𝑓𝐹 ∣ ( ‘( ‘(𝐿𝑓))) = (𝐿𝑓)}
lcfl8.k (𝜑 → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻))
lcfl8.g (𝜑𝐺𝐹)
Assertion
Ref Expression
lcfl8 (𝜑 → (𝐺𝐶 ↔ ∃𝑥𝑉 (𝐿𝐺) = ( ‘{𝑥})))
Distinct variable groups:   𝑥,𝐶   𝑓,𝐹   𝑥,𝑓,𝐺   𝑓,𝐿,𝑥   ,𝑓,𝑥   𝑥,𝑈   𝑥,𝑉   𝜑,𝑥
Allowed substitution hints:   𝜑(𝑓)   𝐶(𝑓)   𝑈(𝑓)   𝐹(𝑥)   𝐻(𝑥,𝑓)   𝐾(𝑥,𝑓)   𝑉(𝑓)   𝑊(𝑥,𝑓)

Proof of Theorem lcfl8
StepHypRef Expression
1 lcfl8.h . . . . . . . 8 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
2 lcfl8.u . . . . . . . 8 𝑈 = ((DVecH‘𝐾)‘𝑊)
3 lcfl8.k . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻))
41, 2, 3dvhlmod 35879 . . . . . . 7 (𝜑𝑈 ∈ LMod)
54adantr 481 . . . . . 6 ((𝜑𝐺𝐶) → 𝑈 ∈ LMod)
6 lcfl8.v . . . . . . 7 𝑉 = (Base‘𝑈)
7 eqid 2621 . . . . . . 7 (LSpan‘𝑈) = (LSpan‘𝑈)
8 eqid 2621 . . . . . . 7 (LSAtoms‘𝑈) = (LSAtoms‘𝑈)
96, 7, 8islsati 33761 . . . . . 6 ((𝑈 ∈ LMod ∧ ( ‘(𝐿𝐺)) ∈ (LSAtoms‘𝑈)) → ∃𝑥𝑉 ( ‘(𝐿𝐺)) = ((LSpan‘𝑈)‘{𝑥}))
105, 9sylan 488 . . . . 5 (((𝜑𝐺𝐶) ∧ ( ‘(𝐿𝐺)) ∈ (LSAtoms‘𝑈)) → ∃𝑥𝑉 ( ‘(𝐿𝐺)) = ((LSpan‘𝑈)‘{𝑥}))
11 simpr 477 . . . . . . . . 9 (((((𝜑𝐺𝐶) ∧ ( ‘(𝐿𝐺)) ∈ (LSAtoms‘𝑈)) ∧ 𝑥𝑉) ∧ ( ‘(𝐿𝐺)) = ((LSpan‘𝑈)‘{𝑥})) → ( ‘(𝐿𝐺)) = ((LSpan‘𝑈)‘{𝑥}))
1211fveq2d 6152 . . . . . . . 8 (((((𝜑𝐺𝐶) ∧ ( ‘(𝐿𝐺)) ∈ (LSAtoms‘𝑈)) ∧ 𝑥𝑉) ∧ ( ‘(𝐿𝐺)) = ((LSpan‘𝑈)‘{𝑥})) → ( ‘( ‘(𝐿𝐺))) = ( ‘((LSpan‘𝑈)‘{𝑥})))
13 simp-4r 806 . . . . . . . . 9 (((((𝜑𝐺𝐶) ∧ ( ‘(𝐿𝐺)) ∈ (LSAtoms‘𝑈)) ∧ 𝑥𝑉) ∧ ( ‘(𝐿𝐺)) = ((LSpan‘𝑈)‘{𝑥})) → 𝐺𝐶)
14 lcfl8.c . . . . . . . . . 10 𝐶 = {𝑓𝐹 ∣ ( ‘( ‘(𝐿𝑓))) = (𝐿𝑓)}
15 lcfl8.g . . . . . . . . . . 11 (𝜑𝐺𝐹)
1615ad4antr 767 . . . . . . . . . 10 (((((𝜑𝐺𝐶) ∧ ( ‘(𝐿𝐺)) ∈ (LSAtoms‘𝑈)) ∧ 𝑥𝑉) ∧ ( ‘(𝐿𝐺)) = ((LSpan‘𝑈)‘{𝑥})) → 𝐺𝐹)
1714, 16lcfl1 36261 . . . . . . . . 9 (((((𝜑𝐺𝐶) ∧ ( ‘(𝐿𝐺)) ∈ (LSAtoms‘𝑈)) ∧ 𝑥𝑉) ∧ ( ‘(𝐿𝐺)) = ((LSpan‘𝑈)‘{𝑥})) → (𝐺𝐶 ↔ ( ‘( ‘(𝐿𝐺))) = (𝐿𝐺)))
1813, 17mpbid 222 . . . . . . . 8 (((((𝜑𝐺𝐶) ∧ ( ‘(𝐿𝐺)) ∈ (LSAtoms‘𝑈)) ∧ 𝑥𝑉) ∧ ( ‘(𝐿𝐺)) = ((LSpan‘𝑈)‘{𝑥})) → ( ‘( ‘(𝐿𝐺))) = (𝐿𝐺))
19 lcfl8.o . . . . . . . . 9 = ((ocH‘𝐾)‘𝑊)
203ad4antr 767 . . . . . . . . 9 (((((𝜑𝐺𝐶) ∧ ( ‘(𝐿𝐺)) ∈ (LSAtoms‘𝑈)) ∧ 𝑥𝑉) ∧ ( ‘(𝐿𝐺)) = ((LSpan‘𝑈)‘{𝑥})) → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻))
21 simplr 791 . . . . . . . . . 10 (((((𝜑𝐺𝐶) ∧ ( ‘(𝐿𝐺)) ∈ (LSAtoms‘𝑈)) ∧ 𝑥𝑉) ∧ ( ‘(𝐿𝐺)) = ((LSpan‘𝑈)‘{𝑥})) → 𝑥𝑉)
2221snssd 4309 . . . . . . . . 9 (((((𝜑𝐺𝐶) ∧ ( ‘(𝐿𝐺)) ∈ (LSAtoms‘𝑈)) ∧ 𝑥𝑉) ∧ ( ‘(𝐿𝐺)) = ((LSpan‘𝑈)‘{𝑥})) → {𝑥} ⊆ 𝑉)
231, 2, 19, 6, 7, 20, 22dochocsp 36148 . . . . . . . 8 (((((𝜑𝐺𝐶) ∧ ( ‘(𝐿𝐺)) ∈ (LSAtoms‘𝑈)) ∧ 𝑥𝑉) ∧ ( ‘(𝐿𝐺)) = ((LSpan‘𝑈)‘{𝑥})) → ( ‘((LSpan‘𝑈)‘{𝑥})) = ( ‘{𝑥}))
2412, 18, 233eqtr3d 2663 . . . . . . 7 (((((𝜑𝐺𝐶) ∧ ( ‘(𝐿𝐺)) ∈ (LSAtoms‘𝑈)) ∧ 𝑥𝑉) ∧ ( ‘(𝐿𝐺)) = ((LSpan‘𝑈)‘{𝑥})) → (𝐿𝐺) = ( ‘{𝑥}))
2524ex 450 . . . . . 6 ((((𝜑𝐺𝐶) ∧ ( ‘(𝐿𝐺)) ∈ (LSAtoms‘𝑈)) ∧ 𝑥𝑉) → (( ‘(𝐿𝐺)) = ((LSpan‘𝑈)‘{𝑥}) → (𝐿𝐺) = ( ‘{𝑥})))
2625reximdva 3011 . . . . 5 (((𝜑𝐺𝐶) ∧ ( ‘(𝐿𝐺)) ∈ (LSAtoms‘𝑈)) → (∃𝑥𝑉 ( ‘(𝐿𝐺)) = ((LSpan‘𝑈)‘{𝑥}) → ∃𝑥𝑉 (𝐿𝐺) = ( ‘{𝑥})))
2710, 26mpd 15 . . . 4 (((𝜑𝐺𝐶) ∧ ( ‘(𝐿𝐺)) ∈ (LSAtoms‘𝑈)) → ∃𝑥𝑉 (𝐿𝐺) = ( ‘{𝑥}))
285adantr 481 . . . . . 6 (((𝜑𝐺𝐶) ∧ (𝐿𝐺) = 𝑉) → 𝑈 ∈ LMod)
29 eqid 2621 . . . . . . 7 (0g𝑈) = (0g𝑈)
306, 29lmod0vcl 18813 . . . . . 6 (𝑈 ∈ LMod → (0g𝑈) ∈ 𝑉)
3128, 30syl 17 . . . . 5 (((𝜑𝐺𝐶) ∧ (𝐿𝐺) = 𝑉) → (0g𝑈) ∈ 𝑉)
32 simpr 477 . . . . . 6 (((𝜑𝐺𝐶) ∧ (𝐿𝐺) = 𝑉) → (𝐿𝐺) = 𝑉)
333adantr 481 . . . . . . . 8 ((𝜑𝐺𝐶) → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻))
3433adantr 481 . . . . . . 7 (((𝜑𝐺𝐶) ∧ (𝐿𝐺) = 𝑉) → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻))
351, 2, 19, 6, 29doch0 36127 . . . . . . 7 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) → ( ‘{(0g𝑈)}) = 𝑉)
3634, 35syl 17 . . . . . 6 (((𝜑𝐺𝐶) ∧ (𝐿𝐺) = 𝑉) → ( ‘{(0g𝑈)}) = 𝑉)
3732, 36eqtr4d 2658 . . . . 5 (((𝜑𝐺𝐶) ∧ (𝐿𝐺) = 𝑉) → (𝐿𝐺) = ( ‘{(0g𝑈)}))
38 sneq 4158 . . . . . . . 8 (𝑥 = (0g𝑈) → {𝑥} = {(0g𝑈)})
3938fveq2d 6152 . . . . . . 7 (𝑥 = (0g𝑈) → ( ‘{𝑥}) = ( ‘{(0g𝑈)}))
4039eqeq2d 2631 . . . . . 6 (𝑥 = (0g𝑈) → ((𝐿𝐺) = ( ‘{𝑥}) ↔ (𝐿𝐺) = ( ‘{(0g𝑈)})))
4140rspcev 3295 . . . . 5 (((0g𝑈) ∈ 𝑉 ∧ (𝐿𝐺) = ( ‘{(0g𝑈)})) → ∃𝑥𝑉 (𝐿𝐺) = ( ‘{𝑥}))
4231, 37, 41syl2anc 692 . . . 4 (((𝜑𝐺𝐶) ∧ (𝐿𝐺) = 𝑉) → ∃𝑥𝑉 (𝐿𝐺) = ( ‘{𝑥}))
43 lcfl8.f . . . . . 6 𝐹 = (LFnl‘𝑈)
44 lcfl8.l . . . . . 6 𝐿 = (LKer‘𝑈)
451, 19, 2, 6, 8, 43, 44, 14, 3, 15lcfl3 36263 . . . . 5 (𝜑 → (𝐺𝐶 ↔ (( ‘(𝐿𝐺)) ∈ (LSAtoms‘𝑈) ∨ (𝐿𝐺) = 𝑉)))
4645biimpa 501 . . . 4 ((𝜑𝐺𝐶) → (( ‘(𝐿𝐺)) ∈ (LSAtoms‘𝑈) ∨ (𝐿𝐺) = 𝑉))
4727, 42, 46mpjaodan 826 . . 3 ((𝜑𝐺𝐶) → ∃𝑥𝑉 (𝐿𝐺) = ( ‘{𝑥}))
4847ex 450 . 2 (𝜑 → (𝐺𝐶 → ∃𝑥𝑉 (𝐿𝐺) = ( ‘{𝑥})))
4933ad2ant1 1080 . . . . . 6 ((𝜑𝑥𝑉 ∧ (𝐿𝐺) = ( ‘{𝑥})) → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻))
50 simp2 1060 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑥𝑉 ∧ (𝐿𝐺) = ( ‘{𝑥})) → 𝑥𝑉)
5150snssd 4309 . . . . . . 7 ((𝜑𝑥𝑉 ∧ (𝐿𝐺) = ( ‘{𝑥})) → {𝑥} ⊆ 𝑉)
52 eqid 2621 . . . . . . . 8 ((DIsoH‘𝐾)‘𝑊) = ((DIsoH‘𝐾)‘𝑊)
531, 52, 2, 6, 19dochcl 36122 . . . . . . 7 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ {𝑥} ⊆ 𝑉) → ( ‘{𝑥}) ∈ ran ((DIsoH‘𝐾)‘𝑊))
5449, 51, 53syl2anc 692 . . . . . 6 ((𝜑𝑥𝑉 ∧ (𝐿𝐺) = ( ‘{𝑥})) → ( ‘{𝑥}) ∈ ran ((DIsoH‘𝐾)‘𝑊))
551, 52, 19dochoc 36136 . . . . . 6 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ ( ‘{𝑥}) ∈ ran ((DIsoH‘𝐾)‘𝑊)) → ( ‘( ‘( ‘{𝑥}))) = ( ‘{𝑥}))
5649, 54, 55syl2anc 692 . . . . 5 ((𝜑𝑥𝑉 ∧ (𝐿𝐺) = ( ‘{𝑥})) → ( ‘( ‘( ‘{𝑥}))) = ( ‘{𝑥}))
57 simp3 1061 . . . . . . 7 ((𝜑𝑥𝑉 ∧ (𝐿𝐺) = ( ‘{𝑥})) → (𝐿𝐺) = ( ‘{𝑥}))
5857fveq2d 6152 . . . . . 6 ((𝜑𝑥𝑉 ∧ (𝐿𝐺) = ( ‘{𝑥})) → ( ‘(𝐿𝐺)) = ( ‘( ‘{𝑥})))
5958fveq2d 6152 . . . . 5 ((𝜑𝑥𝑉 ∧ (𝐿𝐺) = ( ‘{𝑥})) → ( ‘( ‘(𝐿𝐺))) = ( ‘( ‘( ‘{𝑥}))))
6056, 59, 573eqtr4d 2665 . . . 4 ((𝜑𝑥𝑉 ∧ (𝐿𝐺) = ( ‘{𝑥})) → ( ‘( ‘(𝐿𝐺))) = (𝐿𝐺))
6160rexlimdv3a 3026 . . 3 (𝜑 → (∃𝑥𝑉 (𝐿𝐺) = ( ‘{𝑥}) → ( ‘( ‘(𝐿𝐺))) = (𝐿𝐺)))
6214, 15lcfl1 36261 . . 3 (𝜑 → (𝐺𝐶 ↔ ( ‘( ‘(𝐿𝐺))) = (𝐿𝐺)))
6361, 62sylibrd 249 . 2 (𝜑 → (∃𝑥𝑉 (𝐿𝐺) = ( ‘{𝑥}) → 𝐺𝐶))
6448, 63impbid 202 1 (𝜑 → (𝐺𝐶 ↔ ∃𝑥𝑉 (𝐿𝐺) = ( ‘{𝑥})))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 196  wo 383  wa 384  w3a 1036   = wceq 1480  wcel 1987  wrex 2908  {crab 2911  wss 3555  {csn 4148  ran crn 5075  cfv 5847  Basecbs 15781  0gc0g 16021  LModclmod 18784  LSpanclspn 18890  LSAtomsclsa 33741  LFnlclfn 33824  LKerclk 33852  HLchlt 34117  LHypclh 34750  DVecHcdvh 35847  DIsoHcdih 35997  ocHcoch 36116
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1719  ax-4 1734  ax-5 1836  ax-6 1885  ax-7 1932  ax-8 1989  ax-9 1996  ax-10 2016  ax-11 2031  ax-12 2044  ax-13 2245  ax-ext 2601  ax-rep 4731  ax-sep 4741  ax-nul 4749  ax-pow 4803  ax-pr 4867  ax-un 6902  ax-cnex 9936  ax-resscn 9937  ax-1cn 9938  ax-icn 9939  ax-addcl 9940  ax-addrcl 9941  ax-mulcl 9942  ax-mulrcl 9943  ax-mulcom 9944  ax-addass 9945  ax-mulass 9946  ax-distr 9947  ax-i2m1 9948  ax-1ne0 9949  ax-1rid 9950  ax-rnegex 9951  ax-rrecex 9952  ax-cnre 9953  ax-pre-lttri 9954  ax-pre-lttrn 9955  ax-pre-ltadd 9956  ax-pre-mulgt0 9957  ax-riotaBAD 33719
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1037  df-3an 1038  df-tru 1483  df-fal 1486  df-ex 1702  df-nf 1707  df-sb 1878  df-eu 2473  df-mo 2474  df-clab 2608  df-cleq 2614  df-clel 2617  df-nfc 2750  df-ne 2791  df-nel 2894  df-ral 2912  df-rex 2913  df-reu 2914  df-rmo 2915  df-rab 2916  df-v 3188  df-sbc 3418  df-csb 3515  df-dif 3558  df-un 3560  df-in 3562  df-ss 3569  df-pss 3571  df-nul 3892  df-if 4059  df-pw 4132  df-sn 4149  df-pr 4151  df-tp 4153  df-op 4155  df-uni 4403  df-int 4441  df-iun 4487  df-iin 4488  df-br 4614  df-opab 4674  df-mpt 4675  df-tr 4713  df-eprel 4985  df-id 4989  df-po 4995  df-so 4996  df-fr 5033  df-we 5035  df-xp 5080  df-rel 5081  df-cnv 5082  df-co 5083  df-dm 5084  df-rn 5085  df-res 5086  df-ima 5087  df-pred 5639  df-ord 5685  df-on 5686  df-lim 5687  df-suc 5688  df-iota 5810  df-fun 5849  df-fn 5850  df-f 5851  df-f1 5852  df-fo 5853  df-f1o 5854  df-fv 5855  df-riota 6565  df-ov 6607  df-oprab 6608  df-mpt2 6609  df-om 7013  df-1st 7113  df-2nd 7114  df-tpos 7297  df-undef 7344  df-wrecs 7352  df-recs 7413  df-rdg 7451  df-1o 7505  df-oadd 7509  df-er 7687  df-map 7804  df-en 7900  df-dom 7901  df-sdom 7902  df-fin 7903  df-pnf 10020  df-mnf 10021  df-xr 10022  df-ltxr 10023  df-le 10024  df-sub 10212  df-neg 10213  df-nn 10965  df-2 11023  df-3 11024  df-4 11025  df-5 11026  df-6 11027  df-n0 11237  df-z 11322  df-uz 11632  df-fz 12269  df-struct 15783  df-ndx 15784  df-slot 15785  df-base 15786  df-sets 15787  df-ress 15788  df-plusg 15875  df-mulr 15876  df-sca 15878  df-vsca 15879  df-0g 16023  df-preset 16849  df-poset 16867  df-plt 16879  df-lub 16895  df-glb 16896  df-join 16897  df-meet 16898  df-p0 16960  df-p1 16961  df-lat 16967  df-clat 17029  df-mgm 17163  df-sgrp 17205  df-mnd 17216  df-submnd 17257  df-grp 17346  df-minusg 17347  df-sbg 17348  df-subg 17512  df-cntz 17671  df-lsm 17972  df-cmn 18116  df-abl 18117  df-mgp 18411  df-ur 18423  df-ring 18470  df-oppr 18544  df-dvdsr 18562  df-unit 18563  df-invr 18593  df-dvr 18604  df-drng 18670  df-lmod 18786  df-lss 18852  df-lsp 18891  df-lvec 19022  df-lsatoms 33743  df-lshyp 33744  df-lfl 33825  df-lkr 33853  df-oposet 33943  df-ol 33945  df-oml 33946  df-covers 34033  df-ats 34034  df-atl 34065  df-cvlat 34089  df-hlat 34118  df-llines 34264  df-lplanes 34265  df-lvols 34266  df-lines 34267  df-psubsp 34269  df-pmap 34270  df-padd 34562  df-lhyp 34754  df-laut 34755  df-ldil 34870  df-ltrn 34871  df-trl 34926  df-tgrp 35511  df-tendo 35523  df-edring 35525  df-dveca 35771  df-disoa 35798  df-dvech 35848  df-dib 35908  df-dic 35942  df-dih 35998  df-doch 36117  df-djh 36164
This theorem is referenced by:  lcfl8a  36272  lcfl8b  36273
  Copyright terms: Public domain W3C validator